第二章 二次函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第二章 二次函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若将函数的图象向上平移5个单位，再向右平行移动1个单位，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 3．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 4．抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．当时，y取得最大值，且最大值为3 6．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（    ） A．  B．  C．  D．   7．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（  ） A． B． C． D． 8．已知，，若，则二次函数图象的顶点可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　）    A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．若函数是关于的二次函数，则 ． 12．抛物线的顶点坐标是 ；与轴的交点坐标是 ． 13．已知二次函数的图象开口向上，则m的值是 ． 14．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 15．将抛物线绕坐标原点旋转后，得到的抛物线的解析式为 ． 16．已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小，则m的取值范围为 ． 17．在关于x的二次函数中，当时，，则的值为 ． 18．已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19．已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 20．如图，抛物线与直线相交于点和点． (1)求和的值； (2)求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 21．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 16 6 0 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到的图像所对应的函数表达式________． 22．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元千克，如果售价为20元千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元千克，那么每天可获利2000元，经调查发现：每天的销售量（千克）与售价（元千克）之间存在一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式； （2）若樱桃的售价不得高于28元千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 23．已知抛物线过，两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的表达式． （2）设P是该抛物线上的动点，当的面积等于的面积时，求P点的坐标． 24．二次函数图象经过点和点． (1)求a、c的值； (2)在所给坐标系中画的图象； (3)结合函数图象，填空： ①当时，y的取值范围是__________； ②当时，x的取值范围是____________． 25．如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）试求A，B，C的坐标； （2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD． ①求点D的坐标； ②判断四边形ADBC的形状，并说明理由； （3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图①，已知抛物线与轴交于点、点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线．点是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点． (1)点坐标为_____； (2)设点的横坐标为，点的横坐标为，若，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点，过点作直线，分别交抛物线和于点、（、均不与点重合），设点的横坐标为，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足．连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点Q是线段上一点，过点Q作轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在（2）线段长度取得最大的前提下，将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新的抛物线，求出新抛物线的解析式．抛物线交延长线于点K，新抛物线上是否存在动点N，使得若存在直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 二次函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题 1．下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的概念：二次函数的一般形式为，其中，且a，b，c为已知数；根据二次函数的概念即可判断． 【解析】解：A、当时，它不是二次函数，故不符合题意； B、是一次函数，故不符合题意； C、右边不是整式，故不符合题意； D、由二次函数的概念知，是二次函数，故符合题意； 故选：D． 2．若将函数的图象向上平移5个单位，再向右平行移动1个单位，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图象的平移，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减即可解答．熟练掌握图象的平移规律是解答的关键． 【解析】解：函数的图象向上平移5个单位，再向右平行移动1个单位， 得到． 故选：C． 3．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，一元二次方程组的解法，将函数经过的两点代入二次函数解析式得到一元二次方程组是解答关键． 将二次函数图象经过的两点的坐标代入解析式，列出一元二次方程组，解一元二次方程组即可求解． 【解析】解：抛物线经过和两点， ， 解得， 故选：A． 4．抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合距离对称轴越远，函数值越大即可得出答案． 【解析】解：， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ， ， 故选：C． 5．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．当时，y取得最大值，且最大值为3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次项系数大于0，以及解析式为顶点式可得二次函数开口向上，对称轴为直线，由此可得当时，y的值随x值的增大而增大且当时，y取得最小值，且最小值为3，则二次函数的函数值恒大于等于3，即二次函数与x轴没有交点，据此可得答案． 【解析】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，故A说法错误，不符合题意； ∴当时，y的值随x值的增大而减小，当时，y的值随x值的增大而增大，故C说法正确，符合题意； ∴当时，y取得最小值，且最小值为3，故D说法错误，不符合题意； ∴， ∴二次函数与x轴没有交点，故B说法错误，不符合题意； 故选C． 6．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先由二次函数的图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致． 【解析】解：A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意； B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质． 7．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【解析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0）， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵a＜0，故函数有最大值， ∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2， 答：水流喷出的最大高度为2米． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解． 8．