第十一章三角形 双角平分线的夹角模型（三）一内一外角平分线夹角2024-2025学年人教版数学八年级上册

第11章 三角形 双角平分线的夹角模型（三）一内一外角平分线夹角 【模型介绍】 如图,BP平分∠ABC,CP平分△ABC的外角∠ACD,则∠P=∠A. 【题型剖析】 1．（23-24八年级·内蒙古乌海·期中）如图，在中，，的角平分线和的外角平分线相交于点D，交于点P，交的延长线于点F，过点D作，交的延长线于点G，交的延长线于点E，连接并延长交于点H，则下列结论①②③④  ⑤ ，其中正确的有（  ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 2．（23-24八年级·重庆巴南·阶段练习）如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则 度．    3．（23-24八年级·福建厦门·期中）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交点，若∠BOC＝120°，则∠D＝ ；∠E＝ ． 4．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC=130°，∠E=50°，则∠BAC的度数为 5．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数 6．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，分别是中的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？ 7．（23-24八年级·重庆·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB的度数． 8．（2024八年级·全国·专题练习）如图，在和中，，点在斜边上，与交于点，点是的内角平分线的交点，点是延长线上一点，与的平分线交于点.探究与的数量关系，并说明理由. 9．（23-24八年级·陕西宝鸡·阶段练习）如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． (1)探究：线段与的数量有关系，并加以证明； (2)若，，求的长． 10．（23-24八年级·江苏南通·期末）在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形． （1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为　 　倍角三角形； （2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为　 　． （3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数． 11．（23-24八年级·广东汕头·阶段练习）马明学习了“三角形”这一章后，他给班里的同学出了一道题目：如图①，点是一个内角平分线与一个外角平分线的交点，我们得到一个结论：，应用这个结论解与之相关的题目时很简便．若把截去，得到四边形，如图②．问、、之间有什么样的关系？并说明理由．    12．（23-24八年级·浙江·期末）（1）如图1所示，在中，和的平分线将于点O，则有，请说明理由． （2）如图2所示，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与之间的关系，不必说明理由． （3）如图3所示，AP，BP分别平分，，则有，请说明理由． （4）如图4所示，AP，BP分别平分，，请直接写出与，之间的关系，不必说明理由． 13．（23-24八年级·江苏连云港·期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有．请补齐下方的说理过程． 理由如下：因为， 又因为在中，， 所以． 所以______．（理由是：等式性质） 同理可得：______． 又因为和分别是和的角平分线， 所以，______． 所以． 即（）． 所以． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于、，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状． ①已知，，求的度数； ②直接写出与的关系． 14．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）(1)如图，小明画了一个角∠MON＝80°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC和BD交于点P，小明通过测量，发现不论怎样变换点A、B的位置，∠APB的度数不发生改变，一直都是130°，请你解释其中的原因． （2）小明想明白后，又开始考虑下图中的问题：△AOB的内角平分线AC和外角平分线BD所构成的∠C是不是也与∠AOB有特数的关系呢？如果∠AOB＝n°，那么∠C是多少度呢？请说明理由． 15．（23-24八年级·江苏盐城·期中）【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下． 在中，． （1）设、的平分线交于点O，求的度数； （2）设的外角、的平分线交于点，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？ 【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案： 如图1，在中，． (1) 、的平分线交于点O，则的度数为________； (2)的外角、的平分线交于点，则的度数为________； (3)与的数量关系是_________． (4)【问题深入】 如图2，在中，、的角平分线交于点O，将沿折叠使得点A与点O重合，请直接写出与的一个等量关系式： (5)如图3，过的外角、的平分线的交点，作直线交于点P，交于点Q．当时，与有怎样的数量关系？请直接写出结果． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形 双角平分线的夹角模型（三）一内一外角平分线夹角 【模型介绍】 如图,BP平分∠ABC,CP平分△ABC的外角∠ACD,则∠P=∠A. 【题型剖析】 1．（23-24八年级·内蒙古乌海·期中）如图，在中，，的角平分线和的外角平分线相交于点D，交于点P，交的延长线于点F，过点D作，交的延长线于点G，交的延长线于点E，连接并延长交于点H，则下列结论①②③④  ⑤ ，其中正确的有（  ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，作出辅助线，构造出全等三角形． ①利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可； ②③延长与交于点，利用全等三角形的判定与性质求解即可； ④在上截取，利用垂直平分线的性质以及全等三角形的性质，求解即可； ⑤判断、、都是等腰直角三角形，求解即可． 