2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项6 手拉手模型

专项6　手拉手模型 典例　【特例感知】(1)如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，则线段BD，CE的数量关系是____________；直线BD与直线CE相交所成的较小角的度数是______． BD＝CE 60° 本章知识导图 【深入探究】(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，将△ADE绕点A在平面内旋转至图3所示位置，连接BD，CE.直线BD与直线CE相交于点F. 本章知识导图 ①试探究BD与CE的数量关系，并写出∠BFC的度数； 解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE. 又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS). ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. 如解图，设BF交AC于点O，则∠AOB＝∠COF. 又∵∠ABD＝∠ACE，∠AOB＋∠ABD＋∠BAC＝∠COF＋∠ACE＋∠BFC＝180° ∴∠BFC＝∠BAC＝α. 本章知识导图 ②连接AF，求证：FA平分∠BFE. 解：证明：如解图，过点A作AM⊥BD，AN⊥CE，垂足为M，N. 由①，得△BAD≌△CAE，∴AM＝AN.∴FA平分∠BFE. 本章知识导图 【类比探究】(3)如图4，在△ABC中，AB≠AC，且 ＝k，点D，E分别在边AB，AC上，∠BAC＝∠DAE＝α，DE∥BC，将△ADE绕点A在平面内旋转至图5所示位置，连接BD，CE，直线BD，CE交于点F，试探究BD与CE的数量关系，并写出∠BFC的度数． 本章知识导图 本章知识导图 1.手拉手全等型 模型特点：△ABC与△ADE均是等腰三角形，且顶角相等，即AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE. 结论：△ABD≌△ACE，BD＝CE，∠BPC＝∠BAC. △ADE绕点A旋转，结论不变． 本章知识导图 2.手拉手相似型 △ADE绕点A旋转，结论不变． 注意：有时需要通过“补形”来构造一对有一个公共顶点的相似(全等)三角形，从而构造“手拉手”模型进行求解． 本章知识导图 1．如图，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点E在BC延长线上，连接CD.若BC＝4，CE＝2，则DE＝_____． 本章知识导图 本章知识导图 3．构造手拉手 (2024·宜宾)如图，在△ABC中，AB＝3 ，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为(　　) D 本章知识导图 4．(2020·河南23题)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α.连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为E，连接DB′，CE. (1)如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为________________，连接BD，可求出 的值为____. 等腰直角三角形 本章知识导图 解：仍然成立． 证明如下：连接BD，如图2所示． 由旋转的性质，可得AB′＝AB＝AD，∠BAB′＝α， ∵∠B′AD＝α－90°，AD＝AB′， ∴∠EB′D＝∠AB′D－∠AB′B＝45°. 图2 （2）当0°且90°时， ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行 证明；如果不成立，请说明理由； 本章知识导图 ∵DE⊥BB′，∴∠EDB′＝∠EB′D＝45°. ∵∠EDB′＋∠EDB＝∠BDC＋∠EDB， 即∠B′DB＝∠EDC，∴△BDB′∽△CDE. 本章知识导图 解：1或3. 【提示】分以下两种情况，如图所示． 本章知识导图 强化练习 (2024·江西)综合与实践 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的动点(点D与点A不重合)，连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE， 本章知识导图 特例感知 (1)如图1，当m＝1时，AD与BE之间的位置关系是_________，数量关系是_________． AD⊥BE AD＝BE 本章知识导图 类比迁移 (2)如图2，当m≠1时，猜想AD与BE之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 解：AD⊥BE，BE＝mAD. 证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE. ∵∠A＋∠ABC＝90°，∴∠CBE＋∠ABC＝90°.∴∠ABE＝90°.∴AD⊥BE. 本章知识导图 拓展应用 (3)在(1)的条件下，点C关于DE的对称点为F，连接DF，EF，BF，如图3.已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y. ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； 解：如解图，连接CF交DE于点O. 本章知识导图 ∵点F与点C关于DE对称，∴DE垂直平分CF.∴CE＝EF，CD＝DF. ∵CD＝CE，∴CD＝DF＝EF＝CE. ∵∠DCE＝90°，∴四边形CDFE是正方形． 本章知识导图 ②当BF＝2时，请直接写出AD的长． 本章知识导图 本章知识导图 【提示】如解图，过点D作DH⊥AC于点H，则△ADH是等腰直角三角形．∴AH＝DH＝AD＝x.∴CH＝6－x.连接OB.∴OB＝OE＝OD＝OC＝OF.∴OB＝CF.∴∠CBF＝90°.∵BC＝6，BF＝2，∴CF＝2.∴CD＝CF＝2.∵CH2＋DH2＝CD2，∴＋＝(2)2，解得x＝4或x＝2.∴AD的长为4或2. $$