专题14.3 解题技巧专题：乘法公式（平方差公式与完全平方公式）的灵活运用（8大考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题14.3 解题技巧专题：乘法公式(平方差公式与完全平方公式)的灵活运用 目录 【典型例题】 1 【考点一 对乘法公式的识别问题】 1 【考点二 求完全平方项中的字母系数问题】 3 【考点三 与乘法公式有关的化简求值问题】 4 【考点四 利用乘法公式进行简便运算】 6 【考点五 利用乘法公式的变式求值】 8 【考点六 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】 10 【考点七 平方差公式在几何图形中的应用】 14 【考点八 完全平方公式在几何图形中的应用】 19 【过关检测】 25 【典型例题】 【考点一 对乘法公式的识别问题】 例题：（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式乘法，平方差公式．根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故不符合题意； B、，能用平方差公式计算，故符合题意； C、，不能用平方差公式计算，故不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，故不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列算式能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的特征是解题的关键． 根据平方差公式、完全平方公式的特征，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、中各项不相同，不能用完全平方公式计算，不符合题意； B、，能用完全平方公式计算，符合题意； C、中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，不符合题意； D、中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海·期中）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式转化为，然后利用平方差公式展开，再利用完全平方公式进行运算即可．掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：D． 【考点二 求完全平方项中的字母系数问题】 例题：（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x的整式是某个整式的平方，那么m的值是 ． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式的结构特征判断，即可求出m的值． 【详解】解：整式是某个整式的平方， ， 或， 即m的值是或， 故答案为：或． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握：如果一个二次三项是完全平方式，则满足如下特征：两项符号相同且为平方形式，第三项为前面两项（在平方的形式下）的底数积的倍且符号不限．据此解答即可． 【详解】解：∵关于的二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或， ∴的值是或． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知二项式A和单项式B满足，那么 ． 【答案】， 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，据此求解即可． 【详解】解：∵A是二项式， ∴是一个二项式的完全平方， ∴可以写成一个二项式的完全平方， ∴，． 故答案为：，． 【考点三 与乘法公式有关的化简求值问题】 例题：（24-25六年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中、． 【答案】，1． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则成为解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后将、代入计算即可． 【详解】解： ； 当、时，原式． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2025 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【详解】本题考查了整式的运算，先把括号内利用完全平方公式、平方差公式展开，然后合并同类项，再计算除法，最后把m 、n的值代入计算即可． 解： ， 当，，原式 【考点四 利用乘法公式进行简便运算】 例题：（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）简便计算 (1) (2) 【答案】(1)8800 (2)12.1 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，运算律在有理数运算中的应用， 对于（1），先提出11，再根据平方差公式计算即可； 对于（2），逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，含乘方的有理数混合运算等知识点，能灵活运用平方差公式和完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先变形，再根据平方差公式进行计算即可； （2）先变形，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·四川乐山·期中）利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)9996 (2)4 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查乘法公式，涉及平方差公式、完全平方和公式等知识，熟记乘法公式，恒等变形是解决问题的关键． （1）利用平方差公式变形求解即可得到答案； （2）利用完全平方和公式变形求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点五 利用乘法公式的变式求值】 例题：（24-25七年级上·上海浦东新·期中）已知，求 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，用公式法解因式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）根据，即可解答； （2）根据，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)37 (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，平方根以及完全平方公式的应用． （1）将变形为，将，代入求解即可． （2）先求出，再求的平方根即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级上·上海·期中）应用完全平方公式解决下列问题： (1)已知，，求和的值； (2)已知，求和的值． 【答案】(1)， (2)，． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值： （1）根据，进行求解即可； （2）先证明，再求出，进而得到，则可得到，据此可得，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 【考点六 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ∵，∴．因此代数式有最小值； ②． ∵，∴．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最大值为13， 故答案为：13； （2）解： ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为18． 2．（24-25八年级上·山东日照·期中）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，当时，的值最小，最小值是0，   当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）当_____时，代数式有最小值；最小值是________________； 又如探求多项式的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式，因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是-22． