2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项1 二次函数的交点问题

专项1 二次函数的交点问题 典例　一题串考法　如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为D. 类型1　抛物线与坐标轴的交点 (1)求点A，B，C，D的坐标． 解：令－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3. ∴A(－1，0)，B(3，0). 令x＝0，得y＝3，∴C(0，3). ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴D(1，4). 本章知识导图 1．抛物线与坐标轴的交点 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根．通过根的判别式即可判断抛物线与x轴的交点情况． 通常，令y＝0可得与x轴的交点坐标；令x＝0可得与y轴的交点坐标． 本章知识导图 类型2　抛物线与直线的交点 (2)已知直线y＝m，请说明直线y＝m与抛物线的交点情况，并写出对应的m的取值范围． 解：如图，当直线与抛物线没有交点时，m＞4； 当直线与抛物线有一个交点时，m＝4； 当直线与抛物线有两个交点时，m＜4. 本章知识导图 (3)已知直线l：y＝kx＋b经过点B，C.将直线l沿y轴向上平移a(a＞0)个单位长度．请说明平移后直线l与抛物线的交点情况，并写出对应的a的取值范围． 本章知识导图 解：如图，设平移后直线l的函数表达式为y＝－x＋3＋a. 令－x＋3＋a＝－x2＋2x＋3， 整理，得x2－3x＋a＝0. Δ＝9－4a. ①当Δ＝9－4a＝0，即a＝ 时，平移后直线l与 抛物线只有一个交点；②当0＜a＜ 时，平移后 直线l与抛物线有两个交点； ③当a＞ 时，平移后直线l与抛物线没有交点. 本章知识导图 2．抛物线与直线的交点 基本思路： ①作出草图； ②寻找临界点； ③分析判断交点情况． 方法总结 联立抛物线与直线的函数表达式，得到一元二次方程(整理成一般形式)，然后利用根的判别式判断交点情况． 本章知识导图 类型3　抛物线与线段的交点 (4)点P(0，yP)是y轴上一点，将点P向右平移3个单位长度得到点Q，请说明线段PQ与抛物线的交点情况，并写出yP的取值范围． 本章知识导图 解：由题意，得PQ＝OB＝3. 如图，当线段PQ与抛物线没有交点时，yP＞4或yP＜0； 当线段PQ与抛物线只有一个交点时，yP＝4或0≤yP＜3； 当线段PQ与抛物线有两个交点时，3≤yP＜4. 本章知识导图 3．抛物线与线段的交点 基本思路： ①作出草图； ②寻找临界点，注意线段两端点与抛物线的位置关系； ③分析判断交点情况． 第(4)问 将线段PQ沿y轴上下平移，结合图象即可直观地判断交点个数． 本章知识导图 (5)点M是直线BC上一点，将点M向右平移3个单位长度得到点N，请说明线段MN与抛物线的交点情况，并写出对应的点M的横坐标xM的取值范围． 本章知识导图 解：易得MN∥x轴，直线BC：y＝－x＋3. 当MN经过顶点D(1，4)时，与抛物线只有一个交点． 令－x＋3＝4，则x＝－1，即此时xM＝－1. 当MN经过点C时，与抛物线有两个交点，此时xM＝0. 当MN经过点B时，与抛物线只有一个交点，此时xM＝3. 如图，可知当xM＜－1或xM＞3时，线段MN与抛物线没有交点； 当xM＝－1或0＜xM≤3时，线段MN与抛物线只有一个交点； 当－1＜xM≤0时，线段MN与抛物线有两个交点． 本章知识导图 第(5)问 找三个临界点： ①MN经过顶点D； ②点M经过点C； ③点M经过点B. 本章知识导图 类型4　组合抛物线的交点问题 拓展设问(6)将抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，与原抛物线在x轴上方的图象组成一个新的图象W. 当直线y＝－x＋c与图象W有四个交点时，求c的取值范围． 解：当直线y＝－x＋c经过点B时，c＝3. 