【详解】解：设，，     ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：， ∴①正确； 延长与交于点，如下图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴②正确； 同理可得：， ∴，③正确； 在上截取，则是的垂直平分线，如下图： ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴④正确； ∵，， ∴、、都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴，⑤错误； 故选：B． 2．（23-24八年级·重庆巴南·阶段练习）如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则 度．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义，由平分，平分得，，进而推断出．同理可得，从而解决此题． 【详解】解：平分，平分， ，， 又， ． 同理可证：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质以及三角形外角的性质是解决本题的关键． 3．（23-24八年级·福建厦门·期中）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交点，若∠BOC＝120°，则∠D＝ ；∠E＝ ． 【答案】 30°； 60°． 【分析】根据角平分线的定义、三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】 ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°， ∴2∠OCB+2∠OBC+∠A＝180°， ∴∠OCB+∠OBC＝90°﹣∠A， ∵∠OCB+∠OBC+∠BOC＝180°， ∴90°﹣∠A+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝90°+∠A， 而∠BOC＝120°， ∴∠A＝60°， ∵∠DCF＝∠D+∠DBC，∠ACF＝∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF， ∴∠ACF＝2∠DCF，∠ABC＝2∠DBC， ∴2∠D+2∠DBC＝∠ABC+∠A， ∴2∠D＝∠A，即∠D＝∠A． ∵∠A＝60°， ∴∠D＝30°， ∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，E是外角平分线交点， ∴∠OBE＝∠OCE＝90°， ∴∠E＝180°﹣(∠OBE+∠D)= 180°﹣120°＝60°， 故答案为30°；60°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和以及三角形的外角,角平分线的性质，掌握三角形的内角和是解题的关键 4．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC=130°，∠E=50°，则∠BAC的度数为 【答案】120°． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及CE是外角的平分线列式求出∠B的度数，再根据BD为内角平分线求出∠ABD的度数，然后利用三角形的外角性质即可求出∠BAC的度数． 【详解】根据三角形的外角性质，∠DBC+∠BDC=2（∠ABC+∠E）， ∵BD为内角平分线， ∴∠DBC=∠ABD， ∴∠ABC+130°=2（∠ABC+50°）， 解得：∠ABC=20°， ∴∠ABD=×20°=10°， 在△ABD中，∠BDC=∠ABD+∠BAC， 即130°=10°+∠BAC， 解得∠BAC=120°． 故答案为120°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理与三角形的外角性质，角平分线的定义，根据外角平分线求出∠ABC的度数是解题的关键，也是解答本题的突破口，有一定的技巧． 5．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数 【答案】40° 【分析】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可． 【详解】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y， 则有 ， ①-2×②可得∠A=2∠E， ∴∠E=∠A=40°． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 6．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，分别是中的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？ 【答案】 【分析】 根据角平分线的定义和邻补角的定义可得，从而得到． 【详解】 解：，理由如下： ∵、分别是中的内角平分线和外角平分线， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，也考查了邻补角的定义以及垂直的定义． 7．（23-24八年级·重庆·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB的度数． 【答案】80° 【详解】试题分析：根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案． 试题解析：解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD=x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PN， ∴PF=PM， ∵∠BPC=40°， ∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°， 考点：角平分线的性质，直角三角形全等的判定 8．（2024八年级·全国·专题练习）如图，在和中，，点在斜边上，与交于点，点是的内角平分线的交点，点是延长线上一点，与的平分线交于点.探究与的数量关系，并说明理由. 【答案】，见解析. 【分析】由三角形内角平分线得交角得，由三角形内外角平分线得交角得，.再根据，可证，等量代换即可得出与的数量关系. 【详解】解：，理由如下： ∵， 又∵点是的内角平分线的交点， ∴， ∴, ∵,, 又∵与的平分线交于点， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵,, ∴, 即. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及其推论.