已知，，若，则二次函数图象的顶点可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数中系数之间的关系，根据题意可知，令时，的值为或3，得出对称轴为直线，用表示即，由题中等式可用表示．将代入函数解析式中判断的正负得出答案． 【解析】解：，， 当时，或， 对称轴为， ， 即， ， ， ， 令代入解析式中得， ， ， ， 当时，． 即顶点在第一象限． 故选：A． 9．如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，作轴，于，于，证明得到，，设，可得方程组，解方程组得到，代入二次函数解析式得，又由抛物线经过原点得，即可得到，再代入计算即可求解，证明得到，是解题的关键． 【解析】解：作轴，于，于，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵点的坐标分别是，， ∴， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， ∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　）    A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】①由抛物线开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点B的范围，即可得出，进而可得出，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为，进而可得出，结论②正确；③由点B的范围可得出抛物线顶点纵坐标，结合可得出，结论③正确；④由抛物线对称轴为可得出，结论④错误．综上即可得出结论． 【解析】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点）， ∴，﹣，， ∴， ∴，结论①错误； ②∵二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图像与x轴的另一个交点为， ∴9a+3b+c＝0，结论②正确； ③∵二次函数的图像与y轴的交点B在和之间（不包括这两点）， ∴抛物线顶点纵坐标， ∵， ∴，结论③正确； ④∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，结论④错误． 综上所述，正确的结论有：②③． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图像与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 二、填空题 11．若函数是关于的二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次项的系数不等于零是解题关键．根据形如（，，是常数，）是二次函数，可得答案． 【解析】解：由题意可得且， 解得：， 故答案为：． 12．抛物线的顶点坐标是 ；与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，和与y轴的交点坐标．根据顶点式求出顶点坐标，令求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标． 【解析】解：抛物线顶点坐标是； 令， ∴与轴的交点坐标是． 故答案为：，． 13．已知二次函数的图象开口向上，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义，根据函数是二次函数，可得出，再由图象开口向上，得出，据此可解决问题． 【解析】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 解得，， 故答案为：2． 14．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】先将点代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果． 【解析】解：将代入函数解析式得，， ∴， ∴ ． 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点代入函数解析式得到有关m的代数式的值． 15．将抛物线绕坐标原点旋转后，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，先将化为顶点式，得出原抛物线的顶点坐标为，进而得出旋转后抛物线的顶点坐标为，旋转180度后，抛物线开口方向改变，即可得出旋转后抛物线的解析式为． 【解析】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴绕坐标原点旋转后，得到的抛物线的顶点坐标为， ∴旋转后抛物线的解析式为， 故答案为：． 16．已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据二次函数，当时，随着的增大而减小，可以得到，然后求解即可． 【解析】解：二次函数， ∴开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随着的增大而减小， ， 解得， 故答案为：． 17．在关于x的二次函数中，当时，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质及顶点式，利用顶点式求出顶点坐标，分两种情形分别求解即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解析】解：抛物线， ∴顶点坐标为， 当时， ∵时，， ∴函数有最小值， ∴， 当时， ∵时，， ∴函数有最大值， ∴， 故答案为：或． 18．已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 由二次函数图象及性质可得对称轴为，再根据当时，二次函数y随x增大而减小可得．根据图象及性质可得，进而得到，求解得，因此，从而根据点A，B的坐标即可求解． 【解析】∵二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为 ∵当时，二次函数y随x增大而减小， ∴，即 当时，， ∵， ∴在中， 当时，y有最大值，为， 当时，y有最小值，为， ∴当，时， ∵恒成立， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴A、B两点的最大距离为． 故答案为：8 三、解答题 19．已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）（2）（1，4） 【解析】解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），B（－1，0）， ∴抛物线的解析式为；，即， （2）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）． （1）根据抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式． （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案． 20．如图，抛物线与直线相交于点和点． (1)求和的值； (2)求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）首先联立抛物线和直线求出点的坐标为，然后根据图象求解即可． 【解析】（1）解：因为抛物线经过点， 所以， 所以． 因为直线经过点， 所以， 所以； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为． 联立 解得或 所以点的坐标为． 结合图象可知，不等式的解集为． 21．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 16 6 0 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到的图像所对应的函数表达式________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移；准确求出解析式是关键； （1）由函数y与自变量x的部分对应值表知，当或时，函数值为0，故设解析式为交点式，再选一对对应值代入即可求得解析式； （2）把求得的解析式化为顶点式，根据左加右减，上加下减的原则即可求得平移后的解析式． 【解析】（1）解：由函数y与自变量x的部分对应值表知，当或时，函数值为0， 故设解析式为， 由表知，当时，，代入上式中得：， ∴， ∴，化为一般式为； （2）解：二次函数配方得： 则平移后的解析式为：， 即； 故答案为：． 22．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元千克，如果售价为20元千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元千克，那么每天可获利2000元，经调查发现：每天的销售量（千克）与售价（元千克）之间存在一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式； （2）若樱桃的售价不得高于28元千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）售价为28元时，每天获利最大为2210元． 【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）首先表示出每天的获利，进而利用配方法结合二次函数增减性得出答案． 