第十一章三角形 双角平分线的夹角模型（二）双外角平分线夹角2024-2025学年人教版数学八年级上册

第11章 三角形 双角平分线的夹角模型（二）双外角平分线夹角 【模型介绍】 模型介绍:如图,BP平分∠DBC,CP平分∠ECB,则∠P=90°-∠A. 【题型剖析】 1．（23-24八年级·广西钦州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ） A．90°-m B．90°-m C．180°-m D．80°-m 2．（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）如图，的外角平分线，相交于点，若，则 ． 3．（23-24八年级·山东东营·期中）如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律： （1）若∠A＝60°，则∠P＝　 　°； （2）若∠A＝40°，则∠P＝　 　°； （3）若∠A＝100°，则∠P＝　 　°； （4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系　 　． 4．（2024八年级·全国·专题练习）如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则 ． 5．（23-24八年级·湖北黄冈·阶段练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ． 6．（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F= ． 7．（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知，若线段的垂直平分线与线段交于点P，线段的垂直平分线与线段交于点Q，的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点M，连接，请探究与的数量关系 ． 8．（23-24八年级·湖北荆门·阶段练习）如图，点M是两个内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，如果，那么 度． 9．（23-24八年级·全国·单元测试）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数. 10．（23-24八年级·全国·单元测试）如图，已知射线射线，、分别为、上一动点，、的平分线交于点.问、分别在、上运动的过程中，的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由. 11．（2024八年级·全国·专题练习）如图，点是的外角和的角平分线交点，延长交于，请写出和的数量关系. 12．（23-24八年级·天津南开·阶段练习）如图，分别是的外角平分线． (1)若，则______． (2)若，则______． (3)试探索与之间的数量关系． 13．（23-24八年级·江苏苏州·期末）⑴如图①，在△ABC中， P是△ABC内任意一点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？证明你的结论． ⑵①如图②，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的角平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．②已知∠A=n°，求∠BOC的度数． 14．（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图②，分别平分，若，求的度数． （3）如图③，直线平分的外角平分的外角，若，则________用的代数式表示） 15．（23-24八年级·广东中山·期中）已知，在四边形ABCD中，．       （1）求证：． （2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明． （3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明． 16．（2024八年级·全国·专题练习）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点    （1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP； （2）如图（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论； （3）在（1）的条件下，当∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形 双角平分线的夹角模型（二）双外角平分线夹角 【模型介绍】 模型介绍:如图,BP平分∠DBC,CP平分∠ECB,则∠P=90°-∠A. 【题型剖析】 1．（23-24八年级·广西钦州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ） A．90°-m B．90°-m C．180°-m D．80°-m 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和，可得∠ABC+∠ACB，根据角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根据角平分线的定义，可得∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和，可得答案． 【详解】解：如图： ， 由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m， 由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m， 由∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，得 ∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠BCE）=90°+m， 由三角形的内角和，得 ∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-m． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，角的和差，角平分线的定义是解题关键． 2．（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）如图，的外角平分线，相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据直角三角形的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算即可，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，分别为，的平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级·山东东营·期中）如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律： （1）若∠A＝60°，则∠P＝　 　°； （2）若∠A＝40°，则∠P＝　 　°； （3）若∠A＝100°，则∠P＝　 　°； （4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系　 　． 【答案】（1）65；（2）45；（3）40； （4）∠P=90°-∠A 【分析】（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数； （2）、（3）和（1）的解题步骤类似． 【详解】解：（1）∵∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°， ∴∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°， ∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）∵∠A=40°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°， ∴∠DBC+∠BCE=360°-140°=220°， ∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线， ∴，， ∴， ∴； （3）∵∠A=100°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°， ∴∠DBC+∠BCE=360°-80°=280°， ∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线， ∴，， ∴， ∴； （4）∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∴， ∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：∠P=90°-∠A． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义． 4．（2024八年级·全国·专题练习）如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则 ． 【答案】105° 【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD＋∠CDE的度数，从而求出∠PCD＋∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数． 