精品解析：陕西省洛南中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学试题 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，考试结束后，将答题卡交回;选择题要用2B铅笔填涂，所有试题都在答题卡上作答，写在本试卷上无效. 2.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是幂函数且在是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象是（ ）． A. B. C. D. 4. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 5 已知函数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 6. 已知p： q：，则p是q的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若不等式对任意， 恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若定义域为的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若是一次函数，且，则 C. 函数图象与轴最多有一个交点 D. 函数在上是单调递减函数 11. 已知正数，满足，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13. 已知函数是R上的奇函数，当时，，则______； 14. 若函数的定义域是R，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 若集合，. （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性并证明； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）当时，求函数的值域. 17. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式解集.（其中） 18. “三星堆”考古发掘出大量的古代象牙，博物馆需要设计一个透明且密封的长方体玻璃保护罩，并充入昂贵的保护液，保护出土的这些古代象牙，该博物馆需要支付的总费用由以下两部分构成：①保护液的费用，已知罩内该液体的体积比保护罩的容积少，且每立方米的保护液费用为500元.②保险费，需支付的保险费为（元），保护罩的容积为，与成反比，当容积为时，支付的保险费为4000元. （1）求该博物馆支付的总费用（元）与保护罩容积之间的函数关系式； （2）如何设计保护罩的容积，使博物馆支付的总费用最小? 19. 已知集合. （1）判断5，12，14是否属于，并说明理由； （2）集合，证明：； （3）写出集合中的所有偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学试题 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，考试结束后，将答题卡交回;选择题要用2B铅笔填涂，所有试题都在答题卡上作答，写在本试卷上无效. 2.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的运算求解即可. 【详解】， 故. 故选：B 2. 下列函数是幂函数且在是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确. 【详解】由幂函数的概念可以排除B、D选项， 而在是减函数，在是增函数， 故答案为：C. 3. 函数的图象是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数表达式化简成分段函数形式即可判断. 【详解】，对比选项可知，只有C符合题意. 故选：C. 4. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用根式与分数指数幂的互换，结合分数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】． 故选：D 5. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】直接由函数的定义代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 6. 已知p： q：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的互相推出情况判断出属于何种条件. 【详解】当时，，所以，所以充分性满足， 当时，取，此时不满足，所以必要性不满足， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 7. 若不等式对任意， 恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式求出的最小值，然后解不等式即得． 【详解】∵不等式对任意， 恒成立，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴，∴，∴实数取值范围是， 故选：B 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，由于参数已经分离，因此只要求得的最小值，解相应不等式即可得． 8. 若定义域为的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号， 再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 由可得且 可得或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】逐一判断函数的奇偶性可得. 【详解】对A：因为函数的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故A错； 对B：因为，所以为偶函数，故B错； 对C：因为，所以为奇函数，故C正确； 对D：因为，所以为奇函数，故D正确. 故选：CD 10. 下列说法错误的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若是一次函数，且，则 C. 函数的图象与轴最多有一个交点 D. 函数在上是单调递减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据单调区间的定义即可判断D. 【详解】A：对于，有，解得， 则的定义域为， 对于，有，解得或， 则的定义域为， 即与的定义域不一致， 所以这两个函数不表示同一个函数，故A错误； B：设，则， 又，所以，解得或， 所以或，故B错误； C：由函数的定义知，的图象与轴最多有一个交点，故C正确； D：函数在上是单调递减函数，故D错误. 故选：ABD 11. 已知正数，满足，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式公式求解即可. 【详解】对于A：，当且仅当时，等号成立， 又因为，所以，即，故A正确； 对于B：，当且仅当时，等号成立， 因为，，所以，故B正确； 对于C：，当且仅当时，等号成立， 所以，故C错误； 对于D：由 ，为正数，若，又， 所以，则， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用指数幂的运算法则化简即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知函数是R上的奇函数，当时，，则______； 【答案】2 【解析】 【分析】利用奇函数求及，再利用已知条件求解即可. 【详解】由于函数是R上的奇函数，所以，， 当时，有， 又当时，，所以有， 即， 故答案为：. 14. 若函数的定义域是R，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】化成在R上恒成立，结合二次函数进行求解即可. 【详解】因为函数的定义域为R， 所以在R上恒成立， 当时，符合题意， 当时，，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 若集合，. （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，根据并集运算定义求解； （2）由条件可得，结合集合包含关系列不等式求结论. 小问1详解】 因为， ∴，又 ∴. 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴， ∴实数取值范围为. 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性并证明； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）当时，求函数的值域. 【答案】（1）函数是奇函数，证明见解析 （2）函数在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性定义可判断函数为奇函数. （2）函数在上单调递增，利用作差法，即可证明. （3）可证得函数在上单调递减，结合（2）得在上单调递减；在上单调递增，可得函数的最大值和最小值，即可求得函数的值域. 【小问1详解】 函数是奇函数，证明如下： 函数定义域为， ∵，都有，且 ， ∴函数为奇函数. 【小问2详解】 函数在上单调递增，证明如下： ，且， 则 ， 由得，，，， ∴，即， ∴函数在上单调递增. 【小问3详解】 设任意，且， 则 ， 由得，，，， ∴，即， 所以函数在上单调递减， 结合（2）得在上单调递减；在上单调递增， ，， 故函数的值域为． 17. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式解集.（其中） 【答案】（1） （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，函数， 令， 则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 即不等式转化为， 则， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 18. “三星堆”考古发掘出大量的古代象牙，博物馆需要设计一个透明且密封的长方体玻璃保护罩，并充入昂贵的保护液，保护出土的这些古代象牙，该博物馆需要支付的总费用由以下两部分构成：①保护液的费用，已知罩内该液体的体积比保护罩的容积少，且每立方米的保护液费用为500元.②保险费，需支付的保险费为（元），保护罩的容积为，与成反比，当容积为时，支付的保险费为4000元. （1）求该博物馆支付的总费用（元）与保护罩容积之间的函数关系式； （2）如何设计保护罩的容积，使博物馆支付的总费用最小? 【答案】（1）； （2）当保护罩的容积为时，博物馆支付的总费用最小. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出反比例系数，再列出函数关系式即得. （2）由（1）的关系式，利用基本不等式求出最小值即得. 【小问1详解】 设需要支付的保险费为，当时，，解得， 所以总费用. 【小问2详解】 由（1）知 ，当且仅当，即时等号成立， 所以当保护罩的容积为时，博物馆支付的总费用最小. 19. 已知集合. （1）判断5，12，14是否属于，并说明理由； （2）集合，证明：； （3）写出集合中的所有偶数. 【答案】（1），，理由见解析 （2）证明见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）由，即可证明； （3）根据，同奇同偶及，可得中所有偶数的形式. 【小问1详解】 ∵，，∴ 假设，则， 且，， ∴，或，均无整数解，∴ 【小问2详解】 ∵集合，恒有 ∴，∴ 【小问3详解】 集合，成立， 同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， 一奇一偶时，，均为奇数，为奇数. 因为，故， 所以，集合中的所有偶数为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$