第03讲 用待定系数法确定二次函数表达式（2考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第03讲 用待定系数法确定二次函数表达式 课程标准 学习目标 1 理解待定系数法的原理，明确其在确定二次函数表达式中的应用流程。 2 能熟练运用待定系数法，根据已知条件准确确定二次函数的表达式。 3 体会待定系数法在解决二次函数相关问题中的重要性，培养数学建模与求解能力。 1. 掌握待定系数法的概念及基本步骤，了解其适用情况。 2. 会根据给定的点坐标等条件，运用待定系数法求出二次函数表达式，提升运算与解题能力。 3. 感受待定系数法的巧妙之处，增强运用数学方法解决问题的信心和兴趣。 知识点一、二次函数解析式的三种形式 1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）； 2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）； 3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）. 知识点二、待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式. 1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解. 2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k. 3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 题型01 二次函数的一般式 1．抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 【分析】（1）把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． （2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可． 【解答】解：（1）将（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）代入抛物线y＝ax2+bx+c中得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+12x﹣8． （2）∵y＝﹣2x2+12x﹣8＝﹣2（x﹣3）2+10， ∴顶点坐标为（3，10）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法． 2．已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）． （1）求此函数解析式； （2）求出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积． 【分析】（1）将点A（0，4）与B（1，﹣2）代入解析式求解可得； （2）将解析式配方成顶点式得其顶点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得． 【解答】解：（1）将点A（0，4）与B（1，﹣2）代入解析式，得： ， 解得：， 则此函数解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4； （2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4＝﹣2（x+1）2+6， ∴顶点C坐标为（﹣1，6）， ∵A（0，4）， ∴OA＝4， 则S△CAO•OA•|xC|4×1＝2． 【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 3．如图，已知抛物线y＝x2﹣mx+n过点A与B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．点D在抛物线上，且与点C关于对称轴l对称． （1）求该抛物线的函数关系式和对称轴； （2）求△BCD的面积． 【分析】（1）将（2，0），（0，﹣2）代入y＝x2﹣mx+n，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴； （2）由抛物线的轴对称性，先求出点D的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣mx+n过点B（2，0），C（0，﹣2）， ∴将（2，0），（0，﹣2）代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2， ∴， 即抛物线的对称轴l为； （2）∵点D与点C关于对称轴l对称，点C（0，﹣2）， ∴点D的坐标为（1，﹣2）， ∴CD＝1，且CD∥x轴． ∴． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键． 4．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）观察图象： ①当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； ②点P为抛物线上一点，若S△ABP＝24，求出此时P点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法进行计算即可得出答案，再化为顶点式即可求得顶点坐标； （2）①由解析式得出抛物线的对称轴为直线x＝1，再由抛物线的增减性即可得出答案；②根据三角形面积即可得出点P的纵坐标，代入解析式进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）； （2）①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随着x的增大而减小，当x＞1时，y随着x的增大而增大， ∴当0＜x＜3时，当x＝1时，y有最小值为﹣4，当x＝3时，y＝（3﹣1）2﹣4＝0，当x＝0时，y＝（0﹣1）2﹣4＝﹣3， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤y＜0； ②∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， ∵S△ABP＝24， ∴， ∴|yP|＝12， ∵抛物线顶点坐标为（1，﹣4）， ∴yP＝12， 当yP＝12时，x2﹣2x﹣3＝12， 解得：x1＝﹣3，x2＝5， ∴P（﹣3，12）或（5，12）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型02 二次函数的顶点式 1．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据抛物线形状、开口方向得到，根据顶点为（﹣3，2）即可得出解析式． 【解答】解：设抛物线解析式为：y＝a（x+3）2+2， ∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， 则a， 则抛物线解析式为：y（x+3）2+2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线形状、开口方向，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 2．