专题04 相似三角形的性质（5大经典基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题04 相似三角形的性质 比例与成比例线段 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）下列各组中的四条线段，能构成比例线段的是（　　） A．Icm，2cm，4cm，6cm B．2cm，4cm，0.4cm，7cm C．3cm，9cm，18cm，6cm D．3cm，4cm，5cm，6cm 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）若，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 平行截线 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，，若，，，则等于(    ) A．9 B．6 C．4 D．1 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，直线直线分别交于点，直线分别交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，直线、被三条互相平行的直线，，所截，，，则（    ） A． B． C． D． 黄金分割 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（   ） A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，C为线段的黄金分割点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为 ． 相似比值问题 1．（22-23九年级上·福建漳州·期末）小明在物理实验课上用放大镜观察一个三角形器材，其中不会发生变化的量是（    ） A．各内角的度数 B．各边的长度 C．三角形的周长 D．三角形的面积 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是 ． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知，且与的面积比为9∶4，若，则 ． 4．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，分别为边上的中点，则与的周长的比值是 ． 5．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，点E在上，与交于点F，连接．若，则 ．    6．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（    ）． A．50 B．25 C．15 D． 在网格中画相似三角形 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（  ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 2．（23-24九年级上·福建三明·期末）正方形网格中，小格的顶点叫做格点．三个顶点都在网格上的三角形叫做格点三角形．小华已在左边的正方形网格中作出了格点，每个小正方形的边长都是1． (1)请说明是直角三角形． (2)请你在右边的两个正方形网格中各画出两个不同的格点三角形，使得三个网格中的格点三角形都相似（不包括全等）． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图， 66网格中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC是格点三角形，请按下列要求画图．（注：标明所作三角形的顶点字母） （1）如图1，请在网格中画出格点△CDE，以点 C为公共顶点且与△ABC 相似，△CDE 与△ABC的周长之比为2∶1． （2）如图2，请在网格中画出格点△ABP，以AB为公共边且与△ABC相似，面积之比为5∶1． 相似三角形的尺规作图 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)在射线上，求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 2．（22-23九年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，，点E是的中点．    (1)在上求作一点F，使得（尺规作图，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的值． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，． (1)在线段BC上求作一点D，使得；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求BC的值． 与重心有关的问题 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点是的重心，连接，若，则线段长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 2．（23-24九年级上·福建泉州·期期末）如图，在中，，，，两条中线和相交于点，则的长是（    ）    A．5 B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知点G是等腰直角三角形的重心，，则的长为 ． 相似中的动点问题 1．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，若点分别从点同时出发，设运动时间为，当取（    ）时，与相似． A． B． C．或 D．或 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．    (1)求线段的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 在其他几何图形中的相似三角形问题 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为 ． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，在正方形中，、分别为边、的中点，连接、交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，，交于点． ①求证：； ②若，求三角形的面积． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E．    （1）求证：AM＝AN； （2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC•AE； （3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形的性质 比例与成比例线段 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）下列各组中的四条线段，能构成比例线段的是（　　） A．Icm，2cm，4cm，6cm B．2cm，4cm，0.4cm，7cm C．3cm，9cm，18cm，6cm D．3cm，4cm，5cm，6cm 【答案】C 【分析】根据比例的基本性质，两条线段的乘积相等则能构成比例线段，否则不能． 【详解】由于3×18=9×6，即C选项中四条线段能构成比例线段，其它选项中的四条线段不能构成比例线段． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段，四条线段成比例线段，则其中两条线段的比与另两条线段的比相等，或者两条线段的乘积等于另两条线段的乘积． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例线段的定义：对于四条线段，如果两条线段的比与另外两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，得出，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：∵，，，成比例线段， ∴可得：， 又∵，，， ∴， 解得：， ∴线段的长为． 故选：B 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解本题的关键． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）若，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例得到是解决本题的关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：C． 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 【答案】(1)6，4，12 (2)8 【分析】本题主要考查了比例线段，解一元一次方程， （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【详解】（1）解：， 设，，， 又， ， 即， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ， ， ； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 即， 平行截线 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，，若，，，则等于(    ) A．9 B．