精品解析：福建省龙岩市一级校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题

龙岩市一级校联盟2024-2025学年第一学期半期考联考 高一数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”否定为（ ） A ， B. ， C ， D. ， 3. 若，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是上的偶函数，对于任意的，都有成立，且，当且时，都有成立.现给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为严格增函数；④方程在上有4个根.其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 函数的单调递增区间为 C. 若满足，则的图象关于点中心对称 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 11. 已知函数，若存在实数，使得对任意的实数恒成立，称为“函数”.下列说法正确的是（ ） A. 若为“函数”，且，则 B. 若，则是“函数” C. 若为“函数”，则 D. 若是“函数”，且当时，，则当时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是幂函数，则______. 13. 已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为奇函数，则不等式的解集为______. 14. 已知函数，若，都有成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）若不等式的解集是，求，的值； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 17. 已知函数，定义域为. （1）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； （2）解不等式. 18. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，且当年产量为10台时，需另投入成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求的值； （2）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （3）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 已知二次函数的图象经过点，且函数是偶函数. （1）求的解析式； （2）已知，且函数，求在上的最大值； （3）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个正整数的完全平方数？如果存在，求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙岩市一级校联盟2024-2025学年第一学期半期考联考 高一数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简，即可根据交集的定义求解. 【详解】由可得， 故， 故选：B 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】解：因命题“，”， 所以其否定为，， 故选：A 3. 若，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系可得出结论. 【详解】因为，，， 因此，的一个充分不必要条件为. 故选：C. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为偶函数可排除AC，根据排除B. 【详解】由于 所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除AC， 当，此时排除B， 故选；D 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“括号里范围相同”以及“分式分母不为零”列出不等式组，由此可求定义域. 【详解】由条件可知，，解得， 所以的定义域为， 故选：B. 6. 已知是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段函数在R上单调递减，需满足每一段上单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A 7. 已知正数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数运算可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足，即，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 8. 已知是上的偶函数，对于任意的，都有成立，且，当且时，都有成立.现给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为严格增函数；④方程在上有4个根.其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①在中，令即可判断①；②由.所以的周期为4，再利用是偶函数，可得，从而可判断②；③依题意知，函数在上为增函数，利用的周期为4，且是偶函数，从而可判断③；根据可判断④． 【详解】对于任意，都有成立， 令，则，即， 又因为是上的偶函数，所以， 则，即函数是周期为4的周期函数． ①，正确； ②的周期为4，又是上的偶函数，所以， 故直线是函数的图象的一条对称轴，即②正确； ③：且时，都有成立则函数在上为增函数， 是上的偶函数，函数在上为单调递减函数 而的周期为4，函数在上为减函数，故③不正确； ④，的周期为4，函数在上为增函数，在上为减函数， 在上只有一个零点2， 则， 所以，函数在上有4个零点，故④正确． 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的解析式逐项判断. 【详解】A. 是偶函数，又在上单调递减，故正确； B. 是偶函数，又在上单调递增，故错误； C. 是偶函数，又在上单调递减，故正确； D. 是奇函数，又在上单调递减，故错误； 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 函数的单调递增区间为 C. 若满足，则的图象关于点中心对称 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据可判断A；根据复合函数的单调性可判断B；根据函数的对称性可判断C；利用数形结合可判断D. 