精品解析：广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试卷 命题人：朱海涛 审题人：高松 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（ ） A B. C. D. 7. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积变化. B. 若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是 C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为 D. 当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 不经过原点的直线都可以用方程表示 D. 已知直线l过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 10. 若，，，则关于事件A与B的关系正确的是（ ） A 事件A与B互斥 B. 事件A与B不互斥 C. 事件A与B相互独立 D. 事件A与B不相互独立 11. 已知定义在上的函数满足，且，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 图象关于点对称 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）. 12. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为___________． 13. 已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是_________. 14. 空间四边形ABCD中，，且异面直线AD与BC成，异面直线AB与CD所成角的正切值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知三角形内角的对边分别为，且这些边和角的关系满足． （1）求角的大小； （2）若的面积为，且，求的周长． 16. 在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 17. 已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和. （1）求圆C的方程； （2）若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程. 18. 如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，. （1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率； （2）若，求的面积的最大值； （3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试卷 命题人：朱海涛 审题人：高松 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用并集概念计算即可. 【详解】，，则. 故选：A. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简，由复数模长运算可求得结果. 【详解】， . 故选：A. 3. 如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线，，的倾斜角分别为，可得，再由斜率的定义即可比较，，的大小关系. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，由图象知： ， 所以，即， 故选：A． 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由或即可判断. 【详解】因为或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离求解即可. 【详解】解：因为直线，即为， 原问题转化为求两平行直线与间的距离， 由平行直线间的距离公式可得. 故选：D. 6. 空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，利用基底表示向量． 【详解】点为的中点，则有， 所以. 故选：B. 7. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】圆可化为，圆心，半径为. 圆可化为，圆心，半径为. 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示： 由题意得，三点共线，三点共线，，， ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 8. 如图，若是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥体积变化. B. 若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是 C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为 D. 当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 【答案】B 【解析】 【分析】A由平面平面及棱锥体积的求法判断；B若分别是的中点，利用正方体的结构特征及线面、面面平行的判定证明在上运动，结合截面为正六边形求PF长度的最小值；C根据正方体的结构确定的轨迹，即可求长度；D将问题化为求与所成角范围. 【详解】A：由平面平面，即到面的距离恒定，故四棱锥体积恒定不变，错； B：若分别是的中点，是棱的中点， 所以，面，面，故面， 同理可证面，由均在面内， 所以面面，又面面，即在上运动， 根据上述分析易知，面截正方体的截面是边长为的正六边形， 所以最小是的长度为，对； C：由直线AP与平面ABCD所成的角为，结合正方体的结构特征， 显然，在如下图的线段及圆弧上运动时，满足题设， 所以的轨迹长度为，错； D：由正方体结构知：，则与所成角，即为与所成角， 由在线段AC上运动，如下图是等边三角形，故与所成角范围是，错. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据各项描述结合正方体的结构特征找到的轨迹为关键. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 不经过原点的直线都可以用方程表示 D. 已知直线l过定点且与以为端点线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】A根据方向向量与斜率的关系判断；B利用直线垂直的判定求参数即可判断；C注意不过原点且垂直于坐标轴的直线；D利用两点式求线段端点处斜率，数形结合确定斜率范围. 