专题01 平面直角坐标系重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 平面直角坐标系重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 用有序数对表示位置 题型二 用有序数对表示路线 题型三 写出直角坐标系中点的坐标 题型四 求点到坐标轴的距离 题型五 判断点所在的象限 题型六 已知点所在的象限求参数 题型七 坐标系中描点 题型八 坐标与图形 题型九 点坐标规律探索 题型十 实际问题中用坐标表示位置 题型十一 用方向角和距离确定物体的位置 题型十二 根据方位描述确定物体的位置 题型十三 求矩形在坐标系中的坐标 知识点一：平面直角坐标系中一些特殊点的坐标特点及应用 1、平面直角坐标系 在平面内，两条具有公共原点、并且互相垂直的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做x轴或横轴，向右方向为正方向，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，向上方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。如图所示。 2、象限 平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个部分，这两条数轴的正方向的夹角部分叫做第_一_象限，其它三个直角逆时针依次叫做第二、三、四象限，坐标轴不属任何象限。 在平面直角坐标系中，第一象限的横坐标与纵坐标都是正数，简单记作（+，+），那么第二象限的坐标特征是（-，+） ，第三象限是（-，-） ，第四象限是（+，-） 。 3、点的坐标： 用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标，表示方法为（a,b）.其中，a是过该点向横轴作垂线，垂足所对应的横轴上的数值。b是过该点向纵轴作垂线，垂足所对应的纵轴上的数值。 例如：上图中点A的坐标为（3，4） 点拨：横轴（x轴）上点的坐标特征是（x，0）；纵轴（y轴）上的点的坐标特征是（0，y）。 【考点解读】在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置，反之，任意一个点的位置都可以用一对有序实数来表示，这样的有序实数对叫作点的坐标.在平面直角坐标系中，一些特殊点的坐标特点如下: 点所在的象限或坐标 第一象限 第一象限 第一象限 第一象限 原点 X轴 Y轴 点的横坐标 + - - + 0 任意实数 0 点的纵坐标 + + - - 0 0 任意实数 知识点二：根据坐标描出点的位置 【考点解读】对于平面内任意一点，都有唯一的有序实数对和它相对应;对于任意一个有序实数对，在坐标平面内都有唯一的一点和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对一一对应，所以我们可根据坐标描出点的位置. 1、点的对称 设点A坐标为（x，y），点A关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），点A关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），点A关于原点对称的点的坐标为（-x，-y） 2、点的距离 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（a，c），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（d，b），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），则线段AB的长为 【经典例题一 用有序数对表示位置】 【例1】（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则252表示的有序数对是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17… 第二行 2 3 6 15 第三行 9 8 7 14 第四行 10 11 12 13 第五行 … … 表中数2在第二行、第一列，与有序数对对应；数5与对应；数14与对应；根据这一规律，数2013对应的有序数对为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东广州·期末）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______； (2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置； (3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示． 【经典例题二 用有序数对表示路线】 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图所示，小亮从学校到家所走最短路线是(     )    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作 ；有序数对表示 ． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读与理解： 如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 例如：从A到B记为：， 从D到C记为：．    思考与应用： (1)图中（ ， ）； （ ， ）； （ ， ）． (2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程． 【经典例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例3】（23-24七年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，轴，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 1．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期中）已知点为第四象限内一点，且P到x轴的距离为5，．则的值为（    ） A．3 B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南信阳·期末）在平面直角坐标系中，点A是x轴上一点，点B在x轴下方，线段，若轴，则点B的坐标是 ． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上． (2)点的纵坐标比横坐标大3． (3)点在过点且与轴平行的直线上． 【经典例题四 求点到坐标轴的距离】 【例4】（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知点，，下列结论错误的是（　　） A．点P在第四象限 B．点P到x轴的距离为2 C． D．轴 1．（23-24七年级下·四川德阳·期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，已知平行于轴且，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在轴的上侧，在轴的左侧，距离每个坐标轴都是个单位，则点的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为____________； (2)若点是“完美点”，求的值． 【经典例题五 判断点所在的象限】 【例5】（2024·山东临沂·模拟预测）已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·重庆万州·期中）已知m、n是实数，且，那么点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 2．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）（1）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是 ． （2）若点在第二象限，则点在第 象限． （3）若点，在第四象限，则的取值范围是 ． （4）已知点点的横坐标比纵坐标大3，则的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，在平面直角坐标系中有一点 (1)若点在第一象限的角平分线上，则_______；若点在第四象限的角平分线上，则_______； (2)若点在第二象限，则的取值范围是_______； (3)点不可能在第______象限； (4)将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点，若点的横，纵坐标互为相反数，则______． 【经典例题六 已知点所在的象限求参数】 【例6】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（23-24七年级下·天津·期末）在直角坐标系中，点在第四象限，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·贵州六盘水·期末）已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在轴上．求出点P的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P到轴、轴的距离相等且点P在第一或第二象限，求出点P的坐标． 【经典例题七 坐标系中描点】 【例7】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．点到轴的距离是3 B．在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点 C．若，则点在轴上 D．在平面直角坐标系中，第三象限内的点的横坐标与纵坐标异号 1．（23-24八年级上·河北保定·期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，以点O(0,0)，与C为顶点，构造平行四边形，点C的坐标为 ． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）（1）画平面直角坐标系中，并描出下列各点：，，，； （2）连接，，，，求四边形的面积． 