【详解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°， ∴∠BCD＋∠CDE＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°， ∴∠PCD＋∠PDC＝（180°×2−210°）＝75°， 在△CPD中，∠CPD＝180°−（∠PCD＋∠PDC）＝180°−75°＝105°， 故答案为：105°． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD＋∠CDE的度数是解题的关键． 5．（23-24八年级·湖北黄冈·阶段练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ． 【答案】36° 【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果． 【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°， ∴∠CMB+∠CNB=180°， 又∠CMB：∠CNB=3：2， ∴∠CMB=108°， ∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°， ∴∠ACB+∠ABC=144°， ∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键． 6．（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F= ． 【答案】15°/15度 【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E． 【详解】解：如图： ∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°， ∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°， ∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB， ∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°， ∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°， ∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ， ∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4， ∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E， 即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E， ∴2∠F=∠E， ∴∠F=∠E=×30°=15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形内角和是180°． 7．（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知，若线段的垂直平分线与线段交于点P，线段的垂直平分线与线段交于点Q，的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点M，连接，请探究与的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质可得，，再由坐标证明，得到，然后设，表示出与的度数，最后求解即可． 【详解】如图： 过作于， ∵， ∴， ∴横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴线段的垂直平分线与线段交于点，， ∵线段的垂直平分线与线段交于点P， ∴点P与点是同一个点， ∵线段的垂直平分线与线段交于点Q， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点M， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级·湖北荆门·阶段练习）如图，点M是两个内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，如果，那么 度． 【答案】60 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、四边形的内角和，熟练掌握角平分线的应用是解题关键．先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，再根据四边形的内角和可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：点是两个内角平分线的交点， ， ， ， 点是两外角平分线的交点， ，， ，，即， ， ， 又， ， ， 解得， 故答案为：60． 9．（23-24八年级·全国·单元测试）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数. 【答案】 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系． 【详解】解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G， 在中， ∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF） =180°-（∠EBC+∠BCF） =180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB） =180°-（180°-m°+180°-n°）； = 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出． 10．（23-24八年级·全国·单元测试）如图，已知射线射线，、分别为、上一动点，、的平分线交于点.问、分别在、上运动的过程中，的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由. 【答案】不变，. 【分析】根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质可以得到∠C=90°-∠O． 【详解】解：∠C的度数不会改变． ∵∠ABE、∠BAF的平分线交于C， ∴∠CAB=∠FAB  ∠CBA=∠EBA ∴∠C=180°-（∠CAB +∠CBA） =180°-（∠ABE+∠BAF） =180°-（∠O+∠OAB+∠BAF） =180°-（∠O+180°） =90°-∠O=45°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 11．（2024八年级·全国·专题练习）如图，点是的外角和的角平分线交点，延长交于，请写出和的数量关系. 【答案】 【分析】先根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可用含的式子表示出和的和，再利用三角形外角的性质即可得到和的数量关系. 【详解】解：∵, ∴, ∵点是的外角和的角平分线交点， ∴+＝， 又∵＝+， ∴. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角和的性质及角平分线的性质.熟练应用三角形外角的性质是解题的关键. 12．（23-24八年级·天津南开·阶段练习）如图，分别是的外角平分线． (1)若，则______． (2)若，则______． (3)试探索与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）先由三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，，则由角平分线的定义可得，据此根据三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形外角的性质和角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，据此可推出，再代值计算即可； （3）根据（2）所求可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵分别是的外角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，分别是的外角平分线， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：由（2）可知． 13．（23-24八年级·江苏苏州·期末）⑴如图①，在△ABC中， P是△ABC内任意一点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？证明你的结论． ⑵①如图②，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的角平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．②已知∠A=n°，求∠BOC的度数． 【答案】（1）∠BPC＞∠BAC；证明见解析；（2）①70°；②90°-n°. 【详解】试题分析：（1）连接AP并延长到M，根据三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角可分别判断出∠BPM＞∠BAM，∠CPM＞∠CAM，从而得到∠BPC与∠A的大小关系； （2）①利用角平分线的性质和三角形内角和是180度以及外角的性质求算即可；②同①的求算方法相似，直接把∠A=n°代入即可表示． 