专题02 圆的方程（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（甘肃专用）

专题02 圆的方程 题型一 圆的方程 1、（2023上·庆阳市·高二期末）以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2、（2023上·白银市·高二期末）圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3、（2023上·天水市·高二期末）若圆的半径为1，圆心在第三象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4、（2023上·酒泉市·高二期末）与直线和圆都相切半径最小的圆的方程是 A. B. C. D. 5、（2023上·白银市·高二期末）（多选）如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（ ） A. B. C. D. 6、（2023上·庆阳市·高二期末） 已知点，，，H是的垂心． （1）求点C的坐标； （2）求的外接圆的方程． 7、（2023上·庆阳市·高二期末）已知圆经过点，，. （1）求圆的方程； （2）求直线截圆所得两段弧长之比. 题型二 圆与圆的位置关系 8、（2023上·庆阳市·高二期末）圆：与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 9、（2023上·白银市·高二期末）已知圆与圆内切，则__________. 10、（2023上·天水市·高二期末）若两圆和有公共点，则的取值范围是__________． 11、（2023上·兰州市·高二期末）已知圆C1：(x-4)2+(y-2)2=4和圆C2：(x-1)2+(y-3)2=9． （1）试判断两圆的位置关系，若相交，求出公共弦所在的直线方程; （2）若直线l过点(1，0)且与圆C1相切，求直线l的方程． 题型三 直线与圆的位置关系 12、（2023上·庆阳市·高二期末）若直线l过点，且与曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 13、（2023上·酒泉市·高二期末）过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（ ） A. B. 3 C. D. 14、（2023上·兰州市·高二期末）已知直线l：与：交于A，B两点，写出满足“为直角三角形”的一个圆心C的坐标______. 15、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆的半径为2 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 直线被圆截得的弦长最长为4 16、（2023上·兰州市·高二期末）已知在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 17、（2023上·白银市·高二期末）已知点在圆上． （1）求该圆的圆心坐标及半径长； （2）过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 18、（2023上·白银市·高二期末）已知圆和直线相切于点. （1）求圆的标准方程及直线的一般式方程； （2）已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 题型四 与圆有关的最值问题 19、（2023上·庆阳市·高二期末）已知点，，，且满足，点D为AB的中点，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 20、（2023上·白银市·高二期末）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 最小时，弦长为 C. 最小时，弦所在直线的斜率为 D. 四边形的面积最小值为 21、（2023上·天水市·高二期末）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为______ 22、（2023上·兰州市·高二期末）在平面直角坐标系中，圆与圆内切，且与圆外切，记动圆M的圆心的轨迹记为曲线C．直线与曲线C相交于P，Q两点． （1）求曲线C的方程； （2）若是一个与m无关的定值，求此时k的值及△OPQ的面积的最大值． 题型五 与圆有关的轨迹问题 23、（2023上·兰州市·高二期末）已知点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 24、（2023上·酒泉市·高二期末）已知的顶点，的坐标分别为，，顶点在圆上运动，求的重心的轨迹方程并指出该轨迹是什么曲线. 25、（2023上·兰州市·高二期末）在平面直角坐标系中，已知，点M满足，记的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设圆，若直线l过圆的圆心且与曲线交于两点，且，求直线l的方程. 26、（2023上·兰州市·高二期末）已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切． （1）求动圆圆心M的轨迹C的方程； （2）直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程． 题型六 与圆有关的证明 27、（2023上·天水市·高二期末）已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点． （1）若﹐求直线l的方程： （2）若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值． 