精品解析：贵州省六盘水市纽绅中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

六盘水市纽绅中学2024~2025学年度高一（上）期中考试 数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第三章3.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合真子集的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列不等式错误是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 1 C. 0 D. -3 5. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组函数是同一函数是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与. A ①② B. ②④ C. ③④ D. ①④ 7. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 10 B. 15 C. 16 D. 18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的方程的解大于2的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 若不等式的解集为R，则实数a的取值可以是（ ） A. -10 B. -8 C. 0 D. 2 11. 定义在上的函数满足，且是单调函数，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则______． 13. 已知，则的最大值是_____. 14. 定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）比较大小：与； （2）若关于的不等式的解集为，求，的值. 16. 设函数，且. （1）求的值； （2）用定义证明在上单调递增. 17 已知集合，集合. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 18. 某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？ 19. 已知为偶函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当时，的最小值为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六盘水市纽绅中学2024~2025学年度高一（上）期中考试 数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第三章3.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的真子集的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由集合所包含元素个数与集合真子集个数之间的关系即可得解. 【详解】含有个元素的集合的真子集个数为，即所求为. 故选：C. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是: 故选:D. 3. 已知，下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】因为，所以，，， 故选：C 4. 已知函数，则（ ） A 6 B. 1 C. 0 D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】先算，进一步继续代入表达式即可得解. 【详解】由题意可知：， ，. 故选：B. 5. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判定函数的奇偶性和正负即可得解. 【详解】的定义域为，它关于原点对称，且， 所以是偶函数，排除AB， 当时，，排除C，经检验，D符合题意. 故选：D. 6. 下列各组函数是同一函数是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与. A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数三要素对选项中的两函数进行逐一判断即可得出结论. 【详解】①中两函数定义域不同，故这两个函数不是同一函数； ②的定义域为，的定义域为，这两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一函数； ③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数； ④与是同一函数； 所以是同一函数的是③④. 故选：C 7. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数、反比例函数的性质以及分段函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可． 【详解】若函数是R上的减函数， 则， 解得, 即实数a的取值范围是. 故选：B． 8. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 10 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的方程的解大于2的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】求出方程的解令其大于2可得答案. 【详解】方程的解为，由可得， 方程的解大于2的充分不必要条件是选项为真子集， 因为，，， ，故，符合. 故选：CD. 10. 若不等式的解集为R，则实数a的取值可以是（ ） A. -10 B. -8 C. 0 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】分类讨论，当时，符合题意；当时，根据抛物线的开口方向和判别式列式可得结果 【详解】解：不等式的解集为， 当时，不等式为，恒成立，所以符合题意； 当时，的解集为R， 则抛物线的开口只能向下，且，即， 解得， 综上，的取值范围， 故选：ABC 11. 定义在上的函数满足，且是单调函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题干条件可得到是定义在上的单调递增奇函数，由此可得到ABD是正确的. 取，则满足题干的所有条件，此时，所以C错误. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以是奇函数，从而，所以A正确； 因为是单调函数，且， 所以是上的单调递增函数， 故，所以B正确； 取，则满足题干的所有条件， 此时，所以C错误； 由于， 且是上的单调递增函数， 故，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据集合相等的定义求解． 【详解】由题意，解得． 故答案为：2. 13. 已知，则的最大值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】解：， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最大值是. 故答案为： 14. 定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义即可求出函数的值域. 【详解】解：当为整数时，， 当时，， 当时，， 所以当且不为整数时，的值域包含于 ． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）比较大小：与； （2）若关于的不等式的解集为，求，的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由作差法即可求解； （2）由韦达定理列出方程组即可求解. 【详解】（1）由 ，得. （2）因为关于的不等式的解集为， 所以1和2为方程的两个解，即解得. 16. 设函数，且. （1）求的值； （2）用定义证明在上单调递增. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接由列方程即可得解； （2）直接由单调性的定义即可得证. 【小问1详解】 由题意得，解得. 【小问2详解】 由（1）知， 任取，，且，有 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. 17. 已知集合，集合. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题易得，建立不等式组即可求解的取值范围； （2）由，分两种情况解不等式即可求解的取值范围. 【小问1详解】 （1）由是的充分条件知， 从而有，解得， 故的取值范围为； 【小问2详解】 ，且， 或， 解得或， 故的取值范围为或. 18. 某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？ 【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30，则其东西侧边长为40，人行通道占地面积最小528． 【解析】 【分析】设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为m，人行通道占地面积为，再由基本不等式可得答案. 【详解】设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为m， 人行通道占地面积 ， 由均值不等式，得， 当且仅当，即时，，此时． 所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m，则其东西侧边长为40m，人行通道占地面积最小528m2． 19. 已知为偶函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当时，的最小值为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合时，得到，代入即可求解； （2）由（1）得到的图象开口向上，对称轴为，分，和，三种情况讨论，结合二次函数的性质，求得的解析式，进而求得的最小值. 【小问1详解】 解：因为为偶函数，且当时，， 所以，当时，，可得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由（1）可得，当时，， 所以的图象开口向上，对称轴为， 所以当时，可得，则在上单调递减， 所以； 当时，可得，则在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，函数在上单调递增，所以. 综上所述，函数的解析式为， 当时，可得单调递减，所以； 当时，可得； 当时，可得单调递增，所以， 所以函数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$