专题02 切线长定理(选学)重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题02 切线长定理(选学)重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 切线的判定定理 题型二 应用切线长定理求解 题型三 应用切线长定理求证 题型四 利用切线长定理求线段长度 题型五 利用切线长定理求周长 题型六 利用切线长定理求面积 题型七 利用切线长定理求角度 题型八 利用切线长定理求内切圆半径 知识点一 切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推 【经典例题一 切线的判定定理】 【例1】（2024·河北沧州·二模）已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P 为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线； ②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 1．（2024·河北保定·一模）如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线，都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，，，，，则． 对上述结论描述正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 2．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，是直径，点在上．在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【经典例题二 】 【例2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【经典例题三 】 【例3】（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 1．（2023·山东青岛·二模）如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 2．（2024·北京·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 【经典例题四 利用切线长定理求线段长度】 【例4】（23-24九年级·四川绵阳·阶段练习）如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点D，E、F，且，，则的长是（　　） A． B． C． D． 1.（23-24九年级·重庆北碚·期末）如图，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24九年级·河北承德·期末）如图，与正方形的两边，相切，且与相切于E点．若的半径为4，且，则的长度为 ． 3.（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为多少 【经典例题五 利用切线长定理求周长】 【例5】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，是的内切圆，分别与相切于D，E两点，已知，，则的周长为（    ） A．14 B． C．16 D．18 1.（23-24九年级·江西赣州·阶段练习）如图，已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线切于点，分别交，于点，．若是的中点，则的周长是（    ） A． B．6 C． D． 2.（23-24九年级·北京海淀·期末）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为 ． 3.（23-24九年级·江苏南通·期中）已知是边长为3的等边三角形，的半径为是上一动点，分别切于点的另一条切线交于点，则周长的取值范围是    【经典例题六 利用切线长定理求面积】 【例6】（23-24九年级·江苏镇江·期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等． 【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ） A． B． C． D． 1.（23-24九年级·四川·期末）如图，直线分别与⊙相切于，且∥，连接，若，则梯形的面积等于（　 　） A．64 B．48 C．36 D．24 2.（23-24九年级·山东威海·期末）如图，的内切圆分别与三边相切于点，点和点，若，，则的面积为 ． 3.（23-24九年级·全国·单元测试）如图所示，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点． (1)求证：． (2)若以，，，四点为顶点的四边形是正方形，的半径为，求的面积． (3)若，，求的半径的长． 【经典例题七 利用切线长定理求角度】 【例7】（23-24九年级·湖北武汉·期末）四边形是的外切四边形，若，则的度数是（ ）． A．95 B．100 C．102 D．120 1.（23-24九年级·四川广安·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则等于（ ） A．40 B．55 C．65 D．70 2.（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，是的切线，是切点，分别交于，两点，若，则 ． 3.（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，A是外一点，分别与相切于点B，C．P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．， （1）则的周长是（2）若，则． 【经典例题八 利用切线长定理求内切圆半径】 【例8】（23-24九年级·江苏南通·期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 1.（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，在四边形中，分别与相切于B、E、A三点，为的直径．若，则的半径为（ ）．    A．1 B． C．3 D．4 2.（23-24九年级·湖北荆门·期末）如图， 内切于正方形，边、上两点，，且是的切线，当的面积为时，则的半径是 ．    3.（23-24九年级·河北邢台·期末）如图，将刻度尺、含角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），若三角板角的顶点A在刻度尺上的读数是，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是，量角器与三角板的接触点为B． （1） ． （2）该量角器的直径长为多少 ．（结果保留根号） 1．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 3．（2024·河北保定·一模）如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线，都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，，，，，则． 对上述结论描述正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 4．（2022·浙江宁波·一模）如图，A是外一点，，分别与圆O相切于B，C，P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．若的半径为4，，则的周长为（　　）    A． B．8 C． D．12 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（    ）    A． B． C． D． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，分别与相切于点，交于点．若，则的半径为 ． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，都是的切线，，则 ． 8．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是 ． 9．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    10．