3.1探索勾股定理 课件 2024—2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

3.1 探索勾股定理 悟思——忆旧思新 一 积极防护 保护自己 戴口罩 勤洗手 B C A 三角形 边 角 三角形内角和为1800 两边之和大于第三边. 两边之差小于第三边. 等腰三角形 角 边 两底角相等 两腰相等 直角三角形 角 边 两锐角互余 ？ 大家好，我是古希腊数学家毕达哥拉斯。有一次我去朋友家作客，发现朋友家的地板是由许多等腰直角三角形的地砖铺成的，黑白相间，非常美观。突然，我发现地砖上这样的三个正方形的面积之间竟然存在着某种数量关系，聪明的你发现了吗？ 悟境——初识勾股定理 二 积极防护 保护自己 戴口罩 勤洗手 这三个正方形的面积之间又怎样的数量关系？它又是如何反映直角三角形三边之间的关系的呢？ (1)观察甲图，乙图，完成下表： (图中每个小方格代表一个单位面积) A的面积 B的面积 C的面积 甲图 乙图 正方形A,B,C之间的面积关系 三 悟识——探究勾股定理 9 9 18 4 4 8 SA+SB=SC 甲图 乙图 探究1 （注：正方形A,B,C的面积分别用SA，SB，SC表示） (图中每个小方格代表一个单位面积) 追问2： 等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系？ a2＋b2＝c2 A的面积 B的面积 C的面积 甲图 9 9 18 乙图 4 4 8 正方形A,B,C之间的面积关系 三 悟识——探究勾股定理 a2＋b2＝c2 a b c 甲图 乙图 探究1 SA+SB=SC SA=a2 SB=b2 SC=c2 追问1： 正方形A,B,C的面积和直角三角形的三边之间有什么关系？ A B C A B C 三 悟识——探究勾股定理 探究2 下图中的直角三角形三边是否还满足以上关系？ A的面积 B的面积 C的面积 甲图 乙图 甲图 乙图 16 9 4 9 ？ 小组合作要求： 1.小组内分享思路. 2.老师任选代表展示，讲解思路. 3.时间3分钟. 25 A B C A B C 三 悟识——探究勾股定理 探究2 下图中的直角三角形三边是否还满足以上关系？ A的面积 B的面积 C的面积 甲图 乙图 甲图 乙图 16 9 4 9 25 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 把正方形分割为易于求出面积的四个直角三角形和一个小正方形. 补成各边都在网格线上的大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 方法小结 A B C A B C 三 悟识——探究勾股定理 探究2 下图中的直角三角形三边是否还满足以上关系？ A的面积 B的面积 C的面积 甲图 16 9 25 乙图 4 9 正方形A,B,C面积之间的关系 甲图 乙图 SA+SB=SC a b c a2+b2=c2 直角三角形三边之间的数量关系 13 三 悟识——探究勾股定理 A B C 思考：如果直角三角形的两边分别为1.6个单位长度和1.2个单位长度，上面的数量关系还成立吗？ 推广： 对于一般的直角三角形，上述结论还成立吗？ 验证 三 师生活动1 悟识——探究勾股定理 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2． 符号语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. 形 数 ？ a b c 图形： A B C 数形结合思想 作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长。 勾2 + 股2 = 弦2 股 勾 弦 数海拾贝 这来源于我国古代著名的数学著作《周髀算经》，在这本书中，记载着3000年前周朝数学家商高的一个发现:勾三股四弦五。其中的勾和股，是古代人民对手臂弯成直角时分成的两段的称呼，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，因此，商高就以勾、股作为直角三角形两直角边的名称，而弦自然就是斜边的名称了。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理。 13 四 师生活动2 悟识——应用勾股定理 1.火眼金睛 判断对错 （1）在△ABC中， a2+b2=c2 ( ) （2）在△ABC中，∠B=90°，则 a2+b2=c2 ( ) × 前提： ∠C=90° × 注意找准斜边，直角边 a2+c2=b2 2.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，求下图中字母所代表的正方形A的面积 . 四 师生活动2 悟识——应用勾股定理 SA= . 625 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，SA=625则图中四个小正方形D,E,G,F的面积之和是___________ 变式1 四 师生活动1 悟识——应用勾股定理 625 A B C D E F G 625 变式2 四 师生活动1 悟识——应用勾股定理 勾股树 A B C D E F G ① ② ③ ④ ⑥ ⑤ ⑦ ⑧ 四 师生活动2 悟识——应用勾股定理 3.