3.3 幂函数课件第1-2课时-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 幂函数 1 引 01 情境引入 字在数学中的使用可以追溯到古代。公元263年，刘徽在为《九章算术》作注时，首次在数学文献中使用“幂”字，表示长方形的面积，即长和宽的乘积‌。到了公元656年，李淳风在重注《九章算术》时，进一步解释了“幂”的概念，指出幂是边自乘，即正方形的面积等于边长的自乘‌。这种用法逐渐被接受并沿用至今。 “幂”原指盖东西的布巾，类似于在一个数字上“盖上了一块头巾”，如54. 这种定义在形式上与“幂”字的字面意思相契合. 引 01 章节框图 引 02 学习目标 1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质． 2.掌握幂函数图象位置和形状变化，会根据幂函数单调性比较幂值的大小． 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析、数学建模 【教学重点】幂函数的概念、图象与性质； 【教学难点】幂函数的性质及其应用； 思 03 建构新知 函数是现实中刻画运动变化的重要模型，先看几个实例，下列各问题的函数关系分别是什么？ (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付 的钱数P= t 元，这里P是t的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； (4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长 ，这里c是S的函数； (5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度 km/s，这里 V是t的函数； 探究1：观察（1）~（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？ 思 03 建构新知 （1）都具有幂的形式； （2）均是以幂的底数为自变量； （3）幂的指数都是常数； （4）自变量前的系数为1． 探究1：观察（1）~（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？ 评 03 建构新知 1. 函数的概念 一般地，函数y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 思 03 建构新知 对于幂函数，我们只研究时的图象与性质. 探究2：结合以往的学习函数的经验，你将如何研究这些函数？ 可以尝试的思路： 定义域--图像+解析式--值域--单调性--奇偶性 思 03 建构新知 下面我们在同一坐标系内作出下列函数的图象 哪些图像你比较熟悉？ 思 03 建构新知 我们在同一坐标系内作出下列函数的图象 思考：你能说说这5个函数的性质吗？ 评 03 建构新知 1.幂函数的图像特征及性质 函数 图像 定义域 值域 单调性 奇偶性 定点 R R 在R上单调递增 奇函数 R [0，+∞） 在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞）单调递增 偶函数 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减 奇函数 R R 在R上单调递增 奇函数 [0，+∞） [0，+∞） 在[0，+∞）上单调递增 非奇非偶函数 （1，1） 思 03 建构新知 探究 1：你能发现上述5个幂函数的图象有什么共同特征？ 2：你能发现它们有哪些不同特征？ 如奇偶性，单调性方面？ 思 03 建构新知 2.幂函数的性质（相同点） 1）所有函数在第一象限都有图象，即在 上有定义，在第四象限无图象； 2）函数图象都经过点，因 3) 在（0，+∞)上 2.幂函数的性质（不同点） 当α<0时，函数在(0，+∞)单调递减； 当α>0时，函数在(0，+∞)单调递增． 4) 当α为奇数，幂函数y=xα是奇函数； 当α为偶数，幂函数y=xα是偶函数； 5）α>0时,函数图像经过原点，α< 0时函数图像不经过原点. 评 04 巩固应用 例1.若幂函数的图象与轴没有交点， 则的图象关于( )对称 A.原点 B.轴 C. 轴 D.不确定 解：令2m2-6m+5=1 得m=1 或 2 由题意得m=1 ，即 f(x)=x-1符合， 选A 评 04 巩固应用 求幂函数解析式只需要知道一个点的坐标，非（1，1） 思 04 巩固应用 分子有理化 思 04 巩固应用 结 05 课堂小结 一、本节课我们的学习是经历了怎样的流程？学习了哪些新知识？ 二、本节课体会到哪些数学思想、方法？有哪些需要注意的地方？ 评 06 拓展提高 的变化如何影响幂函数的在第一象限的图象 还有：在（0，+∞）上 1）当 a>1时，函数值增长速度越来越快 2）当 0< a<1时, 函数值增长速度越来越慢； 评 06 拓展提高 例4. 比较下列各组数中两个数的大小： 练习4. 根据函数单调性与奇偶性的定义，讨论函数y=x3的单调性和奇偶性. 评 06 拓展提高 3.函数 1）判断该函数的奇偶性; 2)你是如何画出该函数的大致图象，并判断其单调性？ 例2.已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，). (1)求函数f(x)的解析式，并求出它的定义域； (2)试求满足f(1＋a)>f(3－a)的实数a的取值范围. 故a的取值范围是(1，3]. 【练2】若(a＋1)3<(1－2a)3，则实数a的取值范围为________． (1)与； (2)与. 解　(1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，又>，所以>. (2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1). $$