第六章 3 向心加速度-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一物理必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教版2019）

3．向心加速度 【素养目标】　1.知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式。　 2.掌握向心加速度大小的计算公式an＝＝ω2r，能应用公式进行相关计算。　 3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题。 知识点一　匀速圆周运动的加速度方向　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境导学]　如图所示，游客乘坐摩天轮做匀速圆周运动时，有加速度吗？方向如何？ 提示：有加速度；方向指向圆心。 (阅读教材P31，完成下列填空) 1．匀速圆周运动的线速度大小不变，方向时刻变化，因此它运动的加速度一定不为零。 2．向心加速度：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。 学生用书↓第40页 3．方向：沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直。 [问题探究]　 如图所示，一辆汽车以恒定速率驶入环岛，请思考下列问题： (1)汽车在环岛中运动的加速度的作用是什么？ (2)汽车的加速度方向变化吗？汽车运动的性质是什么？ 提示：(1)汽车的加速度始终指向圆心，其作用是只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (2)汽车的加速度总是沿半径指向环岛的圆心，故加速度方向是变化的，故汽车所做的匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。 (多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是(　　) A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直 B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 答案：ABD 解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故A、B正确；变速圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心，故C错误；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，故D正确。 1．向心加速度的物理意义 描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。 2．圆周运动的性质 不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。 3．变速圆周运动的向心加速度 做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度改变　　 速度的方向，切向加速度改变速度的大小。在变速圆周运动中，向心加速度的方向总是指向圆心。 针对练1.(多选)下列关于向心加速度的说法正确的是(　　) A．向心加速度越大，物体速率变化得越快 B．向心加速度越大，物体速度方向变化得越快 C．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直 D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量 答案：BC 解析：向心加速度描述速度方向变化的快慢，不描述速度大小变化的快慢，且向心加速度越大，速度方向变化得越快，故A错误，B正确；向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，在圆周运动中始终指向圆心，方向在不断变化，不是恒量，故匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动，故C正确，D错误。 针对练2.下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　) A．向心加速度的方向始终指向圆心 B．向心加速度的方向保持不变 C．