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，上的点，连接， 交于点G，且，连接并延长交于点 H，则的最小值是 ． 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为的直径，与切于点，连接，交于点， ． (1)如图，求的正切值； (2)如图，弦，连接，求证：为的切线； (3)如图，在（）的条件下，点在弧上，连接，，，求的长． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点是外一点，分别与相切于点． (1)如图①，若，则______； (2)如图②，连接，若，则______°； (3)如图③，点是优弧上一点，连接，若，则______°． 13．（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）（1）如图，，，分别与相切于点，，，猜想的周长与切线长的数量关系，并证明你的结论； （2）如果（1）的条件不变，且，的周长为，求的半径． 14．（23-24九年级下·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 15．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C． (1)求证∶． (2)若，连接，求证：四边形是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 切线长定理(选学)重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 切线的判定定理 题型二 应用切线长定理求解 题型三 应用切线长定理求证 题型四 利用切线长定理求线段长度 题型五 利用切线长定理求周长 题型六 利用切线长定理求面积 题型七 利用切线长定理求角度 题型八 利用切线长定理求内切圆半径 知识点一 切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推 【经典例题一 切线的判定定理】 【例1】（2024·河北沧州·二模）已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P 为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线； ②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定等知识，根据切线的判定定理，分别证明，即可解答，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：甲正确， 理由：如图1中，连接， 根据题意可得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 乙正确， 理由：为直径， ， ， 是的切线， 故选：A． 1．（2024·河北保定·一模）如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线，都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，，，，，则． 对上述结论描述正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 【答案】C 【分析】由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周角等于，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明，由此可得，进而可得，因此可判断④错误． 【详解】 由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，因此点A是的中点， 故①正确； ∵是的直径， ， ，， ∴直线，都是的切线， 故②正确； 直线，都是的切线，根据切线长定理，可知 ， 故③正确； ，，， ， ∴， ∴． ∵点A是的中点， ， 故④错误． 故选：C 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，， ∴当时，是切线， 故答案为：． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，是直径，点在上．在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30度直角三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键． （1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，根据切线的判定即可证得结论； （2）根据等腰三角形的和三角形外角定理证明，推出是等边三角形，得到，根据含30度直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】（1）证明：连接，则：， ， 是直径， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 【经典例题二 】 【例2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理的应用；由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：B． 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，切线的性质、切线长定理等知识，解决本题的关键是掌握切线的性质和切线长定理． 设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，证得四边形是正方形，则，根据是的切线，可得，，求出再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，    ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴ 由切线长定理可知，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得，平分，再由直角三角形的性质得，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，平分， ∴，， ∴，即的半径等于， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 【经典例题三 】 【例3】（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出，证明，进而得出，即可得到，同理可证，由得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，切点分别为，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 1．（2023·山东青岛·二模）如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，连接，根据切线长定理结合等边对等角，求出的度数，切线的性质，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，   ，分别切圆于、， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ． 故选：D． 2．（2024·北京·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】/13度 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，切线的性质，掌握切线长定理的含义是解本题的关键；先求解，再结合切线的性质可得答案． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理； （1）利用切线长定理得到，进而得到，再由，等量代换即可得证； （2）当点在上时，求出长，再根据当点与点重合时，最长，即可确定出的范围． 【详解】（1）当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切． 与边相切于点， ， ， ， ． 即； （2）在中，，，， 如图，连接、，当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切， 与边相切于点， ， ∴， 设，则，， 在中，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 在中，，， ． ，， 垂直平分， 根据面积法得：，则符合条件的长大于． 