灵活应用三角形内角和及其推论是解题的关键. 9．（23-24八年级·陕西宝鸡·阶段练习）如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． (1)探究：线段与的数量有关系，并加以证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)，证明见解析； (2)． 【分析】（）由平分得到，由得到，进而得到，，同理可得，即可得到； （）由平分，平分可得，利用勾股定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定、勾股定理，掌握这些定理是解题的关键． 【详解】（1）解：． 证明如下：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24八年级·江苏南通·期末）在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形． （1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为　 　倍角三角形； （2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为　 　． （3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数． 【答案】（1）2；（2）22.5°＜α＜30°；（3）45°或36° 【分析】（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案， （2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答， （3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可． 【详解】解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°， ∴∠A＝2∠C， ∴△ABC为2倍角三角形， 故答案为：2； （2）∵最小内角为α， ∴3倍角为3α， 由题意可得： 3α＜90°，且180°﹣4α＜90°， ∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°． 故答案为22.5°＜α＜30°． （3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠AOG， ∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG， ∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°， ∵△EAF是4倍角三角形， ∴∠E＝×90°或×90°， ∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ， ∴∠E＝∠ABO， ∴∠ABO＝2∠E， ∴∠ABO＝45°或36°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解题的基础和关键． 11．（23-24八年级·广东汕头·阶段练习）马明学习了“三角形”这一章后，他给班里的同学出了一道题目：如图①，点是一个内角平分线与一个外角平分线的交点，我们得到一个结论：，应用这个结论解与之相关的题目时很简便．若把截去，得到四边形，如图②．问、、之间有什么样的关系？并说明理由．    【答案】，理由见解析 【分析】延长、交于点，根据三角形内角和定理以及四边形内角和定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：，理由： 如图，延长、交于点，    ∵， ∴． 由题意知：， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及四边形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理以及四边形内角和定理是解题的关键． 12．（23-24八年级·浙江·期末）（1）如图1所示，在中，和的平分线将于点O，则有，请说明理由． （2）如图2所示，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与之间的关系，不必说明理由． （3）如图3所示，AP，BP分别平分，，则有，请说明理由． （4）如图4所示，AP，BP分别平分，，请直接写出与，之间的关系，不必说明理由． 【答案】(1)理由见解析；(2) ∠BAC=2∠BOC；(3) 理由见解析；(4) 【分析】(1)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果； (2)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果； (3)根据AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出结果； (4) AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果． 【详解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线 ∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴∠OCB+∠OBC= ∴∠BOC= (2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线 ∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD ∵∠BAC +∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC =∠OCD ∴2∠OBC+2∠BOC =2∠OCD ∴∠ABC+2∠BOC =∠ACD ∴∠BAC=2∠BOC (3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线 ∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC ∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C ∴∠D-∠P=∠P-∠C ∴ (4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线 ∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC 设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y ∴∠AGB=∠C+2x ∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y ∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y ∵∠D+∠AEG=∠MAP ∴∠D+180°-（∠C+2x）-y=y ∴x+y= ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键． 