物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的 D．物体做匀速圆周运动时，其向心加速度的大小不断变化 答案：A 解析：向心加速度的方向始终指向圆心，和线速度的方向垂直，不改变线速度的大小，只改变线速度的方向；由于加速度是矢量，所以物体做匀速圆周运动时，向心加速度是时刻变化的，但大小不变，故B、C、D错误，A正确。 知识点二　匀速圆周运动的加速度大小　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境导学]　 如图所示，用手通过绳子拉着小球做匀速圆周运动。 (1)在绳长一定情况下，增加小球转动的速度，手感受到的拉力怎样变化？加速度怎样变化？ (2)在转动角速度一定的情况下，增加绳长，手感受到的拉力怎样变化？加速度怎样变化？ 提示：(1)增大　增大　(2)增大　增大 (阅读教材P31，完成下列填空) 1．推导：向心加速度与向心力的关系符合牛顿第二定律，则有Fn＝man＝m＝mω2r。 学生用书↓第41页 2．向心加速度公式：an＝＝ω2r。 3．适用范围：向心加速度公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。 [问题探究]　 如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点。 (1)A和B两个点的向心加速度与半径成正比还是反比？ (2)B和C两个点的向心加速度与半径成正比还是反比？ (3)向心加速度有时与半径r成正比，有时与半径r成反比，是否相矛盾？ 提示：(1)A、B两个点的线速度大小相等，由an＝知向心加速度与半径成反比。 (2)B、C两个点的角速度相同，由an＝ω2r知向心加速度与半径成正比。 (3)不矛盾。an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定。 飞机在做俯冲拉起运动时，可以看成是在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若在最低点附近做半径为r＝240 m的圆周运动，飞行员的质量m＝60 kg，飞机经过最低点P时的速度为v＝360 km/h，试计算： (1)此时飞机的向心加速度an的大小； (2)此时飞行员对座椅的压力FN是多大。(g取10 m/s2) 答案：(1) m/s2　(2)3 100 N 解析：(1)v＝360 km/h＝100 m/s， 由向心加速度公式可得 an＝＝ m/s2＝ m/s2。 (2)对飞行员进行受力分析，则飞行员在最低点受重力和座椅的支持力FN′，向心力由二力的合力提供，所以FN′－mg＝man 代入数据解得FN′＝3 100 N 根据牛顿第三定律可知，飞行员对座椅的压力大小 FN＝FN′＝3 100 N。 1．向心加速度的几种表达式 2．向心加速度的大小与各量关系的理解 (1)当r一定时，an∝v2，an∝ω2。 (2)当v一定时，an∝。 (3)当ω一定时，an∝r。 (4)由an与r的关系图像可以看出：an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定。　　 针对练1.(2023·江苏省南京市协同体七校期中)甲、乙两物体做匀速圆周运动，转动半径之比为1∶2，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则正确的是(　　) A．v1∶v2＝3∶2 B．v1∶v2＝4∶3 C．a1∶a2＝4∶3 D．a1∶a2＝8∶9 答案：D 解析：在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则甲、乙的角速度之比为ω1∶ω2＝60°∶45°＝4∶3，根据v＝ωr可知甲、乙的线速度之比为v1∶v2＝ω1r1∶ω2r2＝2∶3，根据a＝ω2r可知甲、乙的向心加速度之比为a1∶a2＝ωr1∶ωr2＝8∶9，故选D。 针对练2.(2023·广东梅州高一期中)在做甩手动作的物理原理研究课题研究中，采用手机的加速度传感器测定手的向心加速度。某次一高一同学先用刻度尺测量手臂长(如图所示)，然后伸直手臂，以肩为轴从水平位置加速自然下摆，当手臂摆到竖直方向时，手握住的手机显示手的向心加速度大小约为6 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．可估算手臂摆到竖直位置时手的线速度大小约为2 m/s B．手臂摆到竖直位置时手机处于失重状态 C．自然下摆过程中手机所受合力始终沿手臂方向 D．