【经典例题八 坐标与图形】 【例8】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）建立如图所示的直角坐标系，已知中，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段经过原点于点D．若，则线段的长为 ．    3．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿若的路线移动．    (1)点B的坐标为________； (2)当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 【经典例题九 点坐标规律探索】 【例9】（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……按照这样的运动规律，第2023个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右向上向右向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到第次移动到．则的面积是 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在直角坐标系中，有一点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至乃处，，如此继续运动下去，设    (1)依次写出、、、、、的坐标：______． (2)计算的值，直接写出的值； (3)当时，写出的特征，直接写出的坐标． 【经典例题十 实际问题中用坐标表示位置】 【例10】（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图所示，一颗跳棋原来在棋盘上的A处，该棋子沿着箭头所指的方向运动到点B处，继续运动到点C处，则它运动的路径用坐标表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）为贯彻全民健身理念，提升学生的身体素质，学校开展了“红色路线健康行”的徒步活动．如图是利用平面直角坐标系画出的徒步路线上主要地点的大致分布图．这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向，如果表示一线天的点的坐标是，表示枯树林的点的坐标是，那么表示下岭口的点的坐标是（　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）同学们玩过五子棋吗?它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在 位置就胜利了． 3．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1个单位长度）上沿网格线运动．规定：向上向右走为正，向下向左走为负． 例：记为：；记为：．其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)记为：（________，________）； (2)记为：，在图2中标出的位置，若甲虫从出发，行走路线依次为、，到达处，在图2中标出的位置； (3)若甲虫行走路线为，计算该甲虫走过的路程； (4)若甲虫从到达处，行走路线为，，，…，，则________． 【经典例题十一 用方向角和距离确定物体的位置】 【例11】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距5km的B处与2班会合，那么用方向和距离描述2班相对于1班的位置是（    ） A．南偏西50°，距离5km B．南偏西40°，距离5km C．北偏东40°，距离5km D．北偏东50°，距离5km 1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（　　） A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°） 2．（23-24七年级下·全国·期末）一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，如果一个小正方形的对角线长，乐乐家原来的位置是． (1)乐乐爸爸在医院工作，医院在乐乐家北偏东方向处是点A（   ，   ）展览馆在乐乐家东偏南方向走处是点B（   ，   ），并在图中标出点A、点B的位置． (2)如本市出租车收费标准为：以内（含）起步价10元，超过的部分，每千米收费1.6元．乐乐从家乘出租车按（1）中路线去展览馆参观，他要付车费多少钱？ 【经典例题十二 根据方位描述确定物体的位置】 【例12】（23-24七年级下·山东潍坊·期末）下图为小莉与小莹的微信对话记录．据图中两个人的对话记录，有一种走法能从邮局出发走到小莉家，此走法为（    ） A．向北直走400米，再向东直走300米 B．向北直走500米，再向西直走100米 C．向北直走100米，再向西直走500米 D．向北直走200米，再向东直走300米 1．（23-24七年级下·北京丰台·期末）某学校组织初一学生去景区参加实践活动，学生张明和李华对着景区示意图（图中每个小正方形的边长均为）描述景点牡丹园的位置．张明说：“牡丹园的坐标是”，李华说“牡丹园在中心广场东北方向约处”．如果两人的说法都是正确的，根据以上信息，下列说法中错误的是（    ） A．西门的坐标可能是 B．湖心亭的坐标可能是 C．中心广场在音乐台正南方向约处 D．南门在游乐园东北方向约处 2．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B．C．D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中( ， )，( ， )， (， )； （2）若图中另有两个格点M．N，且，，则应记为 ． 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，杭州亚运会数字火炬手和吉祥物琼琮、宸宸、莲莲在的方格每小格边长为上沿着网格线运动数字火炬手从处出发去寻找、、处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)______，______；______，______； ______； (2)若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为______m； (3)若数字火炬手从处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为，，，，请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置点． 【经典例题十三 求矩形在坐标系中的坐标】 【例13】（2024·山东威海·二模）如图，矩形为台球桌面示意图．小球起始位置在处，沿图中所示的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置在（   ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为依此类推，经过3次翻滚后点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为．．．，第n次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读下列范例，按要求解答问题． 定义：在平面直角坐标系中，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积的值相等，则称点为“友善点”．如图，点的坐标为，则矩形的周长为，面积为，则点就是“友善点”． (1)判断点是不是“友善点”，并说明理由； (2)若是“友善点”，求点的坐标． 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）已知点在第四象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图， 在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2022秒瓢虫在（   ）处． A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴上，对于线段有如下四个结论：①线段的最大值是2；②线段的最小值是1；③线段一定不经过点；④线段可能经过点．上述结论中，所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知点在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，= ． 7．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离为7，则点的坐标为 ． 8．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若点到两坐标轴的距离相等且在x轴下方，则点P的坐标是 ． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，…，第n次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标为 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）点B的坐标为 ； （2）当P点移动了4秒时，点P的坐标为 ． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，则点P移动的时间为 ． 11．（24-25八年级上·四川达州·期中）已知点，分别根据下列条件求的值． ①点P在x轴上； ②点Q的坐标为，直线轴； ③点P在一三象限角平分线上． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)在图中描出点． (3)在（2）的条件下，D为x轴上方的一点，且，，则点D的坐标为_____． 13．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 14．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，长方形的边，分别与轴，轴重合，已知点，，且，满足关系式，若动点从点出发，沿着的方向以每秒2个单位长度的速度运动到点，设点的运动时间为秒． (1)点B的坐标为　　； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)若点的坐标为，则在点的运动过程中，是否存在某一时刻使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．