求下列直角三角形中未知边的长: 3 4 ① x ② A C B 6 10 x 四 师生活动2 悟识——应用勾股定理 ① x A 3 4 C B 3.求下列直角三角形中未知边的长: 解：∵ 在Rt△ABC中， AC=3,BC=4,AB=x =25 ∵x＞0 ∴ x =5 摆条件 写关系 代数字 求结果 作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长。 6 10 x ② 已知：Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6,则BC2 等于____________. 100或28 注意：哪条边是斜边! 分类讨论思想 8 6 A C B ①BC为斜边 8 6 C A B ②BA为斜边 四 师生活动1 变式 悟识——应用勾股定理 4. 为加固新栽的电线杆，工人师傅打算从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？ 转化、建模 四 师生活动2 悟识——应用勾股定理 A B C 8 6 悟理—凝化勾股定理 五 通过今天对勾股定理的探索，你收获了 什么数学知识及数学方法呢？ 悟理—凝化勾股定理 五 勾股 定理 解题方法 数学思想 割 补 数形结合 分类讨论 由特殊到 一般 勾股定理逆定理 勾股定理的应用 无理数 解直角三角形 正余弦定理 方程思想 教师寄语 勾股定理是数学世界中一颗璀璨的明珠，祝同学们用它照亮前行的路！ 1. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm². 8 cm 10 cm 36 当堂检测 25 2. 在△ABC 中，∠C = 90°. （1）若 c = 13，b = 12，则 a = . （2）若 c = 10，a= 6，则△ABC 的面积为 . 3. 若直角三角形中，有两边长是 3 和 4，则第三边长的平方为（ ） A 25 B 14 C 7 D 7 或 25 5 24 D 4. 一长为 2.5 米的木梯，架在高为 2.4 米的墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少? 解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， 得 BC2 = AB2 - AC2 = 2.52 - 2.42 = 0.49， 所以 BC = 0.7. 答：梯脚与墙的距离是 0.7 米. A B C 公元前 五世纪 公元前 三世纪 公元 200年 公元 250年 1450年 近代 公元前 1100年 公元前 2000年 大禹治水 周髀算经 毕达哥拉斯 欧几里得 赵爽弦图 青朱出入图 悟度—翼展勾股 三 1876年 达芬奇证法 总统证法 近代证法 陆行乘车，水行乘船，泥行乘撬，山形乘檋。左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山。 规 矩 返回 故折矩，勾广三，股修四，经隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。 周髀算经 返回 商高定理 悟识——探究勾股 二 积极防护 勤洗手 百牛定理 毕达哥拉斯定理 返回 悟度—翼展勾股 三 欧几里得 证法 返回 将以c为边的正方形补成更大的正方形 C a c b 为了纪念他的这一重大贡献，2002年在北京召开的第24届国际数学家大会，将弦图作为了该届大会会徽。 赵爽弦图 悟度—翼展勾股 三 返回 悟度—翼展勾股 三 勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相辅，各从其类，因就其余不动也。合成弦方之幂，开方除之，即弦也！ 青出 青入 青朱出入图 刘徽 出入相补原理 返回 悟度—翼展勾股 三 剪开 右边部分 上下翻转 达·芬奇 证法 返回 a c b b a c A B E a c b b a c A B E 悟度—翼展勾股 三 积极防 保护自己 戴口罩 勤洗手 总统证法 用两个直角边长分别为a,b,斜边长为c的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼成一个梯形。 a c b b a c A D C B E 图1 图2 返回 a c b b a c C D a c b b a c A B E 悟度—翼展勾股 三 科技馆里的水模型证明 李锐证明 返回 悟理—凝化勾股 四 通过今天对勾股定理的探索，你收获了 什么数学知识及数学方法呢？ 39 简单的勾股定理，都有无数的证法，无穷的趣味。希望数学之花在大家心里绽放，点燃我们为之求索的激情。 Solstice K-391 Solstice, track 1, disc 0 Blues 226548.17 Lavf58.20.100 null 30380.635 null 49893.27 $$