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（　　） A．y＝x2﹣2x+4 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x+1 D．y＝x2﹣2x+1 【分析】利用顶点式直接写出抛物线解析式，然后把顶点式化为一般式即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3）， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3， 即y＝x2﹣2x+4． 故选：A． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 3．已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围； （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2，然后将点（1，﹣3）代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数法的值，也就求出了抛物线的解析式． （2）根据二次函数的性质易得当x＜2时，y随x的增大而增大． （3）利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值， ∴抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2， ∵抛物线过点（1，﹣3）， ∴﹣3＝a（1﹣2）2， ∴解得a＝﹣3， ∴此抛物线的解析式y＝﹣3（x﹣2）2． （2）因为抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下， 所以当x＜2时，y随x的增大而增大． （3）当x＝0时，y＝﹣3（x﹣2）2＝﹣12， 所以抛物线y＝﹣3（x﹣2）2与y轴的交点坐标为（0，﹣12）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 题型03 二次函数的交点式 1．求下列二次函数的表达式： （1）已知二次函数的图象的顶点为（2，0），且经过点（﹣2，4）； （2）已知二次函数的图象经过点（3，0），（﹣2，0），（0，6）． 【分析】（1）依据题意，设所求函数表达式为 y＝a（x﹣2）2，又过点（﹣2，4），进而代入得4＝a（﹣2﹣2）2，最后计算可以得解； （2）依据题意，设所求函数表达式为 y＝a（x﹣3）（x+2）又过点（0，6），再代入得6＝a（0﹣3）（0+2），进而求出a后可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设所求函数表达式为 y＝a（x﹣2）2， 又过点（﹣2，4）， ∴当 x＝﹣2 时，y＝4． ∴4＝a（﹣2﹣2）2． ∴． ∴所求表达式为 ． （2）由题意，设所求函数表达式为 y＝a（x﹣3）（x+2）， 又过点（0，6）， ∴当 x＝0 时，y＝6． ∴6＝a（0﹣3）（0+2）． ∴a＝﹣1． ∴所求表达式为 y＝﹣（x﹣3）（x+2）＝﹣x2+x+6． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 2．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝x2+bx+c求得a、b的值即可解答； （2）先求出AB＝4，设点P的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得m＝±5；然后再分m＝5和m＝﹣5两种情况求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3； （2）∵抛物线 y＝x2﹣2x﹣3经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴AB＝4， 设点P的纵坐标为m， ∵S△PAB＝10， ∴，即，解得：m＝±5； 当m＝5，有5＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝﹣2或4， ∴点P的坐标为（﹣2，5）或（4，5）； 当m＝﹣5，有﹣5＝x2﹣2x﹣3，即x2﹣2x+2＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4＜0， ∴方程x2﹣2x+2＝0无解． 综上，点P的坐标为（﹣2，5）或（4，5）． 【点评】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 题型04 将二次函数的一般式化为顶点式 1．把二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则k＝ 　　． 【分析】把转化为顶点式，即可得解． 【解答】解： ， ∴k＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查将二次函数的三种形式，将一般式转化为顶点式是解题的关键． 2．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，求y的取值范围． 【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标； （2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c中， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）． （2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象解不等式． 3．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）． （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离． 【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数的解析式； （2）把（1）中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴． （3）将P（m，m）坐标代入y＝x2﹣4x﹣6，得m＝m2﹣4m﹣6，解方程求得m的值，根据题意得到m＝6，从而求得P的坐标，根据点P与点Q关于对称轴x＝2对称，所以点Q到x轴的距离为6． 【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）代入y＝ax2﹣4x+c， 得 解得， 所以二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣6； （2）由y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10可知： 对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣10）； （3）将P（m，m）坐标代入y＝x2﹣4x﹣6，得m＝m2﹣4m﹣6． 