（23-24七年级下·云南玉溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中 b，c满足，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S． (1)求a，b，c的值； (2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S； (3)是否存在点M，使得S等于三角形的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面直角坐标系重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 用有序数对表示位置 题型二 用有序数对表示路线 题型三 写出直角坐标系中点的坐标 题型四 求点到坐标轴的距离 题型五 判断点所在的象限 题型六 已知点所在的象限求参数 题型七 坐标系中描点 题型八 坐标与图形 题型九 点坐标规律探索 题型十 实际问题中用坐标表示位置 题型十一 用方向角和距离确定物体的位置 题型十二 根据方位描述确定物体的位置 题型十三 求矩形在坐标系中的坐标 知识点一：平面直角坐标系中一些特殊点的坐标特点及应用 1、平面直角坐标系 在平面内，两条具有公共原点、并且互相垂直的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做x轴或横轴，向右方向为正方向，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，向上方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。如图所示。 2、象限 平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个部分，这两条数轴的正方向的夹角部分叫做第_一_象限，其它三个直角逆时针依次叫做第二、三、四象限，坐标轴不属任何象限。 在平面直角坐标系中，第一象限的横坐标与纵坐标都是正数，简单记作（+，+），那么第二象限的坐标特征是（-，+） ，第三象限是（-，-） ，第四象限是（+，-） 。 3、点的坐标： 用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标，表示方法为（a,b）.其中，a是过该点向横轴作垂线，垂足所对应的横轴上的数值。b是过该点向纵轴作垂线，垂足所对应的纵轴上的数值。 例如：上图中点A的坐标为（3，4） 点拨：横轴（x轴）上点的坐标特征是（x，0）；纵轴（y轴）上的点的坐标特征是（0，y）。 【考点解读】在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置，反之，任意一个点的位置都可以用一对有序实数来表示，这样的有序实数对叫作点的坐标.在平面直角坐标系中，一些特殊点的坐标特点如下: 点所在的象限或坐标 第一象限 第一象限 第一象限 第一象限 原点 X轴 Y轴 点的横坐标 + - - + 0 任意实数 0 点的纵坐标 + + - - 0 0 任意实数 知识点二：根据坐标描出点的位置 【考点解读】对于平面内任意一点，都有唯一的有序实数对和它相对应;对于任意一个有序实数对，在坐标平面内都有唯一的一点和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对一一对应，所以我们可根据坐标描出点的位置. 1、点的对称 设点A坐标为（x，y），点A关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），点A关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），点A关于原点对称的点的坐标为（-x，-y） 2、点的距离 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（a，c），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（d，b），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），则线段AB的长为 【经典例题一 用有序数对表示位置】 【例1】（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则252表示的有序数对是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案． 【详解】第1行的第一个数字： 第2行的第一个数字： 第3行的第一个数字： 第4行的第一个数字： 第5行的第一个数字： …..， 设第行的第一个数字为，得 设第行的第一个数字为，得 设第n行，从左到右第m个数为 当时 ∴ ∵为整数 ∴ ∴ ∴， 252表示的有序数对是 故选：C． 1．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17… 第二行 2 3 6 15 第三行 9 8 7 14 第四行 10 11 12 13 第五行 … … 表中数2在第二行、第一列，与有序数对对应；数5与对应；数14与对应；根据这一规律，数2013对应的有序数对为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有序数对，根据题意可得第一列奇数行的数是其行数的平方，第一行偶数列的数是其列数的平方，据此可确定数2025为第45行第一列数，则数2013在第45行，再由即可确定数2013的列数，故可得到答案． 【详解】解：观察可知，第一列奇数行的数是其行数的平方，第一行偶数列的数是其列数的平方， ∵， ∴数2025为第45行第一列数， ∴数2013在第45行， ∵， ∴数2013在第45行第13列，即数2013对应的有序数对为， 故选：D． 2．（23-24七年级下·广东广州·期末）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对 ． 【答案】 【分析】本题考查用有序数对表示位置，数字类变化规律．根据题意找出数字之间的联系，得出规律是解题关键．根据图中数的排列可得出至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，从而即可求解． 【详解】解：根据题意，如图： 由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数； …… ∴至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始， ∵，， ∴位于第9行，第7列， ∴数的位置为有序数对． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______； (2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置； (3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示． 【答案】(1)，，， (2)目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站 (3)， 【分析】本题考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，理解题意、熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键． （1）根据“目标C，F的位置表示为，”， 表示目标A，B，D，E的位置即可； （2）根据“目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站”，求出每一圈表示，观察图形，根据用方向角和距离确定物体的位置，写出目标A，B，D，E的实际位置即可； （3）根据“目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处”，观察图形并计算，写出G，H的位置表示即可． 【详解】（1）解：∵目标C，F的位置表示为，， ∴按照此方法表示：，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵，，目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站， ∴， 又∵，，，， ∴，，，， ∴目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站； （3）解：∵目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处， ∴，，，， ∴，． 【经典例题二 用有序数对表示路线】 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案. 【详解】解： 用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3， 数轴上的数向左边平移个单位得到的数为 数轴上的数向右边平移个单位得到的数为 可表示数轴上的数向左边平移个单位得到的数是 故选： 【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键. 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图所示，小亮从学校到家所走最短路线是(     )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的坐标写出即可． 【详解】由图可知小亮从学校到家所走最短路线是， 故选：B． 【点睛】本题考查学生利用类比点的坐标来解决实际问题的能力和阅读理解能力，实际操作一下能直观地得到结论． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作 ；有序数对表示 ． 【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米 【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作： 数对表示向西走2米，再向南走6米， 故答案为：；向西走2米，再向南走6米. 【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键. 