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求： （2）多项式的最小值是多少，并写出对应的的取值． （3）多项式的最大值是多少，并写出对应的的取值． 【答案】（1）3，1；（2）当时，原多项式的最小值是15（3）时，原多项式的最大值是4 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查配方法、非负数的性质，能够类比题中的例子运用配方法将多项式变形，同时利用平方的非负性确定最大值或最小值，是解题的关键． （1）用配方法把多项式变形成，然后利用是非负数，从而得出原多项式的最小值及对应的取值． （2）先把变形为，然后利用是非负数，从而得出原多项式的最小值及对应的取值． （3）先把变形为，然后利用是非负数，从而得出原多项式的最大值及对应的取值． 【详解】解：（1）， ，当时，的值最小，最小值是0， ，当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1， 故答案为：3，1； （2）原式， 因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是15； （3）原式， 因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最大值是，所以当时，原多项式的最大值是4． 【考点七 平方差公式在几何图形中的应用】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式求值； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①由得，， ∵，， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可； 解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③公式中的和可以是单项式，也可以是多项式． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） ． 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案为：B． （2），且， ， 解得：； （3） ． 【考点八 完全平方公式在几何图形中的应用】 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）（1）【问题呈现】 已知，，求下列各代数式的值：①；    ②． （2）【问题推广】 若，则________； （3）【问题拓展】 如图，已知E，F分别是正方形的边，上的点，且，，长方形的面积是20，分别以，为边长作正方形和正方形，直接写出阴影部分的面积． 【答案】（1）①13；②；（2）5；（3） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用等知识点， （1）①根据恒等变形即可得解，②根据恒等变形即可得解； （2）设，，则，，由代入计算即可； （3）由题意得，正方形的边长为，正方形的边长为，，设，，则，，根据求出的值，再利用进行计算即可； 掌握完全平方公式的结构特征是正确解答此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴①， ②∵ ∴； （2）设，，则，， ∴ ； （3）设正方形的边长为x， 由题意得，正方形的边长为，正方形的边长为， ∵长方形的面积是20， ∴， 设，，则，， ∴ ， ∴（负值舍去）， ∴ ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法． （1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是__________； （2）根据（1）中的结论，若，，且，则__________； （3）由完全平方公式：，可得__________ 拓展应用：若，求的值． （4）拓展：如图3，在中，，，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点，M，使，设，分别以BC，CQ为边在外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若，的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和． 【答案】（1）；（2）3；（3）；拓展应用：；（4）79． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可； （3）通过移项得出结论； 拓展应用：利用，整体思想求出结果； （4）根据题意得，再结合，得出，整体思想求出结果即可． 【详解】（1）解：∵, （2）由 （1）可得, （3）∵ （4）设， 则, ， , ∵, , 令, ， 正方形ABCD和正方形COPQ的面积和: 【点睛】本题考查了完全平方式的几何背景，整式的混合运算，多项式的乘法 ，熟练掌握完全平方公式的结构特征及变形是解题的关键． 2．（24-25八年级上·海南海口·期中）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形． (1)【理解探究】 ①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到之间的等量关系式： ； ②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ； (2)【类比应用】 根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知，求和的值； (3)【拓展升华】 如图4，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，，使，设，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若，的面积等于，直接写出正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)①② (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，完全平方公式变形求值； （1）①利用等面积法求得结论即可；②利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可； （3）设，根据题意得，再结合，令，得出，整体思想求出结果即可． 【详解】（1）解：①根据图2可得 ②根据图3可得阴影部分的面积为或 ∴． （2）解：∵，， ∴ ∴， ； （3）解：设，则， ， ， ∵， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）下列等式，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式．根据平方差公式和完全平方公式的特征逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，正确，本选项不符合题意； B、，正确，本选项不符合题意； C、，正确，本选项不符合题意； D、，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，先得出完全平方式为，再将其展开，则有，计算出k的值即可． 【详解】解：∵多项式是关于、的完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则M的最小值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用等知识，利用完全平方公式将转化为，再根据即可得到的最小值是2019． 【详解】解： ， ∵， ∴M的最小值是2019． 故选：C 4．（24-25七年级上·上海·期中）老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式，整式的加减．由题意可知：所的二次三项式是个加数，根据加数和另一个加数，列出算式，进行化简即可． 【详解】解：由题意得： ， 所捂的多项式为：； 故选：B． 5．（24-25八年级上·北京·期中）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，即可解题． 