精品解析：陕西省宝鸡市凤翔区2024-2025学年九年级上学期阶段性质量检测数学试卷

2024—2025学年度第一学期阶段性质量检测 九年级数学试题（卷） 全卷共120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点是线段上的一点，且线段，则线段等于（ ） A. B. C. D. 3. 秦腔，别称“梆子腔”中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，成熟于秦，是中国国家级非物质文化遗产之一．如图是某同学收藏的秦腔邮票，分别是《火焰驹》《三滴血》和《游西湖》，它们除正面外完全相同．把这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. AB∥DC，AB＝CD B. AB∥CD，AD∥BC C. AC＝BD，AC⊥BD D. OA＝OB＝OC＝OD 5. 方程x(x-2)=0的根为（ ） A. 0或2 B. 2 C. ±2 D. 0 6. 某市举办“乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆的出入口示意图．市民甲、乙从同一入口进入参观，参观结束后，甲、乙两人各自随机选择一个出口离开，他们恰好从同一出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米 8. 如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（ ）度． A. 112.5 B. 125 C. 135 D. 150 9. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（ ） A. x（20+x）=64 B. x（20﹣x）=64 C. x（40+x）=64 D. x（40﹣x）=64 10. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M(2，0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A. (3，1)或(3，3) B. (3，)或(3，3) C. (3，)或(3，1) D. (3，)或(3，1)或(3，3) 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为__________． 12. 已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为__________________． 13. 一个不透明的盒子中装有个除颜色外无其他差别的小球，其中有个黄球和个绿球，其余都是红球，从中随机摸出两个小球，恰好都是红球的概率为__________． 14. 如图，在中，，且的周长是，斜边上的中线长为，则__________． 15. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE 的最小值为______________ 三、解答题(本大题共10小题，共75分） 16. 解方程． （1）． （2）． 17. 如图，已知在矩形中，请用尺规作图，分别在上作点F，E，使四边形菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 19. 小明的手机没电了，现有一个只含A，B，C，D四个同型号插座的插线板（如图，假设每个插座都适合所有的充电插头，且被选中的可能性相同），请计算： （1）若小明随机选择一个插座插入，则插入插座C的概率为______； （2）现小明同时对手机和学习机两种电器充电，请用列表或画树状图的方法计算两种电器插在不相邻的插座的概率． 20. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且AF＝CE，求证：DF＝BE． 21. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？ 22. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相较于点O，与相较于N，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 某汽车专卖店经销某种新型号的汽车，已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低1万元，平均每周多售出2辆． （1）当售价为22万元/辆时，平均每周销售_____________辆； （2）若该店计划平均每周销售利润是90万元，为了尽量减少库存，求每辆汽车的售价． 24. 北京时间年月3日，瑞典皇家科学院宣布，将诺贝尔物理学奖授予皮埃尔·阿戈斯蒂尼、费伦茨·克劳什、安妮·卢利耶．这3位获得者所做的实验，为人类探索原子和分子内部的电子世界提供了新的工具．在诺贝尔奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．小轩家刚好有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书，小轩阅读完后任选一本写读后感． （1）小轩选到《朱棣文传》是________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） （2）小轩妹妹也从这四本传记书中任选一本写读后感，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好选到同一本书写读后感的概率． 25. 【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在△ABC中，，点是边的中点． 求证：． 【知识应用】（2）如图2，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．若，平分，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期阶段性质量检测 九年级数学试题（卷） 全卷共120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义判定即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知：， 故一定是一元二次方程的是， 故选D． 2. 如图，点是线段上的一点，且线段，则线段等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段的比，正确设出线段的长度是关键． 设，则，表示出的长度，即可求解． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， 故选：A． 3. 秦腔，别称“梆子腔”中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，成熟于秦，是中国国家级非物质文化遗产之一．如图是某同学收藏的秦腔邮票，分别是《火焰驹》《三滴血》和《游西湖》，它们除正面外完全相同．把这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：令三张邮票的正面是A，B，C，画树状图如下： 由图可知，一共有9种可能出现的结果，3种符合条件的结果，所以两次抽取的卡片正面相同的概率是． 故选C． 4. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. AB∥DC，AB＝CD B. AB∥CD，AD∥BC C. AC＝BD，AC⊥BD D. OA＝OB＝OC＝OD 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题． 【详解】解：A、AB∥DC，AB=CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； C、AC=BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； D、OA=OB=OC=OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确； 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有三个角是90°的四边形是矩形，属于中考常考题型． 5. 方程x(x-2)=0的根为（ ） A. 0或2 B. 2 C. ±2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据分解因式法解答即可． 【详解】解：∵x(x－2)=0， ∴x=0或x－2=0， ∴x=0或2． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握分解因式法求解的方法是关键． 6. 某市举办的“乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆的出入口示意图．市民甲、乙从同一入口进入参观，参观结束后，甲、乙两人各自随机选择一个出口离开，他们恰好从同一出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种， 他们恰好从同一出口走出概率是， 故选：． 7. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米 【答案】C 【解析】 【分析】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键．假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将种植地平移拼接为长方形，即可列出方程，进一步求出x的值即可． 【详解】解：假设修建的路宽应x米，则， ， 整理得： 解得：米，米(不合题意舍去)， 故选C． 8. 如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（ ）度． A. 112.5 B. 125 C. 135 D. 150 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角的性质．