28、（2023上·兰州市·高二期末）已知直线：和圆：. （1）判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； （2）过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 29、（2023上·白银市·高二期末）在平面直角坐标系中，已知圆和圆. （1）若直线过原点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； （2）是否存在点满足过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆的方程 题型一 圆的方程 1、（2023上·庆阳市·高二期末）以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程. 【详解】直线方程可化为， 则两条平行线之间距离，即圆的半径， 所求圆的方程为：. 故选：B. 2、（2023上·白银市·高二期末）圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用几何法即可求得圆的标准方程. 【详解】因为圆心在直线上，故设圆心， 又因为圆和轴相切于点，所以，即，则半径， 故圆的标准方程为. 故选：B. 3、（2023上·天水市·高二期末）若圆的半径为1，圆心在第三象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆心，根据其与轴相切得到，再根据点到直线的距离等于半径得到关于的方程，解出即可. 【详解】设圆心，圆：， 依题意有，圆心到直线的距离为 解得或（舍去）. 所以圆的标准方程：. 故选：A. 4、（2023上·酒泉市·高二期末）与直线和圆都相切半径最小的圆的方程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】圆的圆心坐标为，半径为，过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方，则，且，解得（不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为. 故选C． 5、（2023上·白银市·高二期末）（多选）如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由各小圆的圆心和半径，求出圆的标准方程和一般方程，对照选项判断. 【详解】由题可知小正方形边长为2，则内切圆半径为1， 可得第一象限的小圆的圆心为，方程为， 即，A选项正确； 第二象限的小圆的圆心为，方程为， 即，B选项正确； 第三象限的小圆的圆心为，方程为， 即，C选项正确； 第四象限的小圆的圆心为，方程为， 即，没有选项符合； 外接圆圆心为，半径为，方程为，没有选项符合. 故选：ABC 6、（2023上·庆阳市·高二期末） 已知点，，，H是的垂心． （1）求点C的坐标； （2）求的外接圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，求出直线的方程，联立方程组求出两直线的交点C的坐标； （2）先得到边和边的中垂线方程，进行联立得圆心坐标，再利用两点距离公式算出半径，即可得到答案 【小问1详解】 因为点，，，H是△ABC的垂心， 所以，所以， ∴直线的方程为即， 又∵，∴所在直线与x轴垂直，故直线BC的方程为， 联立直线与的方程得点的坐标为； 【小问2详解】 边的中垂线方程为， 因为，所以边的中垂线的斜率等于， 因为边的中点为， 故边的中垂线的方程为：， 所以联立两条中垂线得解得， 所以圆心坐标为，半径， 则的外接圆的标准方程为. 7、（2023上·庆阳市·高二期末）已知圆经过点，，. （1）求圆的方程； （2）求直线截圆所得两段弧长之比. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设圆一般方程，把三个点代入即可解出答案. （2）圆心在直线上，即可得出答案. 【小问1详解】 设圆的一般方程为，把三个点代入得 ，得 所以圆的方程为 即. 【小问2详解】 由于圆心在直线上，故直线截圆所得两段弧长之比为. 题型二 圆与圆的位置关系 8、（2023上·庆阳市·高二期末）圆：与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 9、（2023上·白银市·高二期末）已知圆与圆内切，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系列方程，从而求得. 【详解】因为，圆的半径为3，圆的半径为， 所以，因为圆与圆内切， ，所以. 故答案为： 10、（2023上·天水市·高二期末）若两圆和有公共点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出两圆的圆心及半径，利用两圆不相离列出不等式求解即得. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 依题意，两圆不相离，则，即，解得或 所以的取值范围是. 故答案为： 11、（2023上·兰州市·高二期末）已知圆C1：(x-4)2+(y-2)2=4和圆C2：(x-1)2+(y-3)2=9． （1）试判断两圆的位置关系，若相交，求出公共弦所在的直线方程; （2）若直线l过点(1，0)且与圆C1相切，求直线l的方程． 【答案】（1）相交；6x-2y-15=0；（2）y=0或12x-5y-12=0． 