解得m1＝﹣1，m2＝6． 因为m＞0，所以m＝﹣1不合题意，舍去．所以m＝6， 所以P点坐标为（6，6）； 因为点P与点Q关于对称轴x＝2对称，所以点Q到x轴的距离为6． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握待定系数法是解题的关键． 1．将二次函数y＝x2﹣4x+8转化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，其结果为（　　） A．y＝（x﹣2）2+4 B．y＝（x+4）2+4 C．y＝（x﹣4）2+8 D．y＝（x﹣2）2﹣4 【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可． 【解答】解：y＝x2﹣4x+8 ＝x2﹣4x+4+4 ＝（x﹣2）2+4， 故选：A． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（其中x是自变量），当2≤x≤3时，5≤y≤8，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【分析】分两种情况，根据待定系数法即可求得a的值． 【解答】解：当x＝2时，y＝5；x＝3时，y＝8，则，解得； 当x＝2时，y＝8；x＝3时，y＝5，则，解得， ∴a的值为±1， 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 3．设函数y＝a（x+m）2+n（a≠0，m，n是实数），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6．则（　　） A．若m＝﹣3，则a＜0 B．若m＝﹣4，则a＞0 C．若m＝﹣5，则a＜0 D．若m＝﹣6，则a＞0 【分析】根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线x＝﹣m，再根据选项中所给出的m的值都a的正负依次进行判断即可． 【解答】解：由所给函数解析式可知， 抛物线的对称轴为直线x＝﹣m． 当m＝﹣3时，抛物线的对称轴为直线x＝3， 因为（1，1）和（6，6）在抛物线上， 则点（1，1）关于直线x＝3的对称点为（5，1）， 因为6＞5，6＞1， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大， 则抛物线的开口向上， 即a＞0． 故A选择不符合题意． 当m＝﹣4时，抛物线的对称轴为直线x＝4， 所以点（1，1）关于直线x＝4的对称点为（7，1）， 因为6＜7，6＞1， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 则抛物线的开口向下， 即a＜0． 故B选项不符合题意． 当m＝﹣5时，抛物线的对称轴为直线x＝5， 所以点（1，1）关于直线x＝5的对称点为（9，1）， 因为6＜9，6＞1， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 则抛物线的开口向下， 即a＜0． 故C选项符合题意． 当m＝﹣6时，抛物线的对称轴为直线x＝6， 因为6＞1， 所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的， 则抛物线的开口向下， 即a＜0． 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，能根据m的取值及抛物线上两点的坐标分析出抛物线的开口方向是解题的关键． 4．已知抛物线y＝x2+（3m﹣1）x﹣3m（m＞0）的最低点的纵坐标为﹣4，则抛物线的表达式是（　　） A．y＝x2﹣6x+5 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝x2+5x﹣6 D．y＝x2+4x﹣5 【分析】根据顶点的纵坐标求出m的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+（3m﹣1）x﹣3m（m＞0）的最低点的纵坐标为﹣4， ∴， 即， ∴（3m﹣1）2+12m＝16， （3m+1）2＝16， ∴3m+1＝±4， 解得：m1＝1，， 当m＝1时，抛物线为y＝x2+2x﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标，解题关键是掌握抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为． 5．二次函数y＝﹣x2﹣2x+1配方后，结果正确的是（　　） A．y＝﹣（x+1）2+2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2﹣2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 【分析】化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+1， ＝﹣（x2+2x）+1， ＝﹣[（x2+2x）+1]+1+1， ＝y＝﹣（x+1）2+2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 6．一个二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点在x轴负半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 　y＝﹣（x+1）2（答案不唯一）　． 【分析】按照题目对二次函数的要求，写出符合要求的解析式即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数图象的顶点在x轴的负半轴上， 不妨令其顶点坐标为（﹣1，0）． 又因为在其对称轴左侧的部分是上升的， 所以抛物线的开口向下，则a＜0， 不妨令a的值为﹣1， 所以这个二次函数的解析式可以是：y＝﹣（x+1）2． 故答案为：y＝﹣（x+1）2（答案不唯一）． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 7．请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式y＝　（x﹣1）2　 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可． 【解答】解：符合的表达式是y＝（x﹣1）2， 故答案为：（x﹣1）2． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键． 8．一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 　y＝4x2+5x　． 【分析】设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把三点的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可． 