2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项7 对角互补模型课件

专项7　对角互补模型 典例　数学兴趣小组探究了以下几何图形．把一个含有45°角的三角板和一个含有30°角的三角板按图1的方式放置在一起，使得两个三角板的斜边重合． 【操作发现】(1)如图2，连接BD，小亮经过探究发现：①BD平分∠ABC； 本章知识导图 证明：解法一：过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，过点D作DF⊥BC于点F，标记∠1，如解图1所示． 易知∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＝360°. ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠DAB＋∠BCD＝180°. 又∵∠DAB＋∠1＝180°，∴∠1＝∠BCD. ∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°. 又∵AD＝CD，∴△DEA≌△DFC(AAS). ∴AE＝CF，DE＝DF. 本章知识导图 ∴BD平分∠ABC. 又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC＝90°， ∴四边形EBFD是正方形． ∴DE＝BF＝DF＝BE，BE2＋DE2＝BD2. ∴2BE2＝BD2. 本章知识导图 本章知识导图 解法二：如解图2，将△DAB绕点D逆时针旋转90°至△DCE，使DA与DC重合．先证B，C，E在同一条直线上，再证△BDE是等腰直角三角形． 解法三：如解图2，过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于E.先证△BAD≌△ECD，再证△BDE是等腰直角三角形． 解法四：点A，B，C，D在同一个圆上，弦 AD＝CD，故可得∠ABD＝∠CBD＝45°. 本章知识导图 【深入探究】(2)小颖经过观察思考，归纳出图2的特点是：①∠ABC＝∠ADC＝90°；②AD＝CD.她继续进行探究，发现并提出新的问题：把条件①换成∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，条件②不变，如图3，试探究可得到哪些结论，并说明理由． 解：结论：①BD平分∠ABC；②AB＋BC＝BD； ③S四边形ABCD＝ BD2.(答案不唯一) 理由如下：延长BC到点E，使CE＝AB，标记∠1， ∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，如解图3所示． 本章知识导图 ∵∠1＋∠A＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠A＝∠2. 又∵AD＝CD，∴△DAB≌△DCE(SAS). ∴∠3＝∠E，∠5＝∠6，BD＝DE. ∴∠4＝∠E＝∠3.∴BD平分∠ABC. ∵∠ADC＝∠5＋∠BDC＝∠6＋∠BDC＝∠BDE＝60°， ∴△BDE是等边三角形． ∴AB＋BC＝CE＋BC＝BE＝BD. 由全等，可知S△DAB＝S△DCE，∴S四边形ABCD＝S△BDE＝ BD2. 本章知识导图 【得出一般结论】如图4，若∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝CD，请你根据小亮和小颖的探究过程，判断能否得出BD平分∠ABC？请简述理由． 解：能得出BD平分∠ABC.证明略． 本章知识导图 1．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一动点，点M，N分别在边AD，AB上，且∠MPN＝90°，则线段PM与PN的数量关系是____________；若AP＝a，则四边形AMPN的面积为____. PM＝PN 本章知识导图 2．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，∠BCD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EOF＝60°，下列结论正确的有______(填序号). ①OE＝OF；②CE＋CF＝CB；③四边形OECF的周长为定值；④四边形OECF的面积为定值． ①④ 本章知识导图 模型总结 条件 对角互补，且有一组邻边相等．如图，∠AOB＋∠DCE＝180°，CD＝CE 图示   作法一：过点C分别作OA，OB的垂线CG，CH，则△CGD≌△CHE   作法二：在EB上截取EF＝OD，连接CF，则△COD≌△CFE 本章知识导图 结论 ①OC平分∠AOB；②当∠AOB＝90°时，OD＋OE＝OC；③当∠AOB＝120°时，OD＋OE＝OC 拓展 若将条件“CD＝CE”与结论“OC平分∠AOB”互换，则命题仍成立 本章知识导图 强化练习 (2024·贵州)综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P 在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A. (1)【操作判断】 如图1，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图1中画出PC，图中∠APC的度数为____度． 90 本章知识导图 (2)【问题探究】 如图2，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM＋ON＝2PA. 解：证明：如解图1，过点P作PC⊥OB于点C， 则四边形OAPC是矩形． ∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB， ∴PA＝PC. ∴矩形OAPC是正方形． 本章知识导图 ∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°. ∵PN⊥PM，∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC. 又∵∠MAP＝∠NCP＝90°，AP＝CP， ∴△APM≌△CPN(ASA)．∴AM＝CN. ∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋OC＋AM＝OA＋OC＝2AP.∴OM＋ON＝2PA. 本章知识导图 ∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°. ∵PN⊥PM，∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC. 又∵∠MAP＝∠NCP＝90°，AP＝CP， ∴△APM≌△CPN(ASA)．∴AM＝CN. ∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋OC＋AM＝OA＋OC＝2AP.∴OM＋ON＝2PA. 本章知识导图 (3)【拓展延伸】 点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求 的值． 本章知识导图 解：①当点M在线段AO上时，如解图2，延长PA交射线NM于点G. 由(2)，知OM＋ON＝2AP，设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x.∴AM＝AO－OM＝x＝OM. 又∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG， ∴△MON≌△MAG(ASA)．∴AG＝ON＝3x. ∵AP∥OB，∴△ONF∽△PGF. 图2 本章知识导图 ②当点M在AO的延长线上时，如解图3，过点P作PC⊥OB于点C，并延长交MN于点H. 由(2)，知四边形OAPC是正方形， ∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，PC∥AO. ∵PN⊥PM，∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC. 又∵∠A＝∠PCN＝90°，AP＝CP， ∴△APM≌△CPN(ASA)．∴AM＝CN. ∴ON－OM＝OC＋CN－OM＝AO＋AM－OM＝2AO. 本章知识导图 设ON＝3OM＝3x，∴AO＝x，CN＝AM＝2x. ∵PC∥AO，∴△CHN∽△OMN. 本章知识导图 $$