【解析】 【分析】（1）求得圆心和半径，然后结合圆心距以及的关系判断两个圆的位置关系，两个圆方程相减求得公共弦所在的直线方程. （2）设出直线的方程，利用直线与圆相切的知识列方程，由此求得直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】（1）由题意得C1(4，2)，r1=2，C2(1，3)，r2=3， ∴|C1C2|=，r2-r1<|C1C2|<r1+r2，∴两圆相交， 两圆的方程相减得6x-2y-15=0，即为公共弦所在直线的方程． （2）依题意可知直线的斜率存在. 设直线l方程为y=k(x-1)，即kx-y-k=0， 由题意得2=，解得k=0或k=． ∴直线l的方程为y=0或12x-5y-12=0． 题型三 直线与圆的位置关系 12、（2023上·庆阳市·高二期末）若直线l过点，且与曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，分直线斜率存在与不存在进行讨论，若不存在，设出直线方程，联立方程，由唯一解，可得答案. 【详解】当直线的斜率不存在时，由题意，则直线的方程为，代入， 可得，解得，故此时直线与曲线有唯一交点； 当直线的斜率存在时，可设其方程为， 联立，消去可得， 当，即时，方程为一次方程，必定有唯一解； 当，即时，由题意，可得该一元二次方程有唯一解， 则，， ，，解得， 综上所述，直线的方程有，，，共四条， 故选：D. 13、（2023上·酒泉市·高二期末）过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相切，由勾股定理即可求解. 【详解】设圆心为半径为， 所以, 故， 故选：C 14、（2023上·兰州市·高二期末）已知直线l：与：交于A，B两点，写出满足“为直角三角形”的一个圆心C的坐标______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意可得是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离等于，再利用点到直线的距离公式求得，的关系． 【详解】由题意，是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离等于， 又圆心到直线的距离为， ，化简得，或， 取，，所以为直角三角形的一个圆心坐标为. 故答案为：. 15、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆的半径为2 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 直线被圆截得的弦长最长为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线方程变形后得到，求出恒过的定点，即可判断A；将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标和半径，进而判断B；圆心到直线的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式即可判断C；当圆心在直线上，故直线被圆M截得的弦长为直径4，为最大弦长，即可判断D. 【详解】变形为，故恒过定点，A正确； 变形为， 圆心坐标为，半径为2，B正确； 令圆心到直线的距离， 整理得：，由可得，方程无解， 故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误； 若，直线方程为，圆心在直线上， 故直线被圆截得的弦长为直径4，为最大弦长． 故选：ABD 16、（2023上·兰州市·高二期末）已知在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】确立圆的方程需要三个独立的变量，求解时，可以先确定圆心的坐标，再求圆的半径，也可以运用圆的一般方程，通过待定系数法求得. 【小问1详解】 设圆的方程为，因为点在圆上， 所以，解得，， 所以圆的方程为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知，圆心到直线的距离. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为； 若直线的斜率存在，设其为，则直线的方程为, 所以，解得，,所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 【点睛】对于本题而言，选择圆的一般式方程方程求解较易，求直线方程时要防止漏掉斜率不存在的情况，重视数形结合的运用. 17、（2023上·白银市·高二期末）已知点在圆上． （1）求该圆的圆心坐标及半径长； （2）过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 【答案】（1）圆心，半径 （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入后计算即可得圆的方程，化为标准方程即可得圆心坐标与半径长； （2）由题意可得直线方程，借助弦长公式计算即可得. 【小问1详解】 将点代入， 则，解得， 即， 故圆的标准方程为， 故圆心，半径； 【小问2详解】 由题意得直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离， 则弦长． 18、（2023上·白银市·高二期末）已知圆和直线相切于点. （1）求圆的标准方程及直线的一般式方程； （2）已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）圆的标准方程为，直线的一般方程为； （2）. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入圆的方程，求出实数的值，可得出圆的标准方程，求出直线的斜率，由圆的几何性质可得，可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，化为一般式即可； （2）分析可知直线过圆心，求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：把点代入圆的方程，可得，解得， 得的方程为，即， 圆心为，所以，直线的斜率为， 由圆的几何性质可知，则直线的斜率为， 直线的方程为，即. 【小问2详解】 解：由（1）可知，圆的直径为，故直线经过圆心， 且直线的斜率为，直线的方程为，即． 题型四 与圆有关的最值问题 19、（2023上·庆阳市·高二期末）已知点，，，且满足，点D为AB的中点，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】设D点坐标，由中点坐标转化可得，即得点D的轨迹，利用点与圆的位置关系，即可求得的最大值. 【详解】解：根据题意可得，设D点坐标，可知，，则，， 又，代入得，即，可得D点是在以点为圆心，半径为1的圆上， . 故选：C． 20、（2023上·白银市·高二期末）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 最小时，弦长为 C. 最小时，弦所在直线的斜率为 D. 四边形的面积最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】当时，最小，求出的最小值即可求得的最小值，可判断选项A；根据等面积法，可判断选项B；求出直线与直线及直线l位置关系，可判断选项C；当最小时，四边形的面积最小，可判断选项D. 【详解】由圆的方程可知，圆心，半径. ， 当时，最小，此时最小. 对于选项A，，所以，故A错误； 对于选项B，，即，解得，故B正确； 对于选项C，因为，，所以，所以，故C错误； 对于选项D，四边形的面积， 所以当最小时，四边形的面积最小，，故D错误. 故选：B 21、（2023上·天水市·高二期末）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，由点到直线的距离公式结合勾股定理求出的最小值，即可求得四边形的面积的最小值； 【详解】解：由圆，得到圆心，半径 由题意可得：，，， ， 在中，由勾股定理可得：， 当最小时，最小，此时所求的面积也最小， 点是直线上的动点， 当时，有最小值，此时， 所求四边形的面积的最小值为； 故答案为： 22、（2023上·兰州市·高二期末）在平面直角坐标系中，圆与圆内切，且与圆外切，记动圆M的圆心的轨迹记为曲线C．直线与曲线C相交于P，Q两点． （1）求曲线C的方程； （2）若是一个与m无关的定值，求此时k的值及△OPQ的面积的最大值． 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据圆内切和外切的位置关系，以及椭圆的定义即可得解. （2）联立直线和椭圆的方程组，利用根与系数的关系表示出，写出关于k的表达式，再由弦长公式和点到直线的距离，表示出面积公式，由基本不等式得面积的最大值. 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为， 由题意知，圆的标准方程为 ，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 因为圆与圆内切，所以， 圆与圆外切，所以， 则， 所以动圆M的圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，，，， 即曲线C的方程为. 【小问2详解】 设点，， 直线与曲线C的方程联立， 消去得， ，， 由韦达定理：，， ， 因为是一个与m无关的定值，则令， 解得，此时恒成立， 即当，时， 因为 ， 因为原点到直线的距离， 所以, , 当时，即时，面积最大. 题型五 与圆有关的轨迹问题 23、（2023上·兰州市·高二期末）已知点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的中点，则，代入圆的方程化简可得答案. 【详解】设的中点，则， 因为点为圆上的动点，所以， 即. 故选：D. 24、（2023上·酒泉市·高二期末）已知的顶点，的坐标分别为，，顶点在圆上运动，求的重心的轨迹方程并指出该轨迹是什么曲线. 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】设重心的坐标为，点的坐标为，利用三角形重心坐标公式求出，，利用代入法即可求得答案. 【详解】设的重心的坐标为，点的坐标为， 已知顶点，的坐标分别为，， 则的重心的坐标满足，， 因此有，， 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 将圆方程化为：，即满足：， 代入得， 当共线时，直线BC方程为，联立， 求得或，即A点不能取，则不能取， 即的重心的轨迹方程为，（去掉点）； 所以的重心的轨迹是以为圆心，半径为1的圆（去掉点）. 25、（2023上·兰州市·高二期末）在平面直角坐标系中，已知，点M满足，记的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设圆，若直线l过圆的圆心且与曲线交于两点，且，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，根据得到坐标关系式，化简即得曲线的方程； （2）根据直线l过圆的圆心且与曲线相交，设出直线方程并利用弦长公式代入即可计算出直线方程. 【小问1详解】 设，由， 可得，因为, 所以，整理可得； 即曲线的方程为. 