由题意可知，当点与点重合时，最长， 综上，当点在外时，． 【经典例题四 利用切线长定理求线段长度】 【例4】（23-24九年级·四川绵阳·阶段练习）如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点D，E、F，且，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，，，交于点M，根据“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角”可得，，，结合求得点E是中点，然后由等腰三角形三线合一的性质求得点A，O，E共线，在中由勾股定理求得后，利用的面积求得内切圆的半径；由切线长定理和等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，在中由勾股定理求得后，再利用面积法求得即可解答； 【详解】解：如下图，连接，，，，，，交于点M， 由切线长定理可知平分，， ∵， ∴， ∴， 同理根据切线长定理可知平分，，， ∴， ∴点E是中点， 根据等腰三角形三线合一的性质可得点E在的延长线上，即点A，O，E共线， ∴， 中由勾股定理可得， ∵且， ∴， 中由勾股定理可得， 等腰中由三线合一的性质可得垂直平分， ∵， ∴， ∴， 故选： D． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，等腰三角形的性质；利用面积法求三角形内切圆半径可使计算简便． 1.（23-24九年级·重庆北碚·期末）如图，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，根据切线长定理，得到，根据切线性质，得，勾股定理计算即可． 【详解】∵是的切线，为切点，经过圆心，， ∴，，， ∴， 故选：B． 2.（23-24九年级·河北承德·期末）如图，与正方形的两边，相切，且与相切于E点．若的半径为4，且，则的长度为 ． 【答案】6 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】设与正方形的边，切于点F，H，先证四边形是正方形，求出，再根据切线长定理可得． 【详解】解：如图，设与正方形的边，切于点F，H， 则， ，， 四边形是正方形， 的半径为4，且， ，， ， 与相切于点E， ， 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，解题的关键是根据切线长定理得出． 3.（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为多少 【答案】3 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值、应用切线长定理求解 【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：作于H， ∵直径于H， ∴， ∵，分别切于C，B， ∴，直径， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出的长． 【经典例题五 利用切线长定理求周长】 【例5】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，是的内切圆，分别与相切于D，E两点，已知，，则的周长为（    ） A．14 B． C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 根据切线长定理得到，根据即可得到的周长． 【详解】解：如图：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：C． 1.（23-24九年级·江西赣州·阶段练习）如图，已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线切于点，分别交，于点，．若是的中点，则的周长是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】本题主要考查了切线的性质和切线长定理，根据切线长定理可知的周长，连接在中，由勾股定理求出的长即可得出结论 【详解】解：连接，如图， ∵是等边三角形， ∴ ∵是的中点， ∴, ∵分别切于点M，N， ∴， 同理：， ∴的周长， 在中，， ∴的周长为， 故选：C 2.（23-24九年级·北京海淀·期末）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，勾股定理；利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，， ∴， ∵、是的切线，切点是D，交，于点，， ∴，， ∵的周长为4，即， ∴， ∵， ∴， 3.（23-24九年级·江苏南通·期中）已知是边长为3的等边三角形，的半径为是上一动点，分别切于点的另一条切线交于点，则周长的取值范围是    【答案】 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】连接，，根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，根据垂线段最短可得，当时，最小，求出最小值为，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，即可得出，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案． 【详解】解：连接，，设切于G，    ∵，分别是的切线， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴周长， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，l最小，当最大时，l最大； 根据垂线段最短可得，当时，最小， ∵是边长为3的等边三角形，， ∴， 由勾股定理得：， 当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，垂线段最短．根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，以及当时，最小，点D与点B（或C）重合时，AD最长是解题的关键． 【经典例题六 利用切线长定理求面积】 【例6】（23-24九年级·江苏镇江·期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等． 【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是掌握切线长定理． 当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，由切线长定理得到，，由勾股定理列出关于的方程，求出的长即可解决问题． 【详解】解：当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，与半圆相切于H，交于P， ∵四边形是正方形， ∴， ∴分别是半圆的切线， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴娱乐区的最大面积梯形的面积． 故选：C． 1.（23-24九年级·四川·期末）如图，直线分别与⊙相切于，且∥，连接，若，则梯形的面积等于（　 　） A．64 B．48 C．36 D．24 【答案】B 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】先根据切线长定理得出，然后利用面积求出OF的长度，即可得到圆的半径，最后利用梯形的面积公式 即可求出梯形的面积． 【详解】连接OF， ∵直线分别与⊙相切于， ∴ ． 在 和 中， ∴, ∴． 在 和 中， ∴， ∴． ∵ ， ． ∵， ． ， ∴ ， ， ∴梯形的面积为 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查切线的性质，切线长定理，梯形的面积公式，掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 2.（23-24九年级·山东威海·期末）如图，的内切圆分别与三边相切于点，点和点，若，，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】直接利用切线长定理得出，，，设，再结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系． 【详解】的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，， ，，， 设， 则 整理得，， 解得：，（不合题意舍去）， 则，    ， ， 故的面积为20， 故答案为20． 