由a＝可知手掌与手肘的向心加速度之比约为1∶2 答案：A 解析：由题图可知，手机转动的半径约为65.0 cm＝0.650 m，根据公式a＝，可得手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为v＝＝ m/s≈2 m/s，故A正确；手臂摆到竖直位置时，手机的加速度方向向上，处于超重状态，故B错误；自然下摆过程中，手机做变速圆周运动，所受合力不是始终沿手臂方向，故C错误；由公式a＝ω2r，可知手掌与手肘的向心加速度之比约为2∶1，故D错误。故选A。 学生用书↓第42页 知识点三　圆周运动的动力学分析　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．匀速圆周运动的动力学分析 (1)对于匀速圆周运动的物体，其所受合力提供向心力，即F合＝Fn＝m＝mω2r＝mr。 (2)分析匀速圆周运动问题的基本步骤 ①明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 ②确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 ③找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。 ④利用牛顿第二定律列方程。 ⑤解方程求出待求物理量。 2．变速圆周运动的动力学分析 (1)物体受到的沿半径方向的合力提供向心力，产生向心加速度，改变速度的方向。 (2)物体受到的沿切线方向的合力产生切向加速度，改变速度的大小。 如图所示，长为L的细绳，一端拴一质量为m的小球，另一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)，摆线与竖直方向的夹角为α。求： (1)细绳的拉力大小F； (2)小球运动的线速度大小和向心加速度大小； (3)小球运动的角速度及周期。 答案：(1)　(2)　gtan α (3) 　　2π 解析：做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力mg和细绳的拉力F的作用。 (1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向指向圆心O′。由受力分析图可知小球受到的合力大小为mgtan α，细绳对小球的拉力大小为F＝。 (2)由牛顿第二定律得mgtan α＝ 由几何关系得r＝Lsin α，所以，小球做匀速圆周运动的线速度大小为v＝ 小球的向心加速度大小为an＝＝gtan α (或用牛顿第二定律求解：an＝＝＝gtan α)。 (3)小球运动的角速度 ω＝＝＝ ， 小球运动的周期T＝＝2π 。 几种常见的圆周运动模型 图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程 或mgtan θ＝mω2l sin θ 或mgtan θ＝ mω2r 或mgtan θ ＝mω2r 针对练1.如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动。以下关于A、B两球做圆周运动时的线速度(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、加速度(aA、aB)和对内壁的压力(FNA、FNB)的关系式正确的是(　　 ) A．vA>vB B．ωA>ωB C．aA>aB D．FNA>FNB 答案：A 解析：对小球受力分析如图所示，可得FN＝，Fn＝，由于两个小球的质量相同，并且都是在水平面内做匀速圆周运动，即θ相同，所以两个小球的向心力大小和受到的支持力大小都相等，所以有FNA＝FNB，aA＝aB，故C、D错误；向心力大小相等，由向心力的公式Fn＝m可知，半径大的，线速度大，所以vA>vB，故A正确；由向心力的公式Fn＝mω2r可知，半径大的，角速度小，所以ωA<ωB，故B错误。 针对练2.(2023·重庆高一校联考期中)如图是某固定翼无人机在目标上空高度为h的水平面内盘旋，做匀速圆周运动，测得与目标的距离为s，无人机质量为m，巡航速度为v，所在地重力加速度为g。以下说法正确的是(　　) A．无人机圆周运动的周期为 B．无人机匀速圆周运动过程中，竖直面内受重力、升力和向心力作用 C．无人机获得的升力大小等于mg D．机翼与水平面的夹角θ满足关系式tan θ＝ 答案：D 解析：由题意可得无人机做圆周运动的半径为r＝，则周期为T＝＝，故A错误；无人机做匀速圆周运动的过程中，竖直面内受重力、升力的作用，升力在竖直方向上的分力大小等于mg，在水平方向上的分力提供无人机所需的向心力，故B、C错误；机翼与水平面的夹角θ满足关系式F升cos θ＝mg，F升sin θ＝m，r＝，联立解得tan θ＝，故D正确。 