2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项11 辅助圆的应用

专项11　辅助圆的应用 类型1　定点定长作圆 典例1　点圆最值　如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是边AD的中点，N是AB边上的一动点(不与A点重合)，将△AMN沿MN所在直线折叠得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是________. 本章知识导图 典例2　线圆最值　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是_____. 1.2 本章知识导图 典例3　相切时有最值　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是边AD上一动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，连接CF并延长交边AD于点G，则AG的最大值为___. 2 本章知识导图 1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点E，F分别在AB，BC上，且EF＝3，M是EF的中点，连接DM，则DM的最小值为_____. 3.5 本章知识导图 类型2　定弦定角作圆 典例4　如图，点E，F分别是正方形ABCD边BC，CD上的动点，且CE＝DF，连接DE，AF交于点P，连接CP.若AB＝2，则CP的最小值为_____. 本章知识导图 2．如图，E为正方形ABCD内一点，AB＝4，∠AEB＝90°，连接DE，则DE的最小值是________. 本章知识导图 3．(2024·扬州)如图，已知两条平行线l1，l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C，D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为__. 本章知识导图 类型3　四点共圆 典例5　如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，则△ABC面积的最大值为_____. 本章知识导图 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，直线MN是过点A 的直线，CD⊥MN于点D，连接BD.若CD＝1，在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，BD的长为_______． 本章知识导图 1．定点定长作圆 已知平面内一定点A和一动点B，若AB长度固定，则动点B的运动轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆(依据：圆的定义)． 本章知识导图 (1)点圆最值 如图，点P是⊙O外一定点，点A是⊙O上一动点，当A，O，P三点共线时，AP的最大值为A1P＝d＋r，最小值为A2P＝d－r. 本章知识导图 (2)线圆最值 如图，点A是⊙O上一动点，l为⊙O外一直线，过点O作l的垂线，与⊙O交于点A1，A2，则点A到直线l的距离的最大值为A1P＝d＋r，最小值为A2P＝d－r. 本章知识导图 2．利用90°圆周角所对的弦是直径作圆 如图，当∠ACB＝90°时，弦AB为直径，点C的运动轨迹为⊙O(不与点A，B重合)． 本章知识导图 3．四点共圆 情况1：如图1，∠ABC＋∠ADC＝180°，则点A，B，C，D在同一个圆上． 本章知识导图 情况2：如图2，3，∠ADC＝∠ABC，且点B，D在AC的同侧，则点A，B，C，D在同一个圆上． 比较常见的是双90°型(如图4，5)． 本章知识导图 强化练习 1．(2024·凉山州)如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P 作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为___． 提示：MQ⊥PQ，由勾股定理得MP2－MQ2＝PQ2， 可知MP最小时，PQ最小，由垂线段最短得到 MP⊥AB时最小 本章知识导图 2．(2024·黑龙江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝ ，BC＝2，AD＝1，线段AD绕点A 旋转，P为CD的中点，则BP的最大值是______． 提示：作AC的中点Q，连接PQ，则 ， 故点P 在以点Q为圆心，PQ长为半径的圆上运动． 易知当点P 在BQ的延长线上时BP最大 本章知识导图 3．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠CPB＝∠A，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为(　　) 提示：①△CPQ∽△CAB→QC＝ PC→当PC有最大值时， CQ有最大值；②∠CPB＝∠A→A，C，B，P四点共圆， 且AB为直径，作⊙O，若PC有最大值，则PC应为直径 C 本章知识导图 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是矩形内部的一个动点，且∠APD＝90°，连接CP并延长交AB于点E，则AE的最大值为__. 本章知识导图 5．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝_______，CF的最小值是___． 提示：可证△ABD≌△BCE，则∠BAD＝∠CBE，可得∠AFB＝120°，从而得点F在以点O为圆心，OA长为半径的弧上运动(∠AOB＝120°，OA＝2 )，连接OC交⊙O于点N，当点F与点N重合时，CF的值最小 120° 本章知识导图 6．(2024·烟台)如图，在□ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，连接AD′，BD′，则△ABD′面积的最小值为________． 本章知识导图 【解析】∵在□ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，∴∠ABC＝60°，CD＝8.由折叠的性质，可得D′E＝DE＝CE＝ CD＝4.∴点D′在以点E为圆心，4为半径的弧上运动，如解图所示．过点D′作D′M⊥AB于点M，∵AB＝8，∴S△ABD′＝ AB·D′M＝4D′M.要求△ABD′面积的最小值，需先求出D′M的最小值．过点E作EH⊥AB交BA的延长线于点H，交⊙E于点G，当点D′与点G重合时，D′M最小，最小值为EH－EG＝EH－4.过点C作CN⊥AB于点N，则 EH＝CN.在Rt△BCN中， 本章知识导图 本章知识导图 7．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3.点D为平面上的一个动点，∠ADB＝45°，则CD的最小值为_______，最大值为_______． 提示：∠ADB＝45°→固定角，AB＝2→固定弦，则弦AB所对圆心角为2∠ADB＝90°，以AB为弦作90°圆心角(即AB为斜边的等腰直角三角形AOB)，圆心O可能在AB右侧，也可能在AB左侧 本章知识导图 －1 －1 2－2 3 ＋1 2 PQ＝AD＝ 2＋ 2 20－16 － ＋ $$