13．（23-24八年级·江苏连云港·期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有．请补齐下方的说理过程． 理由如下：因为， 又因为在中，， 所以． 所以______．（理由是：等式性质） 同理可得：______． 又因为和分别是和的角平分线， 所以，______． 所以． 即（）． 所以． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于、，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状． ①已知，，求的度数； ②直接写出与的关系． 【答案】（1）ECB，ACB，ECB；（2）70°；（3）①205°；②=（）+90° 【分析】（1）根据三角形外角的性质以及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推出∠AEC=∠ABC=20°，再推出∠EAC+∠FAC==90°，进而即可求解； （3）①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，可得∠N=∠M，进而即可求解；②根据∠N=∠M，结合平角的意义以及三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】解：（1）因为， 又因为在中，， 所以． 所以ECB．（理由是：等式性质） 同理可得：_ACB_． 又因为和分别是和的角平分线， 所以，__ECB____． 所以． 即（）． 所以． 故答案是：ECB，ACB，ECB； （2）∵， ∴∠AEC=∠ABC=20°， ∵、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于、， ∴∠EAC+∠FAC=∠ABC+ =(∠ABC+)=×180°=90°， ∴∠F=180°-90°-20°=70°； （3）①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N， ∵BF，CE平分∠ABG、∠DCB， ∴∠N=∠M， ∵，， ∴∠M=180°-（180°-150°）-（180°-80°）=50°， ∴∠N=25°， ∴=360°-（180°-25°）=205°； ②∵=360°-（180°-∠N）=180°+∠N，+=180°+∠M， 又∵∠N=∠M， ∴-180°=（+-180°）， 即：=（）+90°． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题的关键． 14．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）(1)如图，小明画了一个角∠MON＝80°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC和BD交于点P，小明通过测量，发现不论怎样变换点A、B的位置，∠APB的度数不发生改变，一直都是130°，请你解释其中的原因． （2）小明想明白后，又开始考虑下图中的问题：△AOB的内角平分线AC和外角平分线BD所构成的∠C是不是也与∠AOB有特数的关系呢？如果∠AOB＝n°，那么∠C是多少度呢？请说明理由． 【答案】1）利用角平分线和内角和定理证明（2）∠C是 【详解】试题分析：（1）解：∵在△AOB中，∠MON=80°， ∴∠OAB+∠OBA=100°， 又∵AC、BD为角平分线， ∴∠PAB+∠PBA=∠OAB+∠OBA=×100°=50°， ∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=130°， 即随着点A、B位置的变化，∠APB的大小始终不变，为130° （2）解：由题意，不妨令∠OAC=∠CAB=x，∠ABD=∠BDY=y， ∵∠ABY是△AOB的外角， ∴2y=n+2x， 同理，∠ABD是△ABC的外角，有y=∠C+x， 于是，显然有∠C= 考点：三角形的内角和定理及三角形外角的性质 点评：本题难度较大，主要考查学生三角形的内角和定理及三角形外角的性质知识点的掌握，解答此题的关键是熟知以下知识：①三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；②三角形的内角和是180°．注意数形结合应用． 15．（23-24八年级·江苏盐城·期中）【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下． 在中，． （1）设、的平分线交于点O，求的度数； （2）设的外角、的平分线交于点，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？ 【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案： 如图1，在中，． (1) 、的平分线交于点O，则的度数为________； (2)的外角、的平分线交于点，则的度数为________； (3)与的数量关系是_________． (4)【问题深入】 如图2，在中，、的角平分线交于点O，将沿折叠使得点A与点O重合，请直接写出与的一个等量关系式： (5)如图3，过的外角、的平分线的交点，作直线交于点P，交于点Q．当时，与有怎样的数量关系？请直接写出结果． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【分析】（1）由三角形内角和定理得到，，再根据角平分线的定义，推出，即可求出的度数； （2）根据三角形外角的定义，推出，再根据角平分线的定义，推出，然后利用三角形内角和定理即可求出的度数； （3）根据（1）和（2）的结果即可得到答案； （4）由折叠的性质可知，，，得到，，再根据三角形内角和定理，推出，由（1）同理可证，据此即可得到答案； （5）根据多边形内角和与角平分线的定义，推出，再根据三角形外角的性质，得到，最后根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：由（1）和（2）可知，，， ， 故答案为： （4）解：，理由如下： 由折叠的性质可知，，， ，， ， ， 由（1）同理可证，， ， ； （5）解：四边形的内角和为， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，多边形内角和，根据图形找出角度之间的数量关系是解题关键． 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