【小问2详解】 易知可化为， 可得圆的圆心为，半径； 又直线l过圆的圆心，可设直线的方程为，显然， 由曲线的方程可知曲线是以为圆心，半径的圆， 又，所以可知到直线的距离， 即，解得； 所以直线方程的方程为 26、（2023上·兰州市·高二期末）已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切． （1）求动圆圆心M的轨迹C的方程； （2）直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用两圆内外切的充要条件可求出动点到两定点的距离，再运用椭圆的定义判断动点的轨迹，最后对轨迹上的特殊点进行检测，去除不符题意的点即得； （2）利用椭圆的中点弦问题运用“点差法”即可求出弦的斜率即得直线方程. 【小问1详解】 设动圆M的半径为r，动圆M与圆F1外切，与圆F2内切， ，且，于是， 动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆， 故，，椭圆方程为 又因当M点为椭圆左顶点时，动圆M不存在，故不合题意舍去， 故动圆圆心M的轨迹C的方程为； 【小问2详解】 设，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有，又Q为线段AB的中点， 则有，代入即得直线l的斜率为， 直线l的方程为，整理可得直线l的方程为. 题型六 与圆有关的证明 27、（2023上·天水市·高二期末）已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点． （1）若﹐求直线l的方程： （2）若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值． 【答案】（1）或； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆的弦长公式结合条件即得； （2）根据圆的性质结合平面几何知识可得，然后根据距离公式即得. 【小问1详解】 由圆，可知圆心为，半径为2， 因为，直线，即， 所以， 解得或， 所以直线方程为或， 即或； 【小问2详解】 由直线可知直线过定点， 又，可知，又直线，， 所以， 如图设，又M为线段PQ的中点，直线l与直线交于点N， 所以，， 所以，即， 又，， 所以为定值， 若直线过圆心，则与重合，与重合，显然， 综上，为定值. 28、（2023上·兰州市·高二期末）已知直线：和圆：. （1）判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； （2）过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）相离； （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离与半径进行比较可判断直线与圆的位置关系，圆上任意一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离与半径的和； （2）由题意可知过，，三点的圆，即为以为直径的圆，设点坐标，表示圆心和半径，得出圆的方程，将其与圆的方程相减，可得公共弦所在直线方程，整理得出定点坐标即可. 【小问1详解】 圆:的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线和圆相离； 因为直线和圆相离，如图： 过圆心作直线的垂线，垂足为， 要使圆上任意一点到直线的距离最大，则是线段的延长线与圆的交点， 点到直线的最大距离为； 【小问2详解】 因为点在直线上，可设， 过，，三点的圆即以为直径的圆， 圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 整理得， 所以过，，三点的圆方程为：， 将方程与方程相减得两圆的公共弦方程：，即， 由得， 所以该定点的坐标为. 29、（2023上·白银市·高二期末）在平面直角坐标系中，已知圆和圆. （1）若直线过原点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； （2）是否存在点满足过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）和 （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）分类讨论直线的斜率存在与否，利用圆的弦长公式与点线距离公式列式求解即可； （2）假设存在满足条件的点，分析得两圆心到对应直线的距离相等，从而得到关于的关系式，利用的任意性求得的值，再检验两直线斜率一个为0，另一个不存在的情况，从而得解. 【小问1详解】 因为圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，直线即是轴， 此时直线被圆截得的弦长为，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由直线被圆截得的弦长为6，所以到直线的距离为， 则，解得，即直线为； 综上，直线的方程为和. 【小问2详解】 存在满足条件的点，点坐标为或，理由如下： 假设存在满足条件的点， 因为圆的圆心为，半径为， 设，因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 又两圆半径相等，所以圆心到直线与到直线的距离相等， 当两直线斜率存在且不等于0时， 设直线的方程分别为， 即. 故有， 整理得或， 因为关于的方程有无穷多解， 所以或，解得或， 故点的坐标为或； 当两直线斜率一个为0，另一个不存在时，点的坐标和也适合； 综上可知，存在点满足条件，此时点的坐标为或. 【点睛】关键点睛：本题第2小题解决的关键是如何处理式子，以及利用的任意性求得的值，从而得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$