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读与理解： 如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 例如：从A到B记为：， 从D到C记为：．    思考与应用： (1)图中（ ， ）； （ ， ）； （ ， ）． (2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程． 【答案】(1)，；，0；， (2)见解析 (3)16 【分析】此题考查正负数的意义和有理数的加减混合运算，注意在方格内对于运动方向规定的正负． （1）根据向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”解答即可． （2）由可知从A处右移3格，上移2格，再右移1格，上移3格，右移1格，下移2格即是甲虫P处的位置； （3）由知：先向右移动1格，向上移动4格，向右移动2格，再向右移动1格，向下移动2格，最后向左移动4格，向下移动2格，把移动的距离相加即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，． 故答案为：，；，0；，； （2）解：若甲虫从A到P的行走路线依次为：，图中P的即为所求．    （3）解：∵甲虫的行走路线为， ∴甲虫走过的总路程． 【经典例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例3】（23-24七年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，轴，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中确定点的坐标，直线轴，，则直线上的任何一点的横坐标都是，再根据线段的长度，即可在点A的上方或下方确定点B的坐标，这样即可找出正确的选项． 【详解】解：轴，， 点B的横坐标是， ， 当点B在点A的上方时，点B的坐标为：即， 当点B在点A的下方时，点B的坐标为：即， 故选：D． 1．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期中）已知点为第四象限内一点，且P到x轴的距离为5，．则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】由点为第四象限内一点，且P到x轴的距离为5，可得，由，可求满足要求的解，然后代值求解即可． 【详解】解：∵点为第四象限内一点，且P到x轴的距离为5， ∴， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， 当，时，； 故选：A． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，第四象限点坐标的特征，绝对值方程，算术平方根等知识．熟练掌握点到坐标轴的距离，第四象限点坐标的特征，绝对值方程，算术平方根是解题的关键． 2．（23-24七年级下·河南信阳·期末）在平面直角坐标系中，点A是x轴上一点，点B在x轴下方，线段，若轴，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据在x轴上的点的纵坐标为0，可求出点坐标，根据平行于y轴的两个点的距离，进行列式计算，即可求解． 【详解】解：是x轴上一点， ，解得， ． ，故设， 又， ，即， ∵点B在x轴下方， ∴点B的坐标． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上． (2)点的纵坐标比横坐标大3． (3)点在过点且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为0列方程求出的值，再求解即可； （2）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出的值，再求解即可； （3）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同列方程求出的值，再求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， ， 所以，点的坐标为； （2）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得， ， ， 点的坐标为； （3）解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得， ， 点的坐标为． 【经典例题四 求点到坐标轴的距离】 【例4】（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知点，，下列结论错误的是（　　） A．点P在第四象限 B．点P到x轴的距离为2 C． D．轴 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，以及象限的坐标特点，牢记象限内及坐标轴上的点的特点是关键．根据直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标特点、点到坐标轴的距离分别进行判断，即可解题． 【详解】解：因为第四象限内的点，横坐标大于零，纵坐标小于零，且点P坐标为， 所以点P在第四象限，正确． 故A选项不符合题意． 因为点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值， 所以点P到x轴的距离为：，原结论错误． 故B选项符合题意． 由点P和点Q坐标可知， ，正确． 故C选项不符合题意． 因为P，Q两点横坐标相等， 所以轴，正确． 故D选项不符合题意． 故选：B． 1．（23-24七年级下·四川德阳·期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，已知平行于轴且，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，各象限内点的坐标的符号特征，与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点． 根据第四象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断出点P的坐标．然后根据平行于轴且，得到点Q的坐标． 【详解】解：∵点P到x轴的距离是3， ∴点P的纵坐标为， ∵点P到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标为， ∵点P在第四象限， ∴点P坐标为， ∵平行于轴且， ∴点Q的坐标是或． 故选：C 2．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在轴的上侧，在轴的左侧，距离每个坐标轴都是个单位，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点所在的象限特征，由点在轴的上侧，在轴的左侧，则点在第二象限，再根据距离即可求解，解题的关键是正确理解平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点在轴的上侧，在轴的左侧， ∴点在第二象限， 又∵点距离每个坐标轴都是个单位， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为____________； (2)若点是“完美点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； （1）根据长距的定义，进行判断即可； （2）根据完美点的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 的“长距”为， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 或， 或； 故的值为：或 【经典例题五 判断点所在的象限】 【例5】（2024·山东临沂·模拟预测）已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限点的坐标特征是解题的关键； 根据，，得到，，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，据此解答即可； 【详解】， a、b同号， ， ，， A． 在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意； B．在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意； C．在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意； D．在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意； 故选：B． 1．（23-24八年级下·重庆万州·期中）已知m、n是实数，且，那么点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，根据点的坐标判断其所在的象限，解题的关键在于能够准确求出m、n的值．先根据绝对值和平方的非负性求出m、n的值，然后判断其所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴点在第四象限， 故选D． 2．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）（1）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是 ． （2）若点在第二象限，则点在第 象限． （3）若点，在第四象限，则的取值范围是 ． （4）已知点点的横坐标比纵坐标大3，则的坐标是 ． 【答案】 一 【分析】本题主要考查了点坐标的特点，到坐标轴的距离，一元一次方程的应用等知识． （1）根据点到y轴的距离即为横坐标的绝对值求解即可． （2）根据点在第二象限可得出，，再判断点所在象限即可． （3）直接利用第四象限内点的坐标特点分析得出答案； （4）根据题意列出关于m的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是． 