6 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，将已知数据代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点作平行线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理得出，进行计算即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作平行线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，   ， 则， 线段， ， ， 故选：C． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，直线直线分别交于点，直线分别交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：直线， ． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，直线、被三条互相平行的直线，，所截，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例的性质可得，进一步可求得． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是掌握平行线分线段所得线段对应成比例． 黄金分割 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（   ） A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米 【答案】A 【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解． 【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24． 故答案为：A 【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，C为线段的黄金分割点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，先根据黄金分割的定义得出，即可解答． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，，， ∴， ∴， 故选：A． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可；本题考查了黄金分割的定义；熟记黄金比是解题的关键． 【详解】解：设的长度为x，则， 由题意可得，， ∴， ∴（不合题意，舍去）， ∴（） 故答案为： 相似比值问题 1．（22-23九年级上·福建漳州·期末）小明在物理实验课上用放大镜观察一个三角形器材，其中不会发生变化的量是（    ） A．各内角的度数 B．各边的长度 C．三角形的周长 D．三角形的面积 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得，用放大镜观察得到的三角形和原本的三角形相似， ∴各内角的度数不会改变，各边的长度，周长和面积均变大了， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，即相似三角形对应中线，对应高，对应角平分线的比等于相似比． 【详解】解：∵两三角形相似，且对应边比为， ∴相似比为 ∴它们对应中线的比为 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知，且与的面积比为9∶4，若，则 ． 【答案】/2厘米 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵，与的面积的比为9∶4， ∴和的相似比为3∶2， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，分别为边上的中点，则与的周长的比值是 ． 【答案】2 【分析】根据三角形中位线的定义及性质可得DE∥BC，DE＝BC，再利用相似三角形的判定及性质即可求出答案． 【详解】解：∵、分别为、边上的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴与的周长的比值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定求解三角形的周长比． 5．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，点E在上，与交于点F，连接．若，则 ．    【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质得出，由此得出：，，然后求出两个三角形的面积比即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 6．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（    ）． A．50 B．25 C．15 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形以及矩形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义于相似三角形的性质； 根据反比例函数系数k的几何意义可得：，再根据相似三角形的性质得，进而可求出，由矩形的性质即可解答． 【详解】解：过点D作，垂直为E，如图所示： 则， ， ， ， ， ， 矩形的面积为， 故选：B． 在网格中画相似三角形 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（  ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 【答案】C 【详解】∵∠BAC=∠PED=90°，， ∴当时，△ABC∽△EPD时． ∵DE=4， ∴EP=6． ∴点P落在P3处． 故选C． 2．（23-24九年级上·福建三明·期末）正方形网格中，小格的顶点叫做格点．三个顶点都在网格上的三角形叫做格点三角形．小华已在左边的正方形网格中作出了格点，每个小正方形的边长都是1． (1)请说明是直角三角形． (2)请你在右边的两个正方形网格中各画出两个不同的格点三角形，使得三个网格中的格点三角形都相似（不包括全等）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是： （1）分别求出的三边的平方，再根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据三边对应成比例的三角形相似画图并证明即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ，，， 则， ∴是直角三角形； （2）如图，，即为所求． 其中，∵，，， 由图可得：，，， ，，， ∴，， ∴，． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图， 66网格中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC是格点三角形，请按下列要求画图．（注：标明所作三角形的顶点字母） （1）如图1，请在网格中画出格点△CDE，以点 C为公共顶点且与△ABC 相似，△CDE 与△ABC的周长之比为2∶1． （2）如图2，请在网格中画出格点△ABP，以AB为公共边且与△ABC相似，面积之比为5∶1． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）由勾股定理求出,延长CA到D使CD=2CA，延长CB到E使CE=2CB，连接DE，则DE=，即为所求作； （2）如图，作BD=，AD=5，可得，故可得结论． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求作； （2如图所示，即为所求作． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 相似三角形的尺规作图 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)在射线上，求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作，交于点，点即为所求； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作，交于点，点即为所求； ∵， ∴， 又， ∴； （2）解：∵； ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作一个角等于已知角，掌握以上知识是解题的关键． 2．（22-23九年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，，点E是的中点．    (1)在上求作一点F，使得（尺规作图，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点D为圆心，为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于两点距离的一半画弧，两弧相交于一点，过这点与点D作直线交于点F即可． （2）设，则，，由勾股定理，得，再根据（１）知，所以，即，解得，所以，代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点F即为所作，    由基本作图-过直线外一点作已知直线的垂线可知：， ∴ ∴ ∵矩形， ∴ ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵矩形 ∴，， ∵点E是的中点， 设，则， ∵ ∴ 由勾股定理，得， 由（1）知， ∴，即 ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查尺规基本作图-经过直线外一点作已知直线的垂线，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．