【解析】解：（1）当时，（千克）， 设与的函数关系式为：， 把，代入得： ， 解得：， 与的函数关系式为：； （2）设每天获利元， ， ， 开口向下， 对称轴为， 在时，随的增大而增大， 时，（元）， 答：售价为28元时，每天获利最大为2210元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数应用，解题的关键是正确利用二次函数增减性． 23．已知抛物线过，两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的表达式． （2）设P是该抛物线上的动点，当的面积等于的面积时，求P点的坐标． 【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）P坐标为（-1+，-3）或（-1-，-3）． 【分析】（1）把A与B坐标代入求出a与b的值，即可确定出表达式； （2）根据已知三角形面积相等求出P的坐标即可． 【解析】解：（1）把A与B坐标代入得：， 解得：， 则该抛物线的表达式为y=-x2-2x+3； （2）由抛物线解析式得：C（0，3）， ∴△ABC面积为×3×4=6， ∴△PAB面积为6，即×||×4=6，即=3或-3， 当=3时，可得3=-x2-2x+3， 解得：x=-2或x=0（舍去）， 此时P坐标为（-2，3）； 当yP=-3时，可得-3=-x2-2x+3， 解得：x=-1±， 此时P坐标为（-1+，-3）或（-1-，-3）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 24．二次函数图象经过点和点． (1)求a、c的值； (2)在所给坐标系中画的图象； (3)结合函数图象，填空： ①当时，y的取值范围是__________； ②当时，x的取值范围是____________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②或 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识及二次函数的顶点坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是待定系数法的运用． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出二次函数与x轴的交点为，再然后画出函数图象，即可求解； （3）①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，再由，，即可求解；②直接观察函数图象，即可求解． 【解析】（1）解：将点和点代入得， ，解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， ∴二次函数与x轴的交点为， 画出函数图象，如下： （3）解：① ∵， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴函数的最大值为4，此时， ∵，， ∴当时，y的取值范围是； 故答案为： ②观察图象得：当时，x的取值范围是或． 故答案为：或 25．如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）试求A，B，C的坐标； （2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD． ①求点D的坐标； ②判断四边形ADBC的形状，并说明理由； （3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①D（3，﹣2）；②四边形ADBC是矩形,理由见解析;（3）存在,点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）． 【分析】（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标； （2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标； ②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状； （3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案． 【解析】（1）当y=0时，0=﹣x2+x+2， 解得：x1=﹣1，x2=4， 则A（﹣1，0），B（4，0）， 当x=0时，y=2， 故C（0，2）； （2）①过点D作DE⊥x轴于点E， ∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5， ∴D（3，﹣2）； ②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴AC=BD，AD=BC， ∴四边形ADBC是平行四边形， ∵AC=，BC=，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB是直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∴四边形ADBC是矩形； （3）由题意可得：BD=，AD=2， 则， 当△BMP∽△ADB时， ， 可得：BM=2.5， 则PM=1.25， 故P（1.5，1.25）， 当△BMP1∽△ABD时， P1（1.5，﹣1.25）， 当△BMP2∽△BDA时， 可得：P2（1.5，5）， 当△BMP3∽△BDA时， 可得：P3（1.5，﹣5）， 综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）． 26．如图①，已知抛物线与轴交于点、点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线．点是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点． (1)点坐标为_____； (2)设点的横坐标为，点的横坐标为，若，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点，过点作直线，分别交抛物线和于点、（、均不与点重合），设点的横坐标为，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)是定值，为6 【分析】（1）把代入解析式即可求解； （2）求出点坐标，再求出直线的表达式，求出点坐标即可求解； （3）求出直线的表达式为：，联立上式和的表达式得：，进而求解． 【解析】（1）解：由题意得：； 当时， ，， 点坐标为， 故答案为： （2）解：把代入得，， 点 ∵点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去），， 则； （3）解：联立、得：， 解得：， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 整理得：， 则，即， 即， 即为定值． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足．连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点Q是线段上一点，过点Q作轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在（2）线段长度取得最大的前提下，将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新的抛物线，求出新抛物线的解析式．抛物线交延长线于点K，新抛物线上是否存在动点N，使得若存在直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)， 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，根据，，得到，，代入即可求得抛物线的解析式； （2）求出直线的解析式，设，则，得，当时，取得最大值，得，取，连接，则，得四边形是平行四边形，，的最小值，的最小值； （3）的顶点为，平移得到新抛物线的顶点为，解析式为，根据，得，求出解析式，当时，的解析式，得，解得；解析式为，得，解得． 【解析】（1）解：∵中，当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为；． （2）解：设直线的解析式为 ∵，， ∴， 解得， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴， 取，连接， 则， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点E在上时，取得最小值，， ∵， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴顶点为， ∵将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新抛物线，且， ∴该抛物线向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的顶点为， ∴新抛物线解析式为， 由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 与联立， 得， 解得（舍去）， ∴； 设直线解析式为， ∴， 解得，， ∴ 与联立， 得， 解得（舍去）， ∴； 综上，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，作辅助线构造三角形，待定系数法求二次函数和一次函数解析式，平行四边形判定和性质，勾股定理，二次函数的图象平移和性质，平行线性质，等腰三角形判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$