1．(多选)关于向心加速度，下列说法中正确的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．向心加速度越大，物体速度方向改变得就越快 B．做曲线运动的物体，一定存在向心加速度 C．由an＝可知，向心加速度一定与轨道半径成反比 D．物体做变速圆周运动时，向心加速度的大小不能用an＝来计算 答案：AB 解析：向心加速度是表示速度方向变化快慢的物理量，向心加速度越大，物体速度方向改变得就越快，故A正确；做曲线运动的物体，其运动轨迹可看作由若干个曲率半径不同的小圆弧组成，物体运动到每个小圆弧时都存在向心加速度，可知做曲线运动的物体一定有向心加速度，故B正确；公式an＝表示在线速度大小一定的条件下，向心加速度与轨道半径成反比，如果线速度大小不一定，则不能说向心加速度与轨道半径成反比，故C错误；物体做变速圆周运动时，向心加速度的大小仍然能用an＝来计算，故D错误。 2.(粤教版必修第二册P48T5改编)如图所示，市场出售的苍蝇拍，拍柄长约30 cm。实际使用中，效果并不太理想，拍头打向苍蝇，尚未打到，苍蝇就飞了。有人尝试将拍柄增长到60 cm，结果一打一个准。其原因最有可能的是(　　) A．拍头线速度变大了 B．拍柄转动的角速度变小了 C．拍头的向心加速度变小了 D．拍头的向心力变小了 答案：A 解析：要想打到苍蝇，必须提高线速度，由于苍蝇拍的质量较小，且可以认为使用时角速度不变，根据v＝ωr可知，提高线速度需要增加转动半径，故A正确，B错误；由an＝ω2r可知，向心加速度变大了，故C错误；由F＝mω2r可知，拍头的向心力变大了，故D错误。 3.(2023·黑龙江省牡丹江一中月考)劳技课上，某同学在体验糕点制作“裱花”环节时，她在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘每隔2 s均匀“点”一次奶油(“点”奶油的时间忽略不计)，蛋糕转动一周正好均匀“点”上20点奶油。下列说法正确的是(　　) A．圆盘转动的周期为38 s B．圆盘转动的角速度大小为 rad/s C．蛋糕边缘的线速度大小约为 m/s D．蛋糕边缘的向心加速度约为25 m/s2 答案：B 解析：一周20个间隔，每个间隔2 s，圆盘转动的周期为40 s，故A错误；圆盘转动的角速度大小为ω＝＝ rad/s，故B正确；蛋糕边缘的线速度大小为v＝ωr＝ m/s，故C错误；蛋糕边缘的向心加速度大小为a＝ωv≈ m/s2，故D错误。 4.两个质量相同的小球a、b用长度不等的细线拴在天花板上的同一点并在空中同一水平面内做匀速圆周运动，如图所示，则关于a、b两小球的说法正确的是(　　)A.a球角速度大于b球角速度 B．a球线速度大于b球线速度 C．a球向心力等于b球向心力 D．a球向心加速度小于b球向心加速度 答案：B 解析： 对小球a进行受力分析如图所示，小球受重力、绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力，由几何关系得F合＝mgtan θ，由向心力公式得Fn＝F合＝mω2r，设球与悬挂点间的高度差为h，由几何关系得r＝htan θ，由以上三式得ω＝ ，角速度与绳子的长度和转动半径无关，与高度h有关，而两球做圆周运动到悬点的高度相同，则有ωa＝ωb，故A错误；因两球角速度相等，由v＝ωr，两球转动半径ra>rb，则线速度va>vb，故B正确；由Fn＝mω2r，两球转动半径ra>rb，而质量m和角速度ω相等，则向心力Fna>Fnb，故C错误；由an＝ω2r，角速度相等而转动半径ra>rb，则向心加速度ana>anb，故D错误。 课时测评10　向心加速度 (时间：30分钟　满分：60分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (选择题1－10题，每题4分，共40分) 1．关于向心力和向心加速度的说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒定不变的 B．向心力不改变做圆周运动物体的线速度的大小 C．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力 D．向心加速度时刻指向圆心，方向不变 答案：B 解析：做匀速圆周运动的物体，向心力的方向始终指向圆心，其向心力是变力，故A错误；向心力的方向始终沿着半径指向圆心，与速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故B正确；非匀速圆周运动，合外力指向圆心的分力提供向心力，故C错误；向心加速度的方向始终沿着半径指向圆心，方向改变，故D错误。 