熟练掌握尺规基本作图和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，． (1)在线段BC上求作一点D，使得；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求BC的值． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于 从而可得答案； （2）先证明 再利用相似三角形的性质可得再代入数据解方程即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求作的点，理由如下： 由作图可得： （2）解：由（1）得： 解得：或 经检验：不符合题意，舍去， 【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似”是解本题的关键. 与重心有关的问题 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点是的重心，连接，若，则线段长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考査三角形的重心，直角三角形斜边的中线，关键是由重心的性质得到，D是中点． 延长交于D，由重心的性质得到，D是中点，求出，由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：延长交于D， 点G是的重心， ，D是中点， ， ， ，D是中点， 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期期末）如图，在中，，，，两条中线和相交于点，则的长是（    ）    A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心的性质，斜边上的中线．利用勾股定理求出的长，斜边上的中线，求出的长，再利用重心的性质，得到，即可得出结果．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，重心的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵两条中线和相交于点， ∴，点为的重心， ∴， ∴， ∴； 故选B． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知点G是等腰直角三角形的重心，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，重心性质的应用，化为最简二次根式，先求解，，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接并延长交于点， ∴是等腰直角三角形斜边的中线 ∴ ∵点是等腰直角三角形的重心， ∴，且 在中，根据勾股定理得： ； 故答案为： 相似中的动点问题 1．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒 【答案】C 【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过秒时, 与相似, 则 , 当 时, , 即 解得： 当 时, , 即 解得： 综上所述：经过或秒时,与相似 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，若点分别从点同时出发，设运动时间为，当取（    ）时，与相似． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，用含的式子分别表示出，，，，分类讨论，第一种情况，当时；第二种情况，当时；根据相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：已知，，，点的速度为，点的速度为，设运动时间为， ∴，， ∴，， 第一种情况，当时，， ∴，整理得，， ∴； 第二种情况，当时，， ∴，整理得，， ∴； 综上所述，当或时，与相似， 故选：． 【点睛】本题主要考查动点与三角形的关系，相似三角形的判定和性质，理解题目中动点的运动规律，找出边的数量关系，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．    (1)求线段的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8；理由见详解 【分析】（1）由勾股定理求得，由三角形面积公式得出，即可得出结果； （2）由勾股定理求得，过点作于，则，则，得出，即，求出，，即可得出结果；，，即，进而求解即可 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 解得：； （2）解：由（1）可得， 过点作于，如图所示： ， ， ， ，即， ， ； ， ，即：， 整理得：， 解得：，， 在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 在其他几何图形中的相似三角形问题 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为 ． 【答案】． 【分析】先过F作MN⊥BC，根据已知条件与折叠的性质得到△AFN∽△FEM，再根据相似的性质得到，设出未知数，求解出答案即可． 【详解】解：过F作MN⊥BC， ∵BE=，BC=10， ∴BE=6， ∵翻折 ∴△ABE≌△AFE， ∴EF=BE=6，∠AFE=∠B=90°，AF= AB=8， ∴∠AFN+∠EFM=90°， ∵∠AFN+∠FAN=90°， ∴∠FAN=∠EFM， ∴△AFN∽△FEM， ∴， 设AN=4x，FM=3x， FN=8-3x，EM=4x-6， ∴FN=8-3x，EM=4x-6， ∴， ∴， 经检验：是原方程的根， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定与性质，关键在于作出辅助线，根据折叠的性质证明出三角形相似． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，在正方形中，、分别为边、的中点，连接、交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，，交于点． ①求证：； ②若，求三角形的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质可得AD=BC=DC=AB，AE=BE=AB，BF=CF=BC，由SAS可证△ADE≌△BAF，可得∠BAF=∠ADE，由余角的性质可得结论； （2）①过点B作BN⊥AF于N，由AAS可证△ABN≌△ADG，可得AG=BN，DG=GN，由平行线分线段成比例可得AG=GN，由勾股定理可得结论； ②由勾股定理可求DE的长，由面积法可求AG的长，由相似三角形的性质可求GH的长，由三角形的面积可求解． 【详解】解：（1）证明：∵正方形，、分别为边、的中点， ∴，，， ∴， ∵在△ADE和△BAF中， ， ∴△ADE和△BAF（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：①如图，过点作于， ∵，，， 在△ABN和△ADG中， ， ∴△ABN和△ADG（AAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 且， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E．    （1）求证：AM＝AN； （2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC•AE； （3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）ON＝2OM，理由见详解 【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝AD，由“ASA”可证△ABM≌△ADN，可得AM＝AN； （2）由题意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可证△AMC∽△AEN，即可证AM2＝AE•AC； （3）先求出AM，进而求出MF＝NF＝BF＝，再判断出△ABM∽△AFO，进而求出FO，即可得出结论． 【详解】证明（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B， ∴∠BAM+∠MAD＝90°， ∵∠MAN＝90°， ∴∠MAD+∠DAN＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， ∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°， ∴△ABM≌△ADN（ASA） ∴AM＝AN； （2）∵AM＝AN，∠MAN＝90° ∴∠MNA＝45°， ∵∠CAD＝2∠NAD＝45°， ∴∠NAD＝22.5° ∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5° ∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°， ∴△AMC∽△AEN， ∴， ∴AM•AN＝AC•AE， ∵AN＝AM， ∴AM2＝AC•AE； （3）ON＝2OM，理由：如图，    在Rt△ABM中，AM＝1，AB＝3， 根据勾股定理得，BM＝＝， 过点B作BF⊥MN于F， ∴∠OFB＝∠A＝90°， 由（1）知，AM＝AN， ∵∠MBN＝90°， ∴FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABC＝45°＝∠MBF， ∴∠ABM＝∠FBO， ∴△ABM∽△FBO， ∴， ∴， ∴FO＝， ∴OM＝MF﹣FO＝，ON＝NF+FO＝， ∴ON＝2OM． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ABM∽△FBO是解本题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$