【详解】对于A，当时，， 所以函数的图象恒过定点，故A正确； 对于B，设，则， 由，得或， 因为在单调递增， 在单调递减，在单调递增， 所以的单调递增区间为，故B正确； 对于C，因为满足， 当取时，，即， 所以的图象关于点中心对称，故C错误； 对于D，当时，函数的图象下图所示， 当时，函数的图象下图所示， 则当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，若存在实数，使得对任意的实数恒成立，称为“函数”.下列说法正确的是（ ） A. 若为“函数”，且，则 B. 若，则是“函数” C. 若为“函数”，则 D. 若是“函数”，且当时，，则当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义，令，可判断A；假设是“函数”，根据定义得到方程无解可判断B；根据定义结合指数函数的性质可判断C；根据定义得，设，则，代入即可判断D. 【详解】对于A，若为“函数”，则，当时，， 因为，所以，故A正确； 对于B，若，假设是“函数”，则，即， 不存在对任意的实数恒成立，所以假设不成立，故B错误； 对于C，为“函数”， 即， 因为，，所以，即，则，故C正确； 对于D，若是“函数”，则，得， 当时，，因为当时，， 所以，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是幂函数，则______. 【答案】27 【解析】 【分析】根据幂函数的概念求出的值，进而求函数值 【详解】因为是幂函数，所以，解得， 所以，所以， 故答案为：. 13. 已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为奇函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析函数的单调性，画出其代表图，观察图象即可解出不等式. 【详解】因为函数在上单调递增，且函数为奇函数， 所以函数在上单调递增， 由于，所以， 不等式等价为或， 由图象可知：或. 故答案为： 14. 已知函数，若，都有成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】采用分离常数法先化简，然后利用基本不等式结合函数单调性求解出在上的值域，再将问题转化为最值之间的关系，由此求解出的取值范围. 【详解】， 令，则， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 因为，所以，则函数在上单调递减，则， 所以当时，，， 因为，都有成立，即恒成立， 所以，解得， 所以，故的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是分离常数法的运用，先将问题变为熟悉的基本不等式求最值或者对勾函数求值域的问题，另一方面是转化法的运用，根据条件将问题转化为恒成立问题，从而通过函数最值关系求解出参数范围. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，再求出集合在上的补集，再求即可； （2）由题意得，分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 当时，. ，， . 【小问2详解】 ， . 当时，符合题意，此时有，解得； 当时，要使，只需，解得. 综上，. 故实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若不等式的解集是，求，的值； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，为方程的两根，结合韦达定理列式即可求； （2）分两种情况讨论即可. 【小问1详解】 不等式的解集是， ，2为方程的两根，且，， ， 解得，. 【小问2详解】 当时，符合题意. 当时，要使恒成立， 只需满足，解得. 综上所述， 故实数的取值范围为. 17. 已知函数，定义域为. （1）判断函数在上单调性，并用定义加以证明； （2）解不等式. 【答案】（1）单调递增，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先取值，然后将的结果因式分解并判断出正负，再根据的大小关系可证明出单调性； （2）根据定义先证明的奇偶性，然后将不等式变形为，结合单调性以及定义域完成解不等式. 【小问1详解】 在上单调递增. 证明如下： ，不妨令， ，，， 又，，，，即， 在上单调递增. 【小问2详解】 的定义域为且关于原点对称， 又， 为定义在上奇函数， 不等式可化为， 又在上单调递增， ，解得， 原不等式的解集为. 18. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，且当年产量为10台时，需另投入成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求的值； （2）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （3）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）50台，900万元 【解析】 【分析】（1）由年产量为10台时，需另投入成本500万元求解； （2）根据利润销售收入成本，分和求解； （3）由（2），分和，分别利用二次函数和基本不等式求解. 【小问1详解】 解：将，代入， 得，解得. 【小问2详解】 由题意可得，当时，； 当时， 故年利润关于年产量的函数关系式为 【小问3详解】 由（2）得当时，； 当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，. 而，故当时，年利润最大，最大年利润是900万元. 综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元. 19. 已知二次函数的图象经过点，且函数是偶函数. （1）求的解析式； （2）已知，且函数，求在上的最大值； （3）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个正整数的完全平方数？如果存在，求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）根据对称轴为以及图象经过，即可求解， （2）作出的图象，即可分类讨论求解， （3）根据可得，即可求解. 【小问1详解】 函数是偶函数， 二次函数的对称轴方程为，即， . 又二次函数的图象经过点， ，即， 函数的解析式为. 【小问2详解】 作出的图象如下： 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述， 【小问3详解】 假设函数的图象上存在满足条件的点，其中，， 则有，即， ， . ，， ， ，， 或 解得或 函数的图象上存在满足条件的点，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$