2.小明坐在水平转盘上，与转盘一起做匀速圆周运动。关于小明的运动状态和受力情况，下列说法正确的是(　　) A．角速度不变 B．线速度不变 C．向心加速度不变 D．所受合力为零 答案：A 解析：匀速圆周运动过程中，角速度恒定不变，线速度大小恒定不变，方向变化，向心加速度大小恒定不变，方向时刻变化，故A正确，B、C错误；匀速圆周运动中，加速度不为零，根据牛顿第二定律可知，所受合力不为零，D错误。 3.(多选)如图为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知(　　) A．A物体运动的线速度大小不变 B．A物体运动的角速度大小不变 C．B物体运动的角速度大小不变 D．B物体运动的角速度与半径成正比 答案：AC 解析：因为A为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a＝可知，A物体运动的线速度大小不变，故A正确，B错误；而OB为过原点的直线，说明a与r成正比，由a＝ω2r可知，B物体运动的角速度大小不变，故C正确，D错误。 4.(多选)(2023·云南省红河一中期中)“旋转纽扣”是一种传统游戏，如图所示，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，某时刻纽扣绕其中心的转速n＝10 r/s，此时纽扣上A点距离中心点1 cm处，纽扣上B点距离中心点2 cm处(图中A、B未标出)。已知π2≈10，则(　　) A．A、B两点的角速度之比为1∶2 B．A、B两点的线速度之比为1∶2 C．A点的向心加速度约为40 m/s2 D．B点的线速度约为0.628 m/s 答案：BC 解析：A、B两点同轴转动，角速度相等，故A错误；根据v＝ωr可知A、B两点的线速度之比为1∶2，故B正确；根据a＝4π2n2r，代入数据可得A点的向心加速度a＝40 m/s2，故C正确；根据v＝2πnr，代入数据可得B点的线速度v＝1.256 m/s，故D错误。 5.(2023·福建省福州一中期中)如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，而后轮与小齿轮是绕共同的轴转动的。设大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为RA、RB和RC，其半径之比为RA∶RB∶RC＝3∶1∶6，在它们的边缘分别取一点A、B、C。下列说法正确的是(　　) A．线速度大小之比为1∶1∶2 B．角速度之比为3∶1∶1 C．转速之比为3∶2∶1 D．向心加速度大小之比为1∶3∶18 答案：D 解析：A、B为链条传动，则线速度大小相等，B、C为同轴转动，则角速度相等，即vA＝vB，ωB＝ωC，由公式v＝ωr可知，由于RA∶RB∶RC＝3∶1∶6，则有vB∶vC＝1∶6，ωA∶ωB＝1∶3，即线速度大小之比为vA∶vB∶vC＝1∶1∶6，ωA∶ωB∶ωC＝1∶3∶3，故A、B错误；由公式ω＝2πn可知，转速与角速度成正比，则转速之比为1∶3∶3，故C错误；由公式a＝＝vω可知，向心加速度大小之比为aA∶aB∶aC＝vAωA∶vBωB∶vCωC＝1∶3∶18，故D正确。 6.(2023·云南省保山、文山期末)如图所示，操场跑道的弯道部分是半圆形，最内圈的半径大约是32 m。一位质量约为50 kg的同学沿最内圈跑过一侧弯道的时间约为12 s，该过程可视为匀速圆周运动。则该同学沿弯道跑步时(　　) A．线速度约为2.67 m/s B．角速度约为 rad/s C．向心加速度约为 m/s2 D．向心力约为500 N 答案：B 解析：该同学沿弯道跑步时线速度约为v＝＝ m/s≈8.37 m/s，故A错误；由题知该同学绕圆心转过的角度θ＝π，则该同学角速度约为ω＝＝ rad/s，故B正确；该同学向心加速度约为an＝ω2r＝ m/s2，故C错误；该同学向心力约为F＝ma＝ N≈110 N，故D错误。 7.(2023·北京西城期中)如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测重力为G的女运动员做圆锥摆运动时身体和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员(　　) A．受到的拉力为G B．向心加速度为2g C．受到的拉力为3G D．