2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项5 一线三等角模型

专项5　一线三等角模型 典例1　如图，直线m经过D，A，E三点，AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC. (1)全等型 请写出图1中线段DE，BD，CE之间的数量关系，并说明理由． 解：DE＝BD＋CE.理由如下： ∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∠CAE＋∠BAD＋ ∠BAC＝180°， ∠BDA＝∠BAC，∴∠B＝∠CAE. 又∵∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，∴△ADB≌△CEA(AAS). ∴BD＝AE，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE. 本章知识导图 解：∵FG∥CE，∴∠AFG＝∠AEC＝∠BAC＝∠BDA. 同(1)，可得∠B＝∠GAF. 又∵∠BDA＝∠AFG，∴△ABD∽△GAF. 本章知识导图 典例2　一线三垂直 (1)如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，分别过点B，C作直线m的垂线，垂足为D，E.则线段DE，BD，CE之间的数量关系是______________；连接BC，若AB＝2，则BC＝______． DE＝BD＋CE 本章知识导图 变式1　(2)在(1)的条件下，将直线m绕点A旋转至如图2所示的位置，则(1)中线段DE，BD，CE之间的数量关系仍然成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 解：不成立．理由如下： ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠EAC＝90°. ∵∠BDA＝90°，∴∠BAD＋∠B＝90°. ∴∠B＝∠EAC. 又∵∠BDA＝∠AEC＝90°，AB＝CA， ∴△ADB≌△CEA(AAS).∴BD＝AE，AD＝CE. ∵AD＝DE＋AE＝DE＋BD.∴CE＝DE＋BD. 本章知识导图 变式2　(3)如图3，在(1)的条件下，若AB≠AC，则△ABD和△CAE之间的关系是_______________，依据是____________________________ __________． △ABD∽△CAE 有两个角对应相等的两个三 角形相似 本章知识导图 条件：如图，A，P，B三点共线，∠1＝∠2＝∠3. 分析：利用三角形内角和及平角(或余角)的性质进行角的等量代换，得到一组角相等．若有线段相等，则得全等；若无线段相等，则得相似． 结论：有一组边相等，则△ACP≌△BPD；没有边相等，则△ACP∽△BPD. 本章知识导图 1．(2024·湖北)如图，平面坐标系xOy中，点A的坐标为(－4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为(　　) A．(4，6) B．(6，4) C．(－4，－6) D．(－6，－4) B 本章知识导图 2．如图，直线l过正方形ABCD的顶点A，点B，D到直线l的距离分别为5，12，则正方形ABCD的周长为____． 52 本章知识导图 3．如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，F为BC边上一点，且DE⊥EF.若AB＝10，AD＝6，则BF的长为___. 本章知识导图 4．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°. (1)若AB＝3，CD＝1，则BE＝___. (2)若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD＝____． 3 本章知识导图 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4.E为AB边上一点(不与点A，B重合)，连接CE，过点E作∠CEF＝45°交BC于点F.当△CEF为等腰三角形时，BE的长为________． 本章知识导图 6．构造一线三垂直 如图1，这个图案(由内到外含三个正方形)是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”． 本章知识导图 (1)图2中AB与DC的数量关系是__________；AE与AC的数量关系是____________． AB＝DC 本章知识导图 (2)如图3，正方形ABCD中，AE⊥DE，DE＝4，求△CDE的面积． 解：如解图3，过点C作DE的垂线，交DE的延长线于点F. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°. ∵AE⊥DE，∴∠DAE＋∠ADE＝90°. ∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝90°， ∴∠DAE＝∠CDE. 本章知识导图 又∵∠DFC＝∠AED＝90°，AD＝CD， ∴△AED≌△DFC(AAS).∴CF＝DE＝4. 本章知识导图 (3)如图4，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝2，AD＝3，BC＝4，DE⊥DC，DE＝DC，则四边形ABCE的面积为____． 11 本章知识导图 强化练习 1．有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5 cm，高度为20 cm，书架的宽BI为40 cm，则FI的长为____cm. 本章知识导图 2．如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝ ，则等边三角形ABC的边长为___． 6 本章知识导图 3．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过BC的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则BE的长为____. 本章知识导图 4．(1)如图1，在△ABC和△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B，C，E三点在同一条直线上，AB＝2，DE＝3，则BE＝___． 5 本章知识导图 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，连接BD，求△BCD的面积． 解：如图2，过点D作DE⊥BC交BC延长线于点E. ∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°. ∴∠ACB＝90°－∠DCE＝∠CDE. 又∵∠ABC＝∠E＝90°，AC＝CD， ∴△ABC≌△CED(AAS)．∴BC＝ED＝2. ∴S△BCD＝ BC·DE＝2. 本章知识导图 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD的面积为14，CD＝7，求△BCD的面积． 解：如图3，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于点F. ∵S△ACD＝ ×7AE＝14，∴AE＝4. ∵∠ADC＝45°，AE⊥CD， ∴△ADE是等腰直角三角形． 本章知识导图 ∴DE＝AE＝4.∴CE＝CD－DE＝3. ∵∠ABC＝∠CAB＝45°， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC. ∴∠ACE＝90°－∠BCF＝∠CBF. 同理(2)，可得△ACE≌△CBF，∴BF＝CE＝3. 本章知识导图 $$