【详解】A：由方向向量与斜率的关系知，该直线的斜率为，对； B：直线与直线互相垂直，有或，故已知条件间关系为充分不必要条件，错； C：对于不过原点且垂直于坐标轴直线，不能用表示，错； D：由，，且在y轴两侧，所以斜率的取值范围是，对. 故选：AD 10. 若，，，则关于事件A与B的关系正确的是（ ） A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B不互斥 C. 事件A与B相互独立 D. 事件A与B不相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可 【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确； ，所以，又，故成立，故事件A与B相互独立，故C正确，D错误 故选：BC 11. 已知定义在上的函数满足，且，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】令判断A，进而可得或，结合已知有，令判断B，令得，令，判断奇偶性，令得，进而可得，即可判断C、D. 【详解】令，则，A对； 所以，而，即或， 若，则，必有，与题设矛盾； 所以，故， 令，则，而，则，B错； 令，则①， 令，，则，即为偶函数， 令，则②， 由①②，得，即， 所以的图象关于点对称，D对； 结合，有关于对称，故为奇函数，C错. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：利用特殊值法得到、且、、为偶函数是关键. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）. 12. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】用三角函数表示直角三角形的两条直角边，得小正方形的边长为，由解出，即可求大正方形与小正方形的面积之比. 【详解】如图所示， 设大正方形边长为1，则，，小正方形的边长为， 由，两边同时平方得，， 所以， 则图中的大正方形与小正方形的面积之比为. 故答案为：5 13. 已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 空间四边形ABCD中，，且异面直线AD与BC成，异面直线AB与CD所成角的正切值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，结合数量积的运算律及已知求，进而确定大小，即可得答案. 【详解】由，则， 两边平方，得， 由，异面直线AD与BC成， 所以，故， 即或（舍），易知， 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知三角形的内角的对边分别为，且这些边和角的关系满足． （1）求角的大小； （2）若的面积为，且，求的周长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将已知条件进行转化，即可求得； （2）利用三角形面积公式，以及余弦定理，求得，即可求得三角形周长. 【小问1详解】 对，由正弦定理可得：， 故，则，又，故，. 【小问2详解】 由三角形面积公式，结合可得：，即，解得：； 由余弦定理以及，可得，也即， 故，解得； 故的周长为. 16. 在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，结合面面垂直可得平面，利用面面垂直的判定定理即可证明； （2）先求解点到平面的距离，再求解的面积，利用锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】 解：∵，∴， ∵平面平面，且平面平面， 平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，∵，∴， ∵平面平面，∴平面， ∵，平面，平面， ∴平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 即点到平面的距离为的长. ∵，，∴， ∴，从而， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∴. 17. 已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和. （1）求圆C的方程； （2）若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）利用待定系数法计算即可求解； （2）设，，由中点坐标公式可得，，代入圆C方程，整理即可求解. 【小问1详解】 设圆C方程：， 由已知，解得， ∴圆C的方程为. 【小问2详解】 设点， ∵， ∴. 整理得，， ∵点B在圆C上，∴， ∴点M的轨迹方程为. 18. 如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，. （1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率； （2）若，求的面积的最大值； （3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）当直线斜率不存在时，求出点坐标得三角形面积，当斜率存在时，设直线为，由题意可得，然后求出，，由得的取值范围，计算出面积，令，换元后利用函数的性质求得取最小值时的值； （2）设，则，用正弦定理表示出，把表示为的函数，由三角函数知识求得最大值； （3）写出坐标，，，斜率不存在进写出方程，斜率存在时，写出方程，可得斜率不存在时方程也适合此式，代入，化方程为的方程，由它关于恒成立可得定点坐标． 【详解】解：（1）因为O为坐标原点且，则所在直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，点B坐标为， 的面积为， 当直线斜率存在时，设直线为，由题意可得， 令，解得， 联立，可得， 由得或，由得或，所以或． 所以的面积 令，则， 则 因为，所以当时，面积最小， 此时，即，则，所以的面积的最小值时所在的直线的斜率为. （2）下面用弧度表示角，设，则， 由正弦定理得， 所以， 因此 当即时，的面积的最大，最大值为. （3）因为，所以， 所以当直线斜率不存在时，即时，直线方程为（①）， 当直线斜率存在时，即时，直线方程为， 整理可得（②）（①满足②，所以对②都成立）， 同时除以得③， 又因为，所以代入③整理得 ，对于任意都成立， 所以，解得， 所以直线过定点，定点坐标为. 【点睛】本题考查直线的斜率，直线过定点问题，三角形面积的最值问题，掌握直线方程是解题关键．与三角形面积有关的问题，一般先把面积表示出来，可表示为直线斜率的函数，也可引入点的坐标，线段的长度，或角度为参数，用参数表示出三角形面积，再根据函数的性质或基本不等式求得最值及取得最值时的参数值．定点问题，首先由参数写出直线方程，然后把直线方程转化为关于参数的恒等式，利用恒等式知识可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$