令－x＋c＝－x2＋2x＋3，整理得x2－3x＋c－3＝0. Δ＝9－4(c－3)＝21－4c. 本章知识导图 本章知识导图 第(6)问 直线y＝－x＋c是一组平行于y＝－x的直线． 找两个临界点： ①直线经过点B； ②直线与原抛物线只有一个交点． 本章知识导图 类型5　动抛物线与线段的交点 拓展设问(7)将抛物线向下平移t(t＞0)个单位长度．已知点M(0，－1)，N(3，－1)，若平移后的抛物线与线段MN只有一个交点，请写出t的取值范围． 解：1≤t＜4或t＝5. 本章知识导图 【提示】平移后抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4－t；当抛物线经过点M时，将M(0，－1)代入，得t＝4；当抛物线经过点N时，将N(3， －1)代入，得t＝1. 当抛物线的顶点在线段MN上时，t＝5. 如图，当1≤t＜4或t＝5时，平移后的抛物线与 线段MN只有一个交点． 本章知识导图 第(7)问 找三个临界点： ①抛物线经过点M； ②抛物线经过点N； ③抛物线的顶点在线段MN上． 本章知识导图 强化练习 本章知识导图 1．如图，已知抛物线y＝－2x2＋x＋1. (1)若直线y＝m与该抛物线有一个交点，则m＝____. (2)若直线y＝m与该抛物线没有交点，则m的取值范围是_______. (3)若直线y＝m与该抛物线有两个交点，则m的取值范围是_______. 本章知识导图 (4)若直线y＝5x＋b与该抛物线有一个交点，则b的值为___． (5)若直线y＝5x＋b与该抛物线没有交点，则b的取值范围是______． (6)若直线y＝5x＋b与该抛物线有两个交点，则b的取值范围是______． 3 b＞3 b＜3 本章知识导图 2．已知二次函数y＝x2＋(a－4)x＋a－5(a为常数)的图象经过(－m，n)和(m，n)两点，则二次函数与y轴的交点坐标为(　　) A．(0，1) B．(0，－1) C．(0，－5) D．(0，4) B 4 本章知识导图 4．直线y＝ax－6与抛物线y＝x2－4x＋3只有一个交点，则a的值为_________． 5．若抛物线y＝x2－4x＋2向下平移m(m＞0)个单位长度后，在－1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是_________． 6．已知抛物线C：y＝－x2＋2x，点E是直线AB：y＝x－2上的一个动点，将点E向左平移4个单位长度后得到点F，若线段EF与抛物线C只有一个公共点，则点E的横坐标a的取值范围是_________________． 2或－10 2≤m＜7 －1≤a＜2或a＝3 本章知识导图 7．如图，已知A(0，3)，B(－4，3)，C(2，0)，抛物线y＝a(x－h)2＋k过点C，顶点M位于第二象限且在线段AB的垂直平分线上，若该抛物线与线段AB没有公共点，则k的取值范围是_______________． 0＜k＜3或k＞4 本章知识导图 8．在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，将点A先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B. (1)点B的坐标为________． (2)若抛物线y＝m(x－1)(x－3)－2(m≠0)与线段AB有公共点，则m的取值范围是 _______________. (5，2) 本章知识导图 9．如图，抛物线y＝ x2＋bx＋6与y轴相交于点A，与过点A且平行于x轴的直线相交于点B(点B在第一象限)，抛物线的顶点C在直线OB上，平移直线OB，使平移后的直线OB与抛物线只有一个交点，则直线OB向右平移了____个单位长度． 本章知识导图 10．如图，将抛物线y＝x2－2x－3在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，原抛物线x轴上方的图象与翻折得到的图象组成一个新的函数图象，若直线y＝x＋b与新的函数图象有三个交点，则b的值为_______. 本章知识导图 m＞ m＜ m≥或m≤－2 1或 $$