【解答】解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， ∵二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点， ∴代入得： 解得：a＝4，b＝5，c＝0， 即二次函数的解析式是y＝4x2+5x， 故答案为：y＝4x2+5x． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数图象上点的坐标特征，能得出关于a、b、c的方程组是解此题的关键，注意二次函数的三种表现形式． 9．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是　x　． 【分析】先把（﹣1，0），（1，﹣2）代入二次函数y＝x2+bx+c中，得到关于b、c的方程，解出b、c，即可求解析式． 【解答】解：把（﹣1，0），（1，﹣2）代入二次函数y＝x2+bx+c中，得 ， 解得 ， 那么二次函数的解析式是y＝x2﹣x﹣2． 函数的对称轴是：x 因而当y随x的增大而增大时，x的取值范围是：x． 故答案为：x． 【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大． 10．如图，在同一坐标系内，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4），一次函数的图象与抛物线交于B，C两点． （1）二次函数的解析式为　y＝﹣2x2+2x+4　； （2）当自变量x　　时，两函数的函数值都随x增大而减小； （3）当自变量x　＜0或x＞2　时，一次函数值大于二次函数值． 【分析】（1）可设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，分别把点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4）代入解析式求解系数即可． （2）和（3）都可以根据函数图象直接观察． 【解答】解：（1）根据题意，可设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c， ∵二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4）， ∴分别把点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4）代入解析式得， 0＝a﹣b+c，① 0＝4a+2b+c，② 4＝c，③ 由①②③得，a＝﹣2，b＝2，c＝4， ∴二次函数解析式为y＝﹣2x2+2x+4． （2）根据图象可知，当x时，两函数的函数值都随x增大而减小． （3）一次函数值大于二次函数值即一次函数图象在二次函数上方，根据图象知x范围为：x＜0或x＞2． 故答案为：（1）y＝﹣2x2+2x+4； （2）； （3）＜0或x＞2． 【点评】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，及函数性质，是基础题型． 11．在平面直角坐标系内，设二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1（a为常数）． （1）若函数y的图象经过点（1，2），求函数y的表达式； （2）若二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1在1≤x≤4时，y有最小值2，求a的值． 【分析】（1）用待定系数法可得答案； （2）分三种情况讨论即可； 【解答】解：（1）把（1，2）代入y＝（x﹣a）2+a﹣1 得：2＝（1﹣a）2+a﹣1， 解得a＝2或a＝﹣1， ∴函数y的表达式为y＝（x﹣2）2+1 y＝（x+1）2﹣2； （2）抛物线y＝（x﹣a）2+a﹣1开口向上，对称轴是直线 x＝a， 当a＜1时，x＝1时y取最小值2， ∴（1﹣a）2+a﹣1＝2，解得a＝2（舍去）或a＝﹣1； 当1≤a≤4时，x＝a时y取最小值2， ∴a﹣1＝2， 解得 a＝3， 当a＞4时，x＝4时y取最小值2， ∴（4﹣a）2+a﹣1＝2，方程无实数解， 综上所述，二次函数 y＝（x﹣a）2+a﹣1在1≤x≤4时，y有最小值2，a的值为﹣1或3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法等知识，灵活运用二次函数的性质是本题的关键． 12．如图，抛物线经过A（﹣3，0），B（0，6）两点，且其对称轴为直线x＝﹣1． （1）求此抛物线及直线AB的函数表达式； （2）若P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），若△PAB的面积为6，求出此时点P的坐标． 【分析】（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据对称轴计算公式得到b＝2a，再把A（﹣3，0），B（0，6）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）中求出a、b、c的值即可；设直线AB的解析式为y＝kx+b′，把A（﹣3，0），B（0，6）代入y＝kx+b′中求出k、b′的值即可： （2）如图所示，过点P作PH⊥x轴于H，设P（m，﹣2m2﹣4m+6），则OH＝﹣m，PH＝﹣2m2﹣4m+6，AH＝m+3，根据S四边形AOBP＝S△APB+S△AOB＝S△APH+S梯形OBPH，得到，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1， ∴，即b＝2a 把A（﹣3，0），B（0，6）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）中得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6； 设直线AB的解析式为y＝kx+b′， 把A（﹣3，0），B（0，6）代入y＝kx+b′中得：， ∴， ∴直线AB的解析式为y＝2x+6； （2）如图所示，过点P作PH⊥x轴于H， 设P（m，﹣2m2﹣4m+6），则OH＝﹣m，PH＝﹣2m2﹣4m+6， ∴AH＝OA﹣OH＝m+3， ∵S四边形AOBP＝S△APB+S△AOB＝S△APH+S梯形OBPH， ∴， ∴， ∴﹣2m3﹣6m2﹣4m2﹣12m+6m+18+2m3+4m2﹣12m＝30， ∴m2+3m+2＝0， 解得m＝﹣1或m＝﹣2， 当m＝﹣1时，﹣2m2﹣4m+6＝8， 当m＝﹣2时，﹣2m2﹣4m+6＝6， ∴点P的坐标为（﹣1，8）或（﹣2，6）． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数解析式和求二次函数解析式，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 13．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围是 　﹣3≤x≤1　； （3）若关于x的方程|x2+bx+c|﹣m＝0有且只有四个解，则m的取值范围是 　0＜m＜6　． 【分析】（1）利用待定系数法求解可得函数解析式，再配方成顶点式即可得出其顶点坐标； （2）当y≤﹣2时，x2+2x﹣5≤﹣2，解该不等式即可得出答案； （3）直线y＝m与函数y＝|x2+2x﹣5|的交点即为|x2+bx+c|﹣m＝0的解，据此利用函数图象求解即可． 