3.（23-24九年级·全国·单元测试）如图所示，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点． (1)求证：． (2)若以，，，四点为顶点的四边形是正方形，的半径为，求的面积． (3)若，，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求证、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据切线长定理可得再证明得出从而可证明； （2）连接，由四边形是正方形可得，进而得出和，运用三角形面积公式可得出结论； （3）连接，证明得出代入数据求出，再由勾股定理求出的长即可得出圆的半径 【详解】（1）证明：如图所示，连接． ∵是直径, ∴ ∴ ，都是的切线， ， ； 又，， ， ． ． （2）如图，连接． 当以，，，四点为顶点的四边形是正方形时，, ∴； ∵ ∴， ∴ ∵ ． （3）若，则 ∵ ∴ ∴，即 ∵ ， ∴， 在中，, ∴， ∴ 【点睛】本题考查了圆的切线性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 【经典例题七 利用切线长定理求角度】 【例7】（23-24九年级·湖北武汉·期末）四边形是的外切四边形，若，则的度数是（ ）． A．95 B．100 C．102 D．120 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理及其推论．令四边形与分别相切于点E、F、G、H，连接，通过证明，即可求解． 【详解】解：令四边形与分别相切于点E、F、G、H， 连接， ∵是的外切四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：C． 1.（23-24九年级·四川广安·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则等于（ ） A．40 B．55 C．65 D．70 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理．根据题意可得，，进而求得，根据等边对等角，即可求解． 【详解】解：，是的两条切线， ，， ， ， ， ． 故答案为：B． 2.（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，是的切线，是切点，分别交于，两点，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了切线的性质定理以及切线长定理，连接，由切线的性质可求出，再由切线长定理可得出，可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵分别为的切线， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， 故答案为：． 3.（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，A是外一点，分别与相切于点B，C．P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．， （1）则的周长是（2）若，则． 【答案】 /110度 【分析】本题考查切线的性质、切线长定理，圆周角定理，先利用勾股定理可计算出的长，再根据切线长定理得到得到的周长，由四边形的内角和得到的度数，然后利用圆周角定理计算是解题的关键． 【详解】解：连接，，, ∵分别与切于点B，C， ∴，，， 在中，， ∵与相切于P， ∴， ∴的周长． ∵，， ∴， ∴， ∴优弧的度数为， ∴， 故答案为：，． 【经典例题八 利用切线长定理求内切圆半径】 【例8】（23-24九年级·江苏南通·期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键，首先利用切线的性质证明四边形是正方形，得到，再利用切线长定理得到，，最后由列方程即可求解． 【详解】设的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， ，， ，， 在中，， ， ， 解得 ． 故答案为：A． 1.（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，在四边形中，分别与相切于B、E、A三点，为的直径．若，则的半径为（ ）．    A．1 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质，根据切线的性质把图形分割为矩形和直角三角形是解题的关键． 过D作于F，由切线的性质得四边形是矩形，则；由切线长定理可得的长，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵与， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵分别与相切， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的半径为．    故答案为：B 2.（23-24九年级·湖北荆门·期末）如图， 内切于正方形，边、上两点，，且是的切线，当的面积为时，则的半径是 ．    【答案】 【分析】设正方形的边长为，则，设，，则，，，利用勾股定理得出，再由，得出，从而求出，得到． 【详解】解：设与相切于，与相切于，与相切于， 设正方形的边长为， ， 设，， 在中， ，，， ， ， ， ， ， ， 的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，以及勾股定理等知识，熟记切线长定理是解决问题的关键． 3.（23-24九年级·河北邢台·期末）如图，将刻度尺、含角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），若三角板角的顶点A在刻度尺上的读数是，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是，量角器与三角板的接触点为B． （1） ． （2）该量角器的直径长为多少 ．（结果保留根号） 【答案】 2 【分析】本题考查了切线长定理，含30度角直角三角形的特征，勾股定理．根据题意得出和与量角器相切，则，，进而得出，即可解答． 【详解】解：令量角器与刻度尺接触点为点C，量角器圆心为点O， 根据题意可知，和与量角器相切， ∴，，， ∵A在刻度尺上的读数是，C在刻度尺上的读数是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴该量角器的直径长为， 故答案为：2，． 1．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， 同理，， 的周长， ， ． 故选：B 2．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 3．（2024·河北保定·一模）如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线，都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，，，，，则． 对上述结论描述正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 【答案】C 【分析】由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周角等于，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明，由此可得，进而可得，因此可判断④错误． 【详解】 由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，因此点A是的中点， 故①正确； ∵是的直径， ， ，， ∴直线，都是的切线， 故②正确； 直线，都是的切线，根据切线长定理，可知 ， 故③正确； ，，， ， ∴， ∴． ∵点A是的中点， ， 故④错误． 故选：C 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2022·浙江宁波·一模）如图，A是外一点，，分别与圆O相切于B，C，P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．若的半径为4，，则的周长为（　　）    A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】连接，证明，得到，从而求得的值，再利用切线的性质得到，则利用勾股定理计算的长，再根据切线长定理得到，，，然后利用等线段代换求得的周长． 