向心加速度为g 答案：D 解析：女运动员做圆锥摆运动，对女运动员进行受力分析可知，女运动员受到重力和男运动员对她的拉力，在竖直方向上合力为零，即FTsin 30°＝G，解得FT＝2G，故A、C错误；在水平方向上，男运动员对女运动员的拉力FT的水平分力提供做圆周运动的向心力，即FTcos 30°＝man，解得an＝g，故B错误，D正确。 8.(多选)(2023·湖北省黄冈市期中)如图所示，两个完全相同的小球A、B在不同水平面内做圆锥摆运动，连接小球A、B的轻绳与竖直方向之间的夹角相等，连接B球的轻绳较长。下列说法正确的是(　　) A．A球的角速度小于B球的角速度 B．A球的线速度小于B球的线速度 C．A球运动的周期大于B球运动的周期 D．A球对轻绳的拉力大小等于B球对轻绳的拉力大小 答案：BD 解析：设小球运动的圆心到顶点的高度为h，绳子与竖直方向的夹角为θ，小球受到的合力提供向心力，即mgtan θ＝＝mω2htan θ＝htan θ，整理得v＝，ω＝ ，T＝ ，可知A球的角速度大于B球的角速度，A球的线速度小于B球的线速度，A球运动的周期小于B球运动的周期，A、C错误，B正确；在竖直方向受力平衡，因此F＝，两者拉力相等，D正确。 9．如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　) A．A、B球受到的支持力之比为∶3 B．A、B球的向心加速度之比为∶1 C．A、B球运动的角速度之比为3∶1 D．A、B球运动的线速度之比为3∶1 答案：C 解析：对小球受力分析可知，A球受到的支持力FNA＝＝2mg，同理B球受到的支持力FNB＝＝，则A、B球受到的支持力之比为 ∶1，故A错误；A球的向心力FnA＝＝mg，B球的向心力FnB＝＝，则A、B球的向心力之比为3∶1，向心加速度之比也为3∶1，故B错误；根据Fn＝mω2r可知ωA＝ ＝，ωB＝＝ ，则A、B球运动的角速度之比为3∶1，故C正确；A、B球运动的半径之比为rA∶rB＝htan 30°∶htan 60°＝1∶3，根据v＝ωr可知A、B球运动的线速度之比为1∶1，故D错误。 10.(多选)(2023·江西省南昌市期中)如图所示，轻杆上固定三个小球A、B、C，放置于光滑水平面上，给系统一个角速度，小球A和C恰好能够绕小球B做匀速圆周运动。小球A的质量为m1，小球C的质量为m2，小球A和B之间的距离为L1，小球B和C之间的距离为L2，小球A的线速度大小为v1，小球C的线速度大小为v2，小球A的角速度为ω1，小球C的角速度为ω2，小球A的向心加速度大小为a1，小球C的向心加速度大小为a2，下列说法正确的是(　　) A．ω1∶ω2＝L1∶L2 B．v1∶v2＝L1∶L2 C．a1∶a2＝L1∶L2 D．m1∶m2＝L1∶L2 答案：BC 解析：小球A和C由轻杆固定，围绕着小球B做匀速圆周运动，小球A和C的角速度相同，故A错误；在角速度相同的情况下，由v＝ωr可知，线速度与圆周运动的半径成正比，可得v1∶v2＝L1∶L2，故B正确；轻杆AB段和BC段对小球B的拉力等大反向，可知m1a1＝m2a2，即m1ω2L1＝m2ω2L2，可得a1∶a2＝L1∶L2，m1∶m2＝L2∶L1，故C正确，D错误。 11.(10分)如图所示，质量为m的小球用长为l的悬绳固定于O点。在O点的正下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆的过程中，小球通过最低点时的速度大小为 。求：悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度之比和绳子的拉力之比。 答案：2∶3　6∶7 解析：在悬绳碰到钉子的前、后瞬间，速度不变，小球做圆周运动的半径从l变为l， 则根据向心加速度公式，有a前＝，a后＝， 所以a前∶a后＝2∶3。 在最低点，拉力和重力的合力提供向心力，有 F前－mg＝m，F后－mg＝m 所以F前∶F后＝6∶7。 12．(10分)如图所示，沿半径为R的半球型碗的光滑内表面，质量为m的小球正在虚线所示的水平面内做匀速圆周运动，小球离碗底的高度h＝R，重力加速度为g，试求(结果可用根号表示)： (1)此时小球对碗壁的压力大小； (2)小球做匀速圆周运动的线速度大小和向心加速度大小； (3)小球做匀速圆周运动的周期。 答案：(1)2mg　(2) 　g　(3)π 解析：(1)由几何关系可知，支持力与水平方向的夹角为θ＝30° 对小球受力分析，可得FNsin 30°＝mg 解得FN＝2mg 根据牛顿第三定律可知小球对碗壁的压力大小 FN′＝FN＝2mg。 (2)根据牛顿第二定律可知 FNcos 30°＝m＝man 解得v＝ ，an＝g。 (3)根据FNcos 30°＝mRcos 30° 解得T＝π 。 学生用书↓第44页 学科网（北京）股份有限公司 $$