【解答】解：（1）将点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入解析式，得： ， 解得， 所以函数解析式为y＝x2+2x﹣5， ∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6， ∴函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣6）； （2）当y≤﹣2时，x2+2x﹣5≤﹣2， ∴x2+2x﹣3≤0， 解得﹣3≤x≤1， 故答案为：﹣3≤x≤1； （3）由|x2+bx+c|﹣m＝0知|x2+bx+c|＝m， 如图所示， 由图知，当0＜m＜6时，直线y＝m与函数y＝|x2+2x﹣5|有4个交点，即此时|x2+bx+c|﹣m＝0有4个解． 故答案为：0＜m＜6． 【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数与相应方程间的关系． 14．已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），． （1）求二次函数的表达式； （2）点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，利用全等三角形的判定与性质求得点P的横纵坐标相等，设P（m，m），代入二次函数的解析式，得到关于m的方程，解方程即可得出结论 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为y2； （2）过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，如图， ∵线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上， ∴∠FPE＝90°，PF＝PE ∴∠FPA+∠EPA＝90°． ∵作PA⊥x轴，PB⊥y轴，OF⊥OE， ∴四边形APBO为矩形， ∴∠APB＝90°， ∴∠BPF+∠FPA＝90°， ∴∠FPB＝∠EPA． 在△BPF和△APE中， ， ∴△BPF≌△APE（AAS）， ∴PB＝PA． ∴点P的横纵坐标相等， 设P（m，m）， ∵点P为二次函数图象上一点， ∴2＝m， 解得：m1＝m2＝4， ∴点P的坐标为（4，4）． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标的特征表示出相应线段的长度是解题的关键． 15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入求解； （2）求出DE的长，可得结论． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC， ∴OC＝OB＝3， ∴C（0，3）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入得， ﹣3a＝3， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）． 如图，过点D作DF⊥AB于点F，交BC于点E． 设直线BC的解析式为y＝kx+3，将（3，0）代入得，0＝3k+3， ∴k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 当x＝1时，y＝2， ∴E（1，2）， ∴DE＝4﹣2＝2， ∴S△CDB•DE•OB2×3＝3 【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法，属于中考常考题型． 16．已知直线y＝2x﹣2与抛物线y＝mx2+mx+n交于点A（1，0）和点B，且m＜n． （1）当m＝﹣2时，直接写出该抛物线顶点的坐标． （2）求点B的坐标（用含m的代数式表示）． （3）设抛物线顶点为C，记△ABC的面积为S． ①若﹣1≤m，求线段AB长度的取值范围； ②当S时，求对应的抛物线的函数表达式． 【分析】（1）把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质计算； （2）联立一次函数、二次函数解析式，解方程组求出B点坐标； （3）①利用坐标平面内两点的距离公式计算； ②根据△ABC的面积S＝S△CEB+S△ACD计算． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+mx+n过点A（1，0），得n＝﹣2m， 当m＝﹣2时，y＝﹣2x2﹣2x+4 ＝﹣2（x2+x﹣2） ＝﹣2（x）2， 则抛物线顶点坐标为（，）； （2）由题意得，， 整理得，mx2+（m﹣2）x﹣2m+2＝0，即x2+（1）x﹣20， 解得x＝1或x2， ∴B点坐标为（2，6）； （3）①由勾股定理可得AB2＝[（2）﹣1]2+（6）2＝5（3）2， ∵， ∴﹣31， ∴AB2随的增大而减小， ∴当3时，AB2有最大值405，则AB有最大值9， 当1时，AB2有最小值125，则AB有最小值5， ∴线段AB长度的取值范围为5AB≤9； ②如图，设抛物线对称轴交直线y＝2x﹣2于点E， 由题意得：点C的坐标为（，m） ∵抛物线对称轴为x，点E在直线AB：y＝2x﹣2上， ∴E（，﹣3）， ∵A（1，0），B（2，6），且m＜0， ∴△ABC的面积S＝S△CEB+S△ACE（3）（3）， 解得m＝﹣1或m， 对应的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣x+2或yx2x． 【点评】本题考查的是二次函数的性质、一次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤，掌握二次函数的性质、坐标平面内两点的距离的求法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 用待定系数法确定二次函数表达式 课程标准 学习目标 1 理解待定系数法的原理，明确其在确定二次函数表达式中的应用流程。 2 能熟练运用待定系数法，根据已知条件准确确定二次函数的表达式。 3 体会待定系数法在解决二次函数相关问题中的重要性，培养数学建模与求解能力。 1. 掌握待定系数法的概念及基本步骤，了解其适用情况。 2. 会根据给定的点坐标等条件，运用待定系数法求出二次函数表达式，提升运算与解题能力。 3. 感受待定系数法的巧妙之处，增强运用数学方法解决问题的信心和兴趣。 知识点一、二次函数解析式的三种形式 1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）； 2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）； 3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）. 知识点二、待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式. 1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解. 2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k. 3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 题型01 二次函数的一般式 1．抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 2．已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）． （1）求此函数解析式； （2）求出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积． 3．如图，已知抛物线y＝x2﹣mx+n过点A与B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．点D在抛物线上，且与点C关于对称轴l对称． （1）求该抛物线的函数关系式和对称轴； （2）求△BCD的面积． 4．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）观察图象： ①当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； ②点P为抛物线上一点，若S△ABP＝24，求出此时P点的坐标． 题型02 二次函数的顶点式 1．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 2．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（　　） A．y＝x2﹣2x+4 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x+1 D．y＝x2﹣2x+1 3．已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围； （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 题型03 二次函数的交点式 1．求下列二次函数的表达式： （1）已知二次函数的图象的顶点为（2，0），且经过点（﹣2，4）； （2）已知二次函数的图象经过点（3，0），（﹣2，0），（0，6）． 2．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 题型04 将二次函数的一般式化为顶点式 1．把二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则k＝ 　　． 2．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，求y的取值范围． 3．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）． （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离． 1．将二次函数y＝x2﹣4x+8转化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，其结果为（　　） A．y＝（x﹣2）2+4 B．y＝（x+4）2+4 C．y＝（x﹣4）2+8 D．y＝（x﹣2）2﹣4 2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（其中x是自变量），当2≤x≤3时，5≤y≤8，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．±1 D．±2 3．设函数y＝a（x+m）2+n（a≠0，m，n是实数），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6．则（　　） A．若m＝﹣3，则a＜0 B．若m＝﹣4，则a＞0 C．若m＝﹣5，则a＜0 D．若m＝﹣6，则a＞0 4．已知抛物线y＝x2+（3m﹣1）x﹣3m（m＞0）的最低点的纵坐标为﹣4，则抛物线的表达式是（　　） A．y＝x2﹣6x+5 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝x2+5x﹣6 D．y＝x2+4x﹣5 5．二次函数y＝﹣x2﹣2x+1配方后，结果正确的是（　　） A．y＝﹣（x+1）2+2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2﹣2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 6．一个二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点在x轴负半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 　 　． 7．请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式y＝　 　 8．一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 　 　． 9．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是　 　． 10．如图，在同一坐标系内，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4），一次函数的图象与抛物线交于B，C两点． （1）二次函数的解析式为　 　； （2）当自变量x　 　时，两函数的函数值都随x增大而减小； （3）当自变量x　 　时，一次函数值大于二次函数值． 11．在平面直角坐标系内，设二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1（a为常数）． （1）若函数y的图象经过点（1，2），求函数y的表达式； （2）若二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1在1≤x≤4时，y有最小值2，求a的值． 12．如图，抛物线经过A（﹣3，0），B（0，6）两点，且其对称轴为直线x＝﹣1． （1）求此抛物线及直线AB的函数表达式； （2）若P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），若△PAB的面积为6，求出此时点P的坐标． 13．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围是 　 　； （3）若关于x的方程|x2+bx+c|﹣m＝0有且只有四个解，则m的取值范围是 　 　． 14．已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），． （1）求二次函数的表达式； （2）点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标． 15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积． 16．已知直线y＝2x﹣2与抛物线y＝mx2+mx+n交于点A（1，0）和点B，且m＜n． （1）当m＝﹣2时，直接写出该抛物线顶点的坐标． （2）求点B的坐标（用含m的代数式表示）． （3）设抛物线顶点为C，记△ABC的面积为S． ①若﹣1≤m，求线段AB长度的取值范围； ②当S时，求对应的抛物线的函数表达式． 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