试题解析：（1）∠BPC＞∠BAC． 连接AP并延长到M． ∵在△ABP中，∠BPM＞∠BAM， 在△ACP中，∠CPM＞∠CAM， ∴∠BPM+∠CPM＞∠BAM+∠CAM， ∴∠BPC＞∠BAC； （2）解：①∵∠A=40°， ∴∠ABC+∠ACB=140°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠ECB）=（360°-140°）=110°， ∴∠BOC=180°-110°=70°； ②由①可知∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-[（360°-（180°-∠A）] 即∠BOC=90°-n°. 【点睛】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理． 14．（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图②，分别平分，若，求的度数． （3）如图③，直线平分的外角平分的外角，若，则________用的代数式表示） 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证； （2）设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； （3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解． 【详解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜， ∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD． ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A+∠B=∠C+∠D； （2）∵分别平分， 设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y， 则有， ∴∠ABC-∠P=∠P-∠ADC， ∴； （3）如图，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠PAD=180°-∠2=180°-∠1，∠PCD=180°-∠3， ∵∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3）， ∠P+∠1=∠ABC+∠4， ∴2∠P=∠ABC+∠ADC， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． 15．（23-24八年级·广东中山·期中）已知，在四边形ABCD中，．       （1）求证：． （2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明． （3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明． 【答案】（1）证明见详解；（2）DE⊥BF，证明见详解；（3）DE∥BF，证明见详解 【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解； （2）如图1，延长DE交BF于G，易证∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF； （3）如图2，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF． 【详解】（1）证明：∵∠A=∠C=90°， ∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°； （2）DE⊥BF 延长DE交BF于点G ∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90° ∴∠ABC+∠ADC=180° ∵∠ABC+∠MBC=180° ∴∠ADC=∠MBC ∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC ∴∠EDC= ∠ADC，∠EBG= ∠MBC ∴∠EDC=∠EBG ∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG ∴∠EGB=∠C=90° ∴DE⊥BF （3）DE∥BF 连接BD ∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC ∴∠EDC= ∠NDC，∠FBC= ∠MBC ∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC ∴∠MBC+∠NDC=180° ∴∠EDC+∠FBC=90° ∵∠C=90° ∴∠CDB+∠CBD=90° ∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180° ∴DE∥BF． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握辅助线的作法是解题的关键． 16．（2024八年级·全国·专题练习）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点    （1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP； （2）如图（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论； （3）在（1）的条件下，当∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）∠E+∠F＝108°，证明见解析；（3）不变，是定值，值为15° 【分析】（1）依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到∠P＝180°﹣90°＝90°，进而得到AP⊥CP； （2）过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，依据平行线的性质即可得到∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，再根据∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，即可得到∠E＋∠F＝108°； （3）过Q作QE∥AB，依据平行线的性质可得∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，依据∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，即可得出∠AQC＝30°，再根据∠M＝∠MQH﹣∠K进行计算，即可得出∠QMK的大小不变，是定值15°． 【详解】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAC＋∠ACD＝180°， 又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD， ∴∠CAP∠CAB，∠ACP∠ACD， ∴∠CAP＋∠ACP（∠BAC＋∠ACD） 180° ＝90°， ∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°， 即AP⊥CP； （2）∠E＋∠F＝108°． 证明：如图2，过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，    ∵AB∥CD， ∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC＋∠DCA＝180°， ∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH， ∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF， ∵∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP， ∴∠BAE∠BAC，∠DCF∠DCA， ∴∠AEC∠BAC∠ACD，∠AFC∠BAC∠DCA， ∴∠AEC＋∠AFC∠BAC∠ACD∠BAC∠DCA ∠ACD∠BAC （∠BAC＋∠DCA） 180° ＝108°； （3）如图，过Q作QE∥AB，    ∵AB∥CD， QE∥CD， ∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE， ∴∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ， 由（1）可得∠BAP＋∠DCP＝180°﹣90°＝90°， 又∵∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP， ∴∠AQC＝∠BAQ＋∠DCQ ∠BAP∠DCP （∠BAP＋∠DCP） ＝30°， ∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK， ∴∠K∠AQH， ∵QM是∠CQH的平分线， ∴∠MQH∠CQH， ∵∠MQH是△MQK的外角， ∴∠M＝∠MQH﹣∠K ∠CQH∠AQH （∠CQH﹣∠AQH） ∠AQC 30° ＝15°， 即∠QMK的大小不变，是定值15°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角性质以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是过拐点作平行线． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$