3.1.2椭圆的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.1椭圆 第三章 圆锥曲线的方程 课时2 椭圆的简单几何性质 新知探究 探究一：椭圆的范围、对称性、顶点 情境设置 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，研究的基本思路与 方法是先“形”后“数”，通过对曲线的范围、对称点及特殊点的谈论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.所以本章对几种圆锥曲线都是从范围、对称性、顶点及其他特性等方面研究他们的几何性质. 2 新知生成 知识点一 椭圆的范围、对称性、顶点 焦点在轴的椭圆： 椭圆关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称 3 新知生成 知识点一 椭圆的范围、对称性、顶点 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 标准方程 范围 且 且 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 ,,, ,,, 轴长 短轴长，长轴长 焦点 ， ， 焦距 4 新知生成 知识点一 椭圆的范围、对称性、顶点 焦点在轴的椭圆： 长轴：线段 长轴长：| 短轴：线段 短轴长：| :椭圆的长半轴长 :椭圆的短半轴长 :椭圆的半焦距长 ①焦点必在长轴上. ②椭圆上点到焦点的最短距离是,最长距离是 5 一、椭圆的性质 例题1 求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标. (1) (2) 6 反思感悟 方法总结 用标准方程研究几何性质的步骤： (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置； (3)求出𝑎，𝑏，𝑐 ； (4)写出椭圆的几何性质. 7 新知运用 跟踪训练1 (1)求椭圆上的点到其右焦点的距离的最大值与最小值分别. (2) 求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程. 【解析】(1)椭圆上的点到其右焦点的最大距离为𝑎+𝑐，最小距离为𝑎−𝑐 ，即最大值为9， 最小值为1. (2) 由可得 ，则焦点坐标为，且在轴上， 又椭圆过点，设椭圆方程为 ， 则有解得 8 新知探究 探究二：椭圆的离心率 情境设置 根据前面所学有关知识画出下列图形 (1) (2) 思考：这两个椭圆长轴相同、短轴不同，一个较圆，一个较扁；有没有一个量值来刻画椭圆的这种扁平程度？ 9 新知探究 探究二：椭圆的离心率 情境设置 如图，椭圆 的长半轴长为, 半焦距为. 1.保持长半轴长不变, 改变椭圆的半焦距.可以发现, 越接近, 椭圆越扁平. 2.类似地, 保持不变, 改的大小, 则越接近, 椭圆越扁平. 3.而当扩大或缩小相同倍数时, 椭圆的形状不变. 这样, 利用和这两个量, 可以刻画椭圆的扁平程度. 离心率就是刻画椭圆的扁平程度的量. 10 新知生成 知识点二 椭圆的离心率 1.定义：将椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用表示，即 . 2.性质：椭圆离心率的取值范围是. 注意:(1)离心率越大,椭圆越扁,离心率越小，椭圆越圆. ，则 ，则 ，两个焦点重合，椭圆变成圆. ，，则 ，椭圆变成线段. (2)如图，在中，，越大， 越小，椭圆越扁， 越大，椭圆越圆. 11 二、椭圆的离心率 例题2 (1)比较下列每组中椭圆的形状，哪一 个更接近于圆? 为什么? ①与； ② 与 (2) 已知是椭圆上的一点，为椭圆的右焦点，轴，过点 且斜率为的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为( ) . A. B. C. D. C 【解析】(2) 如图所示，， ，由题意可得 ， ， ， ，， ， ． 12 二、椭圆的离心率 例题2 (3)比较已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一 点， 是以为底边的等腰三角形，若，求该椭圆的离心率． (4)已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一点， 是以为底边的等腰三角形，若，求该椭圆的离心率的取值范围． 13 反思感悟 方法总结 求椭圆离心率的值或取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知，，可直接利用求解；若已知，或， ，可借助 求出或，再代入公式求解. (2)方程法：若，的值不可求，则可根据条件建立，，的关系式，借助 ，转化为关于，的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以的最高次幂，得到关于𝑒的方程或不等式，即可求得𝑒 的值或取值范围. 14 新知运用 跟踪训练2 (1) 设椭圆,的离心率分别为,.若，则 ( ) . A. B. C. D. (2) 椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为( ) . A. B. C. D. 【解析】(1) 由已知得,， ,,得 .故选A. (2) 已知，设，则 ，， ， 故 , ①， , ② ②代入①中，整理得 ， .故选A. A A 15 新知生成 知识点三 椭圆的性质应用 利用椭圆性质解决实际问题的基本步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)求出椭圆的标准方程（待定系数法）； (3)根据椭圆的方程及性质解决实际问题． 16 三、椭圆性质的应用 例题3 某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点𝑀 处制动(俗称“踩刹车”)后，以𝑣km/s的速度进入距离火星表面𝑛km 的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为𝑡s.已知𝑅为火星的半径，远火星点𝑁到火星表面的最近距离为𝑚km ，则( ) . A.椭圆轨道的离心率为 B.圆形轨道的周长为 C.火星半径为 D.近火星点与远火星点的距离为 【解析】如图，以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，以的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则可设轨道所在的椭圆的标准方程为 ，则由已知可得， ， 所以，，故离心率为 ，所以A正确；因为以𝑣 km/s的速度进入距离火星表面𝑛 km 的环火星圆形轨道，环绕周期为𝑡 s，所以环绕的圆形轨道周长为𝑣𝑡" " km，半径为，所以火星半径为 ，所以B正确，C错误；因为近火星点与远火星点的距离为 ，所以D正确.故选ABD ． ABD 17 反思感悟 方法总结 解决与椭圆相关的应用题的基本策略： (1)通过求解椭圆的方程来研究它们的性质； (2)应用椭圆的定义、方程及性质把有关几何知识转化为数量关系，再结合代数知识来求解． 18 新知运用 跟踪训练3 “嫦娥四号”探测器实现了历史上的首次月球背面着陆，如图，这是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为____千米． 【解析】设椭圆的长轴长为，焦距为，月球半径为， 则两式作差，可得 ， 椭圆形轨道的焦距为85千米． 85 19 随堂检测 1. 离心率为且与椭圆共焦点的椭圆方程为( ) . A. B. C. D. 2. 设集合,,则的子集的个数是( ) . A.8 B.4 C.2 D.0 3. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为__. B B 20 随堂检测 4.如图，“神舟十三号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为𝑒 .设地球半径为𝑟，该飞船在远地点离地面的距离为𝑅 ，求卫星在近地点离地面的距离． 【解析】若椭圆轨道对应的方程为且 ， 由椭圆的几何性质知则 所以近地点离地面的距离为 ． 21 课堂小结 1.知识清单： (1)椭圆的范围、对称性、顶点； (2)椭圆的离心率； (3)椭圆性质的运用. 22 EVCapture4.1.7软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$