2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项13 几何图形的折叠问题

专项13　几何图形的折叠问题 一、折叠(轴对称)的性质 性质 图示 1．折叠前后的两部分图形全等，对应线段、对应角分别相等． 2．折痕垂直平分对应点连线． 3．折痕可以看作角平分线 如图，AD＝AF，DE＝EF，∠1＝∠2，AE垂直平分DF 本章知识导图 二、折叠问题的作图技巧 类型 已知折痕，确定对应点 已知对应点，确定折痕 作法 如图，AE为折痕，画出点B的对应点B′. 作法1：如图1，以点A为圆 心，AB长为半径作弧，过点B作折痕AE的垂线，交弧于点B′； 作法2：如图2，过点B作BF⊥AE于点F，延长BF，使B′F＝BF 将矩形ABCD折叠，点B的对应点B′落在如图3，4所示的位置，画出折痕． 作法1：如图3，连接BB′，作线段BB′的垂直平分线； 作法2：如图4，作∠BAB′的平分线，交BC于点E 本章知识导图 类型 已知折痕，确定对应点 已知对应点，确定折痕 作图 　 　 本章知识导图 三、矩形折叠的常见类型 如图，矩形ABCD，将∠B沿过点A的直线折叠． △AEC是等腰三角形 四边形ABEB′是正方形 △ABB′是等边三角形 本章知识导图 ①△CB′E∽△ADC； ②在Rt△CB′E中，利用勾股定理求解 ①K型相似：△CB′E∽△DAB′； ②在Rt△CB′E或Rt△DAB′中，利用勾股定理求解 本章知识导图 典例1　如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于___. 提示：设DF＝x，则AF＝CF＝8－x. 在Rt△CDF中，利用勾股定理列方程求解 3 本章知识导图 典例2　如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿AE所在直线折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AD＝10，CF＝4，则DE的长为___. 设DE＝EF＝x，则CE＝8－x. 方法一：根据△ABF∽△FCE列比例式求解． 方法二：在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程求解 5 本章知识导图 典例3　如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，折痕为EF，则DD′的长为__. 提示：连接AC，则AC∥DD′.易得△ABE≌△AD′F， △AEC∽△D′FD.设BE＝x，在Rt△ABE中，利用 勾股定理求出AE，AF＝AE，即可求出DF，再利 用相似的性质求DD′ 本章知识导图 方法总结 折叠问题中求线段长的一般方法：找不变的角和边，设未知线段的长，利用勾股定理或相似三角形建立等量关系，列方程求解． 本章知识导图 典例4　如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为边AB上一动点(不与A，B重合)，沿DE将△ADE翻折，点A落在点A′处，当△A′BC为等腰三角形时，△A′AD的面积为________. 本章知识导图 重难题分步指导 第一步：画出点A′的轨迹． 以D为圆心，DA长为半径画弧． 第二步：分类讨论． ①BA′＝CA′时，作BC的中垂线，与上弧相交； ②CA′＝CB时，以C为圆心，CB长为半径画弧，与上弧相交； ③BA′＝BC时，A′与A重合，舍去． 第三步：结合图形性质计算． 本章知识导图 1．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB(其中n＞1)，E是AB边的中点，将∠A沿过点E的直线折叠，∠C沿过点D的直线折叠，点A与点C的对应点重合于点O.若E，O，D三点在同一条直线上，则n的值为____. 本章知识导图 2．如图，在矩形ABCD中，BC＝12，点E为射线DC上一点，且CE＝5，点F为AD的中点，连接BE，EF，将△DEF沿直线EF折叠，若点D的对应点D′恰好落在BE上，则AB的长为______.　 9或4 本章知识导图 强化练习 1．如图，在矩形ABCD中，∠ADB＝60°，BC＝4，点E在边AB上，且AE＝ AB，点F在边AD上运动，连接EF，将△AEF沿EF折叠，点A 落在点A′处，则点A′到直线BD的最短距离是____. 本章知识导图 2．(2024·南充)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF的长为_____． 本章知识导图 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4 ，以BC为直径作半圆，点P为边CD上一点．将矩形沿BP折叠，使得点C的对应点E恰好落在边AD上，则阴影部分的周长是_______. 本章知识导图 4．如图，已知等边三角形ABC，边长为3，点M为AB上一点，且BM＝1，点N为边AC上不与A，C重合的一个动点，连接MN，以MN为对称轴，折叠△AMN，点A的对应点为P.当点P落在等边三角形ABC的边上时，AN的长为____________. 本章知识导图 5．(2024·驻马店三模)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.连接对角线BD，将矩形ABCD折叠，点A，B的对应点分别记为A′，B′，使点B′落在射线BD上，折痕与边AD，BC分别交于点E，F，当 B′D＝1时，AE的长为________. 本章知识导图 本章知识导图 6．(2024·德阳)一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4(单位：dm)的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，使AE＝BE，AM＝1，又在线段MD上任取一点N(点N可与端点重合)，再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1，小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点N在线段MD上运动时，点A1在以点E为圆心的圆弧上运动； ②当DA1达到最大值时，A1到直线AD的距离达到最大； 本章知识导图 你认为小王同学得到的结论正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C 本章知识导图 【解析】由折叠，可得A1E＝AE＝BE＝2，则A1E的长度恒为2，故①正确；在△A1DE中，A1D随着∠DEA1的增大而增大，当DA1达到最大值时，点N与点D重合，过点A1作A1H⊥AB，A1G⊥AD，如解图1，则∠AEN＝∠A1EN有最大值，∠A1EH有最小值，在 Rt△A1EH 中，∠EA1H有最大值，EH有最大值，A1G＝AH＝AE＋EH有最大值，故②正确； 本章知识导图 本章知识导图 9或9 π＋4 1或5－ 或 $$