故答案为： （2）∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴点在第一象限， 故答案为：一． （3）∵点，在第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． （4）∵点点的横坐标比纵坐标大3， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，在平面直角坐标系中有一点 (1)若点在第一象限的角平分线上，则_______；若点在第四象限的角平分线上，则_______； (2)若点在第二象限，则的取值范围是_______； (3)点不可能在第______象限； (4)将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点，若点的横，纵坐标互为相反数，则______． 【答案】(1)； (2) (3)三 (4) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、点的平移等知识，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题关键． （1）根据第一象限的角平分线上的点和第四象限的角平分线上的点的坐标特征求解即可； （2）根据第二象限内点的坐标特征“横坐标为负，纵坐标为正”，列出关于的不等式组，求解即可； （3）分和两种情况，确定点可能所在象限，即可获得答案； （4）根据点平移的性质确定点坐标，然后根据点的横，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】（1）解：若点在第一象限的角平分线上， 则有，解得； 若点在第四象限的角平分线上， ∴，解得． 故答案为：；； （2）若点在第二象限， 则有，解得． 故答案为：； （3）对于点， 若，可解得， ∴， ∴点在第一象限或在第四象限； 若，可解得， ∴， ∴点在第二象限． 综上所述，点可能在第一、二、四象限，不可能在第四象限． 故答案为：四； （4）将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点， 则， ∵点的横，纵坐标互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 【经典例题六 已知点所在的象限求参数】 【例6】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点、解一元一次不等式组等知识．在第二象限内，横坐标小于0，纵坐标大于0.列出不等式组，解不等式组，然后求出整数解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：，因为点M的坐标都是整数， 所以． 故选：C． 1．（23-24七年级下·天津·期末）在直角坐标系中，点在第四象限，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，一元一次不等式的求解，根据四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，求解x的取值范围即可． 【详解】解：点在第四象限， ，， ， 故选：A． 2．（23-24七年级下·贵州六盘水·期末）已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第四象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组，先根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值得到，解方程得到或，再根据第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， ∵点P在第四象限， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在轴上．求出点P的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P到轴、轴的距离相等且点P在第一或第二象限，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，在x轴上点的坐标特点，点到坐标轴的距离问题： （1）在x轴上的点纵坐标为0，据此求出a的值即可得到答案； （2）平行于x轴的直线上的点纵坐标相同，据此求出a的值即可得到答案； （3）点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，结合第一象限横纵坐标都为正，第二象限横坐标为负，纵坐标为正进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵点P到轴、轴的距离相等，且点P在第一或第二象限， ∴当点P在第一象限时，则， ∴， ∴． ∴ 当点P在第二象限时，则，解得， ∴， ∴； 综上所述，点P的坐标为或． 【经典例题七 坐标系中描点】 【例7】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．点到轴的距离是3 B．在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点 C．若，则点在轴上 D．在平面直角坐标系中，第三象限内的点的横坐标与纵坐标异号 【答案】C 【分析】根据点的坐标到坐标轴的距离、坐标轴上点的坐标特点及第三象限内点的坐标符号特点逐一判断可得． 【详解】 解：、点到轴距离是2，此选项错误； 、在平面直角坐标系中，点和点表示不同的点，此选项错误； 、若，则点在轴上，此选项正确； 、在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同为负号，此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标到坐标轴的距离、坐标轴上点的坐标特点及第三象限内点的坐标符号特点． 1．（23-24八年级上·河北保定·期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到坐标轴的距离即可得． 【详解】解：点在第四象限， 点的横坐标大于0、纵坐标小于0， 点到轴的距离为3，到轴的距离为4， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了点所在的象限、点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题关键． 2．（23-24八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，以点O(0,0)，与C为顶点，构造平行四边形，点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】点O、点A、点B分别作顶点，构造平行四边形，共有三种情况，逐一讨论即可． 【详解】解：①是平行四边形的对角线时，如下图．    因为，则点A、点C的纵坐标相同，均为1；因，故C的横坐标为等于B的横坐标加上A点的横坐标，即C点的横坐标为4．此时，C点的坐标为． ②是平行四边形的对角线时，如下图，    仿照①的推理法，可得C点的坐标为． ③是平行四边形的对角线时，如下图．    因（平行四边形的对边、对角相等）， ∴，则两三角形的底边上的高相等，故C点的纵坐标与A点纵坐标绝对值相等，符号相反，即为-1．横坐标为2， 所以C点的坐标为． 综合以上①②③三种情况可知，C点的坐标为或或 故答案为：或或 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是充分考虑点C的三种位置情况． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）（1）画平面直角坐标系中，并描出下列各点：，，，； （2）连接，，，，求四边形的面积． 【答案】（）描点见解析；（）． 【分析】（）平面直角坐标系中，描出各点即可； （）过作轴于点，过作轴于点，根据即可求解； 本题考查了点的坐标，三角形的面积，梯形的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图， （）如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴，，，，， ∴ ． 【经典例题八 坐标与图形】 【例8】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是利用垂线段最短解决问题．连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，根据题意可得：，，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是， ，，， ，， ， ， ， 故选：A． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）建立如图所示的直角坐标系，已知中，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的面积，熟练掌握三角形面积的计算是解题的关键．过A作轴于D，过B作轴于E，得到，即可得到答案． 【详解】解：过A作轴于D，过B作轴于E， ， ， ， ． 故选A． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段经过原点于点D．若，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形性质，等面积法是解题的关键，根据等面积法，即可得出答案． 【详解】解： 由题意可得：， ， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿若的路线移动．    (1)点B的坐标为________； (2)当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1) (2)点P在线段上，离点C的距离是2个单位长度， (3)当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是2.5秒或5.5秒 【分析】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据，可以求得、的值，根据长方形的性质，可以求得点的坐标； （2）根据题意点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点移动4秒时，点的位置和点的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点移动的时间即可． 