【详解】解：由图知，甲图形阴影部分的面积为， 乙图形阴影部分的长为，宽为，则其面积为， 即， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】． 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为． 7．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）代数式是一个完全平方式，则 ． 【答案】9或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方公式，将代数式写成的形式，再求出k． 【详解】∵代数式是一个完全平方公式， ∴， 解得或． 故答案为：9或． 8．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】48 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）当 时，代数式有最大值． 【答案】4 【知识点】有理数幂的概念理解、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根），熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 利用完全平方公式先进行配方，再根据任何数的偶次方是非负数，即可求解． 【详解】解： ∵ ∴ ∴当时，代数式有最大值，最大值为17． 故答案为：4. 10．（24-25八年级上·全国·期中）【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若，，则 ． 【答案】16 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图得，由 求出，即可求解；掌握、、之间的关系，能表示出面积是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ，， ， ， ， ； 故答案：． 三、解答题 11．（22-23八年级上·海南三亚·期中）利用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，关键是能把原式化成符合平方差公式和完全平方公式的形式． （1）将103转化为，利用完全平方公式进行解答． （2）把化成，根据平方差公式展开，再合并即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，，求下面各代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，代数式求值，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式将已知的式子展开，再利用两个式子左右相加即可求解； （2）利用完全平方公式将已知的式子展开，再利用两个式子左右相减得到，即可求解． 【详解】（1）解：，， 得：， ； （2），， 得：， 解得：， ． 13．（24-25八年级上·全国·期中）（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值．（其中满足）． 【答案】（1）；；（2）；2022 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，二次根式的非负性和二次方的非负性，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可； （2）先根据整式混合运算法则进行计算，再根据非负数的性质求出x、y的值，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：（1） ， 把代入得： 原式． （2） ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式． 14．（24-25八年级上·河南南阳·期中）代数推理： 例题：求的最小值． 解： 无论取何值，总是非负数， 即所以， 所以：当时，有最小值，最小值为5． 阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：____________； (2)仿照例题的方法求出的最小值； (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为5a和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)36，6 (2) (3)，理由见解析 【知识点】整式四则混合运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解并掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）根据完全平方公式的结构特征，即可获得答案； （2）根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可； （3）首先根据题意得，，进而计算并整理，然后根据完全平方公式的非负性可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：由完全平方公式可得， 故答案为：36，6； （2） 无论取何值，总是非负数， 即， ∴， ∴的最小值为； （3）由题意得，， ∴ ， 无论取何值，总是非负数，即， ∴ ∴的最小值为11， ∴， ∴． 15．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)①；② 【知识点】平方差公式与几何图形、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，平方差公式．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，则，再根据进行求解即可； （2）①正方形边长为x，则，再由结合图形可以表示出与； ②设，则，据此可得，则，阴影部分面积，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴ ； （2）解：①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、 ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是4 8 ， ， 设， ∴，     ， ， 又， ， ∴阴影部分面积 即阴影部分的面积是 ． 16．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题； (1)【直接应用】若，，求的值； (2)【类比应用】填空： ①若，则______； ②若，则______； (3)【知识迁移】两块形状和大小完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】(1) (2)①7；②5 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． （1）把，代入 从而可得答案； （2）①由完全平方公式的变形可得，再代入求值即可； ②利用完全平方公式变形可得，再求值即可； （3）先证明三点共线，，可得，结合已知条件可得，，再利用，求解2ab，从而可得答案． 【详解】（1）解： ，，而 解得：； （2）解：①， ； ②，， ； （3）解：三点共线，且 三点共线， ，， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.3 解题技巧专题：乘法公式(平方差公式与完全平方公式)的灵活运用 目录 【典型例题】 1 【考点一 对乘法公式的识别问题】 1 【考点二 求完全平方项中的字母系数问题】 3 【考点三 与乘法公式有关的化简求值问题】 4 【考点四 利用乘法公式进行简便运算】 6 【考点五 利用乘法公式的变式求值】 8 【考点六 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】 10 【考点七 平方差公式在几何图形中的应用】 14 【考点八 完全平方公式在几何图形中的应用】 19 【过关检测】 25 【典型例题】 【考点一 对乘法公式的识别问题】 例题：（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列算式能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【考点二 求完全平方项中的字母系数问题】 例题：（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x的整式是某个整式的平方，那么m的值是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是 ． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知二项式A和单项式B满足，那么 ． 【考点三 与乘法公式有关的化简求值问题】 例题：（24-25六年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中、． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【考点四 利用乘法公式进行简便运算】 例题：（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）简便计算 (1) (2) 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算． (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·四川乐山·期中）利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 【考点五 利用乘法公式的变式求值】 例题：（24-25七年级上·上海浦东新·期中）已知，求 (1)； (2) 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知，求： (1)的值； (2)的值． 2．（24-25七年级上·上海·期中）应用完全平方公式解决下列问题： (1)已知，，求和的值； (2)已知，求和的值． 【考点六 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ∵，∴．因此代数式有最小值； ②． ∵，∴．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 2．（24-25八年级上·山东日照·期中）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，当时，的值最小，最小值是0，   当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）当_____时，代数式有最小值；最小值是________________； 又如探求多项式的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式，因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是-22． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求： （2）多项式的最小值是多少，并写出对应的的取值． （3）多项式的最大值是多少，并写出对应的的取值． 【考点七 平方差公式在几何图形中的应用】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【考点八 完全平方公式在几何图形中的应用】 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）（1）【问题呈现】 已知，，求下列各代数式的值：①；    ②． （2）【问题推广】 若，则________； （3）【问题拓展】 如图，已知E，F分别是正方形的边，上的点，且，，长方形的面积是20，分别以，为边长作正方形和正方形，直接写出阴影部分的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法． （1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是__________； （2）根据（1）中的结论，若，，且，则__________； （3）由完全平方公式：，可得__________ 拓展应用：若，求的值． （4）拓展：如图3，在中，，，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点，M，使，设，分别以BC，CQ为边在外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若，的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和． 2．（24-25八年级上·海南海口·期中）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形． (1)【理解探究】 ①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到之间的等量关系式： ； ②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ； (2)【类比应用】 根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知，求和的值； (3)【拓展升华】 如图4，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，，使，设，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若，的面积等于，直接写出正方形和正方形的面积和． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）下列等式，不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则M的最小值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 4．（24-25七年级上·上海·期中）老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·北京·期中）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 7．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）代数式是一个完全平方式，则 ． 8．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知，，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）当 时，代数式有最大值． 10．（24-25八年级上·全国·期中）【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若，，则 ． 三、解答题 11．（22-23八年级上·海南三亚·期中）利用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 12．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，，求下面各代数式的值： (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·全国·期中）（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值．（其中满足）． 14．（24-25八年级上·河南南阳·期中）代数推理： 例题：求的最小值． 解： 无论取何值，总是非负数， 即所以， 所以：当时，有最小值，最小值为5． 阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：____________； (2)仿照例题的方法求出的最小值； (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为5a和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由． 15．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 16．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题； (1)【直接应用】若，，求的值； (2)【类比应用】填空： ①若，则______； ②若，则______； (3)【知识迁移】两块形状和大小完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$