【详解】解：连接， ∵、分别与切于点B、C， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵与相切于点P， ∴，， ∴ ， 故选：C．    【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线长定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线长定理和半径相等，得到是线段的中垂线，逐一进行判断即可． 【详解】解：连接，    则：， ∵是的两条切线， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴； ∴， 条件不足，无法得到， ∴； 综上，只有选项D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查切线长定理：从圆外一点，引圆的两条切线，则该点到两个切点间的距离相等． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，分别与相切于点，交于点．若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】连接，过点O作于点F．由切线长定理可知，证明四边形为矩形得，由垂径定理得，设，则，在和中，由勾股定理可求出，在中，，进而可求出的半径． 【详解】解：连接，过点O作于点F． 与相切于点， ， ， ∴四边形为矩形， ， ∵ ． ， 设，则， 在和中， ， ， ． 在中，， ∴， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，都是的切线，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了切线长定理， 根据切线长定理，可得，得到，由此即可解决问题． 【详解】解：∵都是的切线， ∴可以假设切点分别为E、H、G、F， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6 8．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．根据切线长定理，可得，，，，则，据此即可求解． 【详解】解：如图，设与相切于点G，与相切于点H，与相切于点I，与相切于点F， 、、、都和相切， ，，，． ， ． 故答案为：7． 9．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 10．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，上的点，连接， 交于点G，且，连接并延长交于点 H，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，圆的性质以及切线长定理，根据题意画出辅助圆是解题的关键．证明得到，即可得到点在以为直径的圆上，与相切时，最大，由勾股定理求出的最大值为，即可得到答案． 【详解】解：正方形， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上， 与相切时，最大， 此时， 设，则， 在中，， ， 解得， 的最大值为，故的最小值为． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为的直径，与切于点，连接，交于点， ． (1)如图，求的正切值； (2)如图，弦，连接，求证：为的切线； (3)如图，在（）的条件下，点在弧上，连接，，，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)长为. 【分析】（）设的半径是，由，则，，再由切线的性质得，通过勾股定理可得，最后由正切的定义即可求解； （）连接，证明，再根据全等三角形的性质即可求证； （）由切线长定理得，则可求出的半径为，，作于，则， 由三角函数得，则，连接交于，连接，由，，可得垂直平分，得是的中位线，设，则，，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）设的半径是， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴； （2）如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （3）∵是的切线， ∴， 由（）知， ∴， ∴的半径为，， 如图，作于， 则， 在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接交于，连接， 由，，可得垂直平分， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵是的直径， ∴ ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ∴， ， ， ∴ 即长为. 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，垂径定理，切线的判定与性质，垂径定理，中位线性质定理，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点是外一点，分别与相切于点． (1)如图①，若，则______； (2)如图②，连接，若，则______°； (3)如图③，点是优弧上一点，连接，若，则______°． 【答案】(1)1 (2)56 (3)60 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线． （1）根据切线长定理即可解答； （2）根据切线的性质得出，进而得出，即可解答； （3）连接，根据切线的性质得出，进而得出为等边三角形，推出，根据三角形的内角和定理和圆周角定理即可解答． 【详解】（1）解：∵分别与相切于点，， ∴， 故答案为：1． （2）解：是的切线， ， ， ， ， ． 故答案为：56． （3）解：连接，如图， 是的切线， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：60． 13．（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）（1）如图，，，分别与相切于点，，，猜想的周长与切线长的数量关系，并证明你的结论； （2）如果（1）的条件不变，且，的周长为，求的半径． 【答案】（1）的周长，详见解析；（2） 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟记切线的性质是解题的关键． （1）根据切线的性质分别得出，，，即可推出结论； （2）根据（1）的结论得出的长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）的周长， 证明：，分别与相切于点，， ， 与均为的切线， ， 同理得到， 的周长； （2）是的切线， ， ， 的周长为， ， 的半径为． 14．（23-24九年级下·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据切线长定理得到，．根据等腰三角形的性质和中位线定理即可得到结论； （2）根据题意得出为等边三角形，得出，得出，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）∵，点是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 15．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C． (1)求证∶． (2)若，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，由,证明，，进而得证； （2）连接，连接，证明，得到，由为的切线得到，，证明，得到，则，得到，又由，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是直径， ∴ 即 ∵为的切线， ∴， 即． ∴， ∵ ∴， ∴． （2）连接，连接，如图， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴ ∵为的切线， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了切线的性质、切线长定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，添加适当的辅助线是证明的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$