【详解】（1）解：、满足， ，， 解得，， 点的坐标是， 故答案是：； （2）解：点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ， ，， 当点移动4秒时，在线段上，离点的距离是：， 即当点移动4秒时，此时点在线段上，离点的距离是2个单位长度，点的坐标是； （3）解：由题意可得，在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点在上时， 点移动的时间是：秒， 第二种情况，当点在上时． 点移动的时间是：秒， 故在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，点移动的时间是2.5秒或5.5秒． 【经典例题九 点坐标规律探索】 【例9】（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据图形可知第列有个点，点的横坐标为，奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动，进而得到所有列点的总数为，推出第2024个点在第列，即可得到第2024个点的坐标． 【详解】解：由图知，第一列有1个点，点的横坐标为0， 第二列有2个点，点的横坐标为1， 第三列有3个点，点的横坐标为2， 依次类推， 第列有个点，点的横坐标为，且奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动， 所有列点的总数为， 有， ， ，即第2024个点在第列， 第2024个点的横坐标为， ，为偶数列， 第2024个点的纵坐标为， 第2024个点的坐标为． 故选：B． 1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……按照这样的运动规律，第2023个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了找规律，由图得第1个点的坐标是，第9个点的坐标是，第25个点的坐标是，，得第个点为奇数）的坐标是，由，得第2025个点的坐标是，故第2023个点的坐标是． 【详解】解：由图得第1个点的坐标是，第9个点的坐标是，第25个点的坐标是，， 得第个点为奇数）的坐标是， 由， 得第2025个点的坐标是， 故第2023个点的坐标是． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右向上向右向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到第次移动到．则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标的变化规律，由知，据此利用三角形的面积公式计算可得． 【详解】解：由题意知， ，， ，的纵坐标为， 则 的面积是 ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在直角坐标系中，有一点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至乃处，，如此继续运动下去，设    (1)依次写出、、、、、的坐标：______． (2)计算的值，直接写出的值； (3)当时，写出的特征，直接写出的坐标． 【答案】(1)，，，，， (2)1008 (3)（m为自然数）， 【分析】本题考查坐标规律，数字规律，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系结合各点横坐标即可得出答案； （2）根据，，进而得出答案；根据，，…，，…，，进而得出答案； （3）观察规律得点，进一步求出结论． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系结合各点横坐标，得： ，，，，，， 故答案为：，，，，，． （2）解：∵，， ∴； ∵，，…，，…， ∵， ∴， ， ∴． （3）解：观察每组中的点的坐标可发现： 第1组中第2个点为中，，记作， 第2组中第2个点为中，，记作， 第3组中第2个点为中，，记作， 总结规律：点， 当时，则（m为自然数）， ， 点，即． 【经典例题十 实际问题中用坐标表示位置】 【例10】（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图所示，一颗跳棋原来在棋盘上的A处，该棋子沿着箭头所指的方向运动到点B处，继续运动到点C处，则它运动的路径用坐标表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是用坐标确定位置的方法，先确定点的坐标，再按照箭头所指的方向确定点的坐标即可 【详解】解：根据题意知， 所以，该棋子沿着箭头所指的方向运动路径用坐标表示正确的是， 故选：A 1．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）为贯彻全民健身理念，提升学生的身体素质，学校开展了“红色路线健康行”的徒步活动．如图是利用平面直角坐标系画出的徒步路线上主要地点的大致分布图．这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向，如果表示一线天的点的坐标是，表示枯树林的点的坐标是，那么表示下岭口的点的坐标是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点坐标得出原点位置是解题关键．直接利用一线天和枯树林的位置进而确定原点的位置．建立平面直角坐标系，再找出下岭口的点的坐标，即可解题． 【详解】解：表示一线天的点的坐标是，表示枯树林的点的坐标是，正东、正北方向为x轴，y轴的正方向， 建立平面直角坐标系，如下： 表示下岭口的点的坐标是， 故选：A． 2．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）同学们玩过五子棋吗?它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在 位置就胜利了． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．根据题意得出原点位置进而得出黑棋应该放的位置． 【详解】解：如图所示建立直角坐标系，黑棋放在图中黑点G或H位置，就能获胜． ∵白①的位置是，黑②的位置是，， ∴O点的位置为：， ∴黑棋放在或位置就能获胜． 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1个单位长度）上沿网格线运动．规定：向上向右走为正，向下向左走为负． 例：记为：；记为：．其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)记为：（________，________）； (2)记为：，在图2中标出的位置，若甲虫从出发，行走路线依次为、，到达处，在图2中标出的位置； (3)若甲虫行走路线为，计算该甲虫走过的路程； (4)若甲虫从到达处，行走路线为，，，…，，则________． 【答案】(1) (2) (3) (4)7 【分析】本题考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． （1）根据规定及实例即可解答； （2）按题目所示平移规律从点B向右1个格点，节课得到点P坐标；从点P向左4个格点、向下1个格点，然后表示为向右2个格点、向下1个格点；即可得到点Q的坐标，在图中标出即可； （3）根据甲虫的运动路线列式计算即可得解； （4）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长． 【详解】（1）解：规定：向上向右走为正，向下向左走为负， 记为：； 故答案为：； （2）解：表示为向右1个格点； ：表示为向左4个格点、向下1个格点，然后表示为向右2个格点、向下1个格点； 点P，Q位置如图所示： , （3）解：记为：；记为：；记为：． 甲虫走过的路程为：； （4）解：∵这只甲虫从B处去D处的行走路程最小为：， ∴． 故答案为：7． 【经典例题十一 用方向角和距离确定物体的位置】 【例11】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距5km的B处与2班会合，那么用方向和距离描述2班相对于1班的位置是（    ） A．南偏西50°，距离5km B．南偏西40°，距离5km C．北偏东40°，距离5km D．北偏东50°，距离5km 【答案】B 【分析】根据方位角的意义描述即可． 【详解】解：根据图示，得到2班相对于1班的位置是南偏西40°，距离5km， 故A，C，D都不符合题意，B符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了方位角和距离描述位置，正确理解方位角的意义是解题的关键． 1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（　　） A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°） 【答案】C 【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标（5，30°），（2，90°），（4，240°），（3，300°），即可判断． 【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数， 由题意可知、、、的坐标可表示为：（5，30°），故A不正确； （2，90°），故B不正确； （4，240°），故C正确； （3，300°），故D不正确． 故选择：C． 【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C、F两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数是解题关键． 2．（23-24七年级下·全国·期末）一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ． 【答案】南偏西， 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，遇险船相对于救生船的位置为南偏西，， 故答案为：南偏西，． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，如果一个小正方形的对角线长，乐乐家原来的位置是． (1)乐乐爸爸在医院工作，医院在乐乐家北偏东方向处是点A（   ，   ）展览馆在乐乐家东偏南方向走处是点B（   ，   ），并在图中标出点A、点B的位置． (2)如本市出租车收费标准为：以内（含）起步价10元，超过的部分，每千米收费1.6元．乐乐从家乘出租车按（1）中路线去展览馆参观，他要付车费多少钱？ 【答案】(1)；，画图见解析 (2)他要付车费元 【分析】本题考查了坐标表示位置，准确理解题意是解题关键； （1）根据题意画出点A、点B的位置，写出它们的坐标即可； （2）根据以内（含）起步价10元，超过的部分，每千米收费1.6元计算即可． 【详解】（1）解：点A、点B的位置如图所示，点A，点B． （2）解：因为以内（含）起步价10元，超过的部分，每千米收费1.6元， 所以，乐乐从家乘出租车按（1）中路线去展览馆参观，他要付车费为（元）， 答：他要付车费11.6元． 【经典例题十二 根据方位描述确定物体的位置】 【例12】（23-24七年级下·山东潍坊·期末）下图为小莉与小莹的微信对话记录．据图中两个人的对话记录，有一种走法能从邮局出发走到小莉家，此走法为（    ） A．向北直走400米，再向东直走300米 B．向北直走500米，再向西直走100米 C．向北直走100米，再向西直走500米 D．向北直走200米，再向东直走300米 【答案】B 【分析】根据对话画出图形，进而得出从邮局出发走到晓莉家的路线． 【详解】解：如图所示：从邮局出发走到晓莉家应：向北直走500米，再向西直走100米． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，根据题意画出图形是解题关键． 1．（23-24七年级下·北京丰台·期末）某学校组织初一学生去景区参加实践活动，学生张明和李华对着景区示意图（图中每个小正方形的边长均为）描述景点牡丹园的位置．张明说：“牡丹园的坐标是”，李华说“牡丹园在中心广场东北方向约处”．如果两人的说法都是正确的，根据以上信息，下列说法中错误的是（    ） A．西门的坐标可能是 B．湖心亭的坐标可能是 C．中心广场在音乐台正南方向约处 D．南门在游乐园东北方向约处 【答案】D 【分析】根据张明说：“牡丹园的坐标是”，李华说“牡丹园在中心广场东北方向约处”，建立平面直角坐标系，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】如图，以中心广场为原点建立平面直角坐标系， A. 西门的坐标可能是，故该选项正确，不符合题意； B. 湖心亭的坐标可能是，故该选项正确，不符合题意； C. 中心广场在音乐台正南方向约处，故该选项正确，不符合题意； D. 南门在游乐园西南方向约处，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了用坐标表示实际位置、方位角，建立平面直角坐标系是解题的关键． 2．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B．C．D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中( ， )，( ， )， (， )； （2）若图中另有两个格点M．N，且，，则应记为 ． 【答案】 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负分别写出各点的坐标即可； （2）根据已知条件，可知，，从而得到点向右走个格点，向上走个格点到点，反过来即可得到答案． 【详解】解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负 ∴记为，记为，记为； （2）∵， ∴， ∴点向右走个格点，向上走个格点到点 ∴应记为． 故答案是：（1），，，，，；（2） 【点睛】本题考查了利用坐标确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，杭州亚运会数字火炬手和吉祥物琼琮、宸宸、莲莲在的方格每小格边长为上沿着网格线运动数字火炬手从处出发去寻找、、处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)______，______；______，______； ______； (2)若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为______m； (3)若数字火炬手从处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为，，，，请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置点． 【答案】(1) ，；，0；； (2)10； (3)见解析． 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解标记的两个数的实际意义是解题的关键． （1）根据标记的第一个数字表示左、右方向，第二个数字表示上、下方向依次写出即可； （2）根据运动路线列式计算即可得解； （3）在图中依次表示出各位置，然后确定出点的位置即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：，，； （2）解：若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为． （3）解：如图所示，点为火炬手汪顺的位置． 【经典例题十三 求矩形在坐标系中的坐标】 【例13】（2024·山东威海·二模）如图，矩形为台球桌面示意图．小球起始位置在处，沿图中所示的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置在（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，由图可得，点第一次碰撞后的点的坐标为，第二次碰撞后的点的坐标为，第三次碰撞后的点的坐标为，第四次碰撞后的点的坐标为，第五次碰撞后的点的坐标为，第六次碰撞后的点的坐标为，则小球点坐标每六次为一循环，即可得到答案． 【详解】解：由图可得， 点第一次碰撞后的点的坐标为， 第二次碰撞后的点的坐标为， 第三次碰撞后的点的坐标为， 第四次碰撞后的点的坐标为， 第五次碰撞后的点的坐标为， 第六次碰撞后的点的坐标为， ……， ∴小球碰撞后的坐标每六次为一循环， ∵ ∴小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 故选：B． 1．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为依此类推，经过3次翻滚后点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后观察图形即可得到经过3次翻滚后点A对应点A3的坐标，从而解答本题． 【详解】解：如下图所示： 由题意可得上图，点，可得 经过3次翻滚后点A对应点A3的坐标对应上图中的坐标，故A3的坐标为：（3，0）． 故选：D． 【点睛】本题考查探究点的坐标的问题，解题的关键是画出相应的图形并找到点的变化规律． 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为．．．，第n次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由已知反弹时反射角等于入射角，小球第5次碰到矩形的边时的点，小球第6次碰到矩形的边时的点，那么下次小球将沿路径依次碰撞，且碰撞循环周期为6，第19次碰到矩形可以看成经过3次循环后第1次碰到矩形，即的坐标即为的坐标．本题主要考查坐标点规律问题，经过计算发现循环周期是关键． 【详解】解：小球第5次碰到矩形的边时的点，小球第6次碰到矩形的边时的点，此时小球回到出发点，即经过6次碰撞小球回到出发点，小球运动路径为，为小球第19次碰到矩形的边时的点，可以看成经过三次循环后第一次碰到矩形的边，即碰撞坐标为． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读下列范例，按要求解答问题． 定义：在平面直角坐标系中，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积的值相等，则称点为“友善点”．如图，点的坐标为，则矩形的周长为，面积为，则点就是“友善点”． (1)判断点是不是“友善点”，并说明理由； (2)若是“友善点”，求点的坐标． 【答案】(1)不是“友善点”，是“友善点”，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据定义，计算横坐标绝对值与纵坐标绝对值和的2倍，计算横坐标绝对值与纵坐标绝对值的积，若相等，则符合题意，解答即可； （2）根据定义，计算周长和面积，结合绝对值意义，建立等式解答即可． 本题考查了坐标新定义问题，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：不是“友善点”，是“友善点”． 理由：对于，矩形的周长是，面积是， 周长与面积的值不相等， 不是“友善点”； 对于，矩形的周长是，面积是， 周长与面积的值相等， 是“友善点”． （2）是“友善点”， ， ， ． ． 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，根据直线轴得出点的纵坐标为，再结合，分两种情况点在点的左边时，点在点的右边时，分别求解即可得解． 【详解】解：∵直线轴，点A的坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴点在点的左边时，横坐标为，点在点的右边时，横坐标为， ∴点B的坐标为或， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立直角坐标系成为解题的关键． 先根据黑棋①和黑棋②的坐标建立坐标系，再根据白棋③的位置其坐标即可． 【详解】解：根据题意可建立如下所示坐标系： ∴黑棋②的坐标是． 故选：A． 3．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）已知点在第四象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面内的点的坐标特征及点到坐标轴距离的意义，熟练运用相关知识是解题的关键．根据点在第四象限，可得点的横坐标为正，纵坐标为负；再由点到轴的距离是3，可得点的纵坐标为；由点到轴的距离是5，可得点的横坐标为5，由此即可得点的坐标． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∵点到轴的距离为3，到轴的距离为5， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：D． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图， 在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2022秒瓢虫在（   ）处． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标规律探索，由题意得出，，即长方形的周长为，再结合，判断即可得出答案，得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴长方形的周长， ∵， ∴第2022秒瓢虫在的中点处， ∴第2022秒瓢虫在处， 故选：A． 5．（23-24七年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴上，对于线段有如下四个结论：①线段的最大值是2；②线段的最小值是1；③线段一定不经过点；④线段可能经过点．上述结论中，所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查坐标与图形，判断坐标点所在象限，关键是根据点的坐标，x轴上的点的纵坐标等于零解答．根据点到坐标轴距离的计算方法及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，依次对四个结论进行判断即可． 【详解】解：点， 点A到x轴的距离为1， 又点B在x轴上， 线段的最小值是1，无法判断线段的最大值， 故①错误，②正确． 由题意，设， 与点的纵坐标相等， 过这两个点的线段与x轴平行， 在x轴上， 线段不可能经过点，故③正确； 位于第一象限，点B在x轴上，点位于第四象限， 线段不可能经过点，故④错误． 综上所述，正确的结论有：②③，共2个， 故选：B． 6．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知点在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，= ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． 根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【详解】解：∵点到x轴、y轴的距离相等 ∴， 又∵P点在第二象限， ∴ ， ， ∴ 解得：， 把代入，得． 故答案为 7．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离为7，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，由点与点在同一条平行于轴的直线上，得到，根据点到轴的距离为7，得到或，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于轴的直线上， ∴， ∵点到轴的距离为7， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 8．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若点到两坐标轴的距离相等且在x轴下方，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离,点在坐标系中的分布及解一元一次不等式，根据点到两坐标轴的距离相等且在x轴下方，可得，且，即可解答． 【详解】解：根据题意得：，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，…，第n次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，画出反弹的图形，分别找出各点的坐标，找出坐标的循环规律每6次一循环，，即可求解；能够正确找出坐标循环规律是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据反射角等于入射角画图，可知小球从反射后到，再反射到，再反射到，再反射到P点之后，按，，，，，，每6次一循环， ， ∴点的坐标是． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）点B的坐标为 ； （2）当P点移动了4秒时，点P的坐标为 ． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，则点P移动的时间为 ． 【答案】 秒或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，坐标与图形．熟练掌握一元一次方程的应用，坐标与图形是解题的关键． （1）由题意得，，，进而可求点B坐标； （2）由题意知，当P点移动了4秒时，点P运动的路程为，点P在上，且，进而可求P点移动了4秒时的坐标； （3）设点P移动的时间为t秒，根据题意，有两种情况：当点P在上且到x轴距离为5个单位长度时，即，可得，计算求解即可；当点P在上且到x轴距离为5个单位长度时，即，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：A点的坐标为，C点的坐标为， ∴，， 长方形中，轴，轴， ∴，， 点B坐标为， 故答案为：； （2）解：点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度动， 当P点移动了4秒时，点P运动的路程为， ∴点P在上，且， P点移动了4秒时的坐标为， 故答案为：； （3）设点P移动的时间为t秒， 根据题意，有两种情况： 当点P在上且到x轴距离为5个单位长度时，即， ∴， 解得，； 当点P在上且到x轴距离为5个单位长度时，即， ∴， 解得，， 综上所述，满足条件的点P移动的时间为秒或秒， 故答案为：秒或秒． 11．（24-25八年级上·四川达州·期中）已知点，分别根据下列条件求的值． ①点P在x轴上； ②点Q的坐标为，直线轴； ③点P在一三象限角平分线上． 【答案】①；②；③ 【分析】本题考查坐标与图形，根据轴上的点的纵坐标为0，平行于轴的直线上的点的横坐标相同，一三象限角平分线上的点的横纵坐标相同，分别求出的值即可． 【详解】解：①∵点P在x轴上， ∴， ∴； ②∵点Q的坐标为，直线轴， ∴， ∴； ③∵点P在一三象限角平分线上， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)在图中描出点． (3)在（2）的条件下，D为x轴上方的一点，且，，则点D的坐标为_____． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系． （1）根据平面直角坐标系即可写出点A，B的坐标； （2）根据平面直角坐标系作出点 （3）根据平面直角坐标系即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：点A，B的坐标分别为；； （2）解：如图，点C即为所求 （3）解：由平面直角坐标系可得 ∵，，D为x轴上方的一点， ， ， ∴点D的坐标为． 13．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)或 (3)点是“角平分线点”，理由见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“角平分线点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为5，到轴的距离为3， ∴点的“长距”为5． 故答案为：5； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 14．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，长方形的边，分别与轴，轴重合，已知点，，且，满足关系式，若动点从点出发，沿着的方向以每秒2个单位长度的速度运动到点，设点的运动时间为秒． (1)点B的坐标为　　； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)若点的坐标为，则在点的运动过程中，是否存在某一时刻使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时，； (3)存在，满足条件的的值为1或5． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，非负数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用非负数的性质求出，的值，可得结论； （2）分两种情形：点在线段上，点在线段上，分别求解即可； （3）分两种情形，点在线段上，点在线段上，分别构建方程求解求解即可． 【详解】（1）解：， 又，， ，， ，， 四边形是长方形， ； 故答案为：； （2）解：当时，， 当时，； （3）解：如图，当点在线段上时，， ． 当点在线段上时，， ． 综上所述，满足条件的的值为1或5． 15．（23-24七年级下·云南玉溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中 b，c满足，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S． (1)求a，b，c的值； (2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S； (3)是否存在点M，使得S等于三角形的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或． 【分析】此题考查了坐标与图形，算术平方根和平方的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据算术平方根和平方的非负性求出，，然后根据平方根的性质求出； （2）首先求出点M到x轴的距离为，然后根据结合三角形面积公式代入求解即可； （3）首先求出三角形的面积，然后分两种情况讨论：当点M在第四象限时和当点M在第一象限时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵a，b是同一个数的两个不相等的平方根 ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M在第四象限，点M的坐标为 ∴点M到x轴的距离为 ∴； （3）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴三角形的面积 当点M在第四象限时， ∵S等于三角形的面积 ∴ ∴ ∴； 当点M在第一象限时， ∵S等于三角形的面积 ∴ ∴ ∴ 综上所述，点M的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$