解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据正方形的性质得到，然后根据三角形外角的性质和等边对等角求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 9. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（ ） A. x（20+x）=64 B. x（20﹣x）=64 C. x（40+x）=64 D. x（40﹣x）=64 【答案】B 【解析】 【详解】设长方形的长为xcm，则长方形的宽为（20-x）cm， 根据长方形的面积等于长乘以宽可列方程：x（20﹣x）=64， 故答案选B． 10. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M(2，0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A. (3，1)或(3，3) B. (3，)或(3，3) C. (3，)或(3，1) D. (3，)或(3，1)或(3，3) 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；分两种情况：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案． 【详解】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°， ∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a； ①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2， 在Rt△MPC中，由勾股定理得： CM2＝MP2＋CP2＝1＋a2＋（4−a）2＋9＝2a2−8a＋26， 又∵CM2＝OM2＋OC2＝4＋16＝20， ∴2a2−8a＋26＝20， ∴（a−3）（a−1）＝0， 解得：a＝3或a＝1， ∴P（3，3）或（3，1）； ②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2， ∵CM2＝OM2＋OC2＝20， 在Rt△MCP中，由勾股定理得： CM2＋MP2＝CP2， ∴20＋1＋a2＝（4−a）2＋9， 解得：a＝． ∴P（3，）． 综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．将方程转化为一般形式后，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 12. 已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为__________________． 【答案】2cm或cm或cm 【解析】 【详解】设另外一条线段的长为acm，因四条线段成比例，可得或或，解得a=或a=或a= ，所以另外一条线段的长为2cm或cm或cm. 点睛：本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条，解决本题要注意分类讨论. 13. 一个不透明的盒子中装有个除颜色外无其他差别的小球，其中有个黄球和个绿球，其余都是红球，从中随机摸出两个小球，恰好都是红球的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可计算出红球的个数，画树状图把所有可能的结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：盒子中装有个除颜色外无其他差别的小球，其中有个黄球和个绿球，其余都是红球， ∴红球的个数是（个）， 画树状图表示所有可能的结果如图所示，（黄球用黄，黄表示，绿球用绿，绿，绿表示，红球用红，红表示）， 所有可能的结果有种，两个都是红球的结果有种， ∴恰好都是红球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列表或画树状图求随件事件的概率，掌握列表或画树状图的方法把所有可能的结果表示出来，概率的计算方法是解题的关键． 14. 如图，在中，，且周长是，斜边上的中线长为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用勾股定理可得，利用三角形的周长公式可得，然后利用完全平方公式可得的值，最后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵在中，斜边上的中线长为， ， ， ∵的周长是， ， ， ， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、完全平方公式等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． 15. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE 的最小值为______________ 【答案】 【解析】 【分析】作点F关于AC对称点F′根据正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴,可得点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′，P为AC上的一个动点，PF=PF′，则PF+PE=PF′+PE≥EF′，PF+PE的最小值为EF′的长即可． 【详解】解：作点F关于AC对称点F′， ∵正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴， ∴点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′， ∵P为AC上的一个动点， ∴PF=PF′ 则PF+PE=PF′+PE≥EF′， PF+PE的最小值为EF′的长， ∵AB=4，AF=2， ∴AF′=AF=2， ∴EF′=． 【点睛】本题考查正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短，掌握正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短是解题关键． 三、解答题(本大题共10小题，共75分） 16. 解方程． （1）． （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法即可求解． （2）移项，提取公因式即可求解． 【详解】（1） 解：， 或， ，． （2） 解： 或， ，． 【点睛】本题考查利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法和提公因式法解一元二次方程是解答本题的关键． 17. 如图，已知在矩形中，请用尺规作图，分别在上作点F，E，使四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作线段BD的垂直平分线，与指定二直线相交的交点就是所求． 【详解】解：如图，点E，F即为所求． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理，线段的垂直平分线的作图，熟练掌握菱形的判定，并能准确进行线段的垂直平分线的作图是解题的关键． 18. 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 【答案】（1）6；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC； （2）由平行可知 ，可得出结论． 【详解】解：（1）∵DE∥BC， ∴， 又，AE=3， ∴， 解得AC=9， ∴EC=AC-AE=9-3=6； （2）∵DE∥BC，EF∥CG， ∴， ∴AD•AG=AF•AB． 19. 小明的手机没电了，现有一个只含A，B，C，D四个同型号插座的插线板（如图，假设每个插座都适合所有的充电插头，且被选中的可能性相同），请计算： （1）若小明随机选择一个插座插入，则插入插座C的概率为______； （2）现小明同时对手机和学习机两种电器充电，请用列表或画树状图的方法计算两种电器插在不相邻的插座的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． （1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两个插头插在不相邻插座的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 小明随机选择一个插座插入，则插入的概率； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两个插头插在不相邻插座的结果数为6， 所以两个插头插在不相邻插座的概率． 20. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且AF＝CE，求证：DF＝BE． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用矩形的性质，证明Rt△ADF≌Rt△CBE，即可得解． 【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°， 在Rt△ADF与Rt△CBE中， AD＝CB，AF＝CE， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）， ∴DF＝BE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质以及HL的判定方法判断直角三角形全等是解题的关键． 21. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？ 【答案】每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台 【解析】 【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有1+x+（1+x）x=81，再解方程求出满足条件的x的值，然后计算81（1+x）即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，得： 1+x+（1+x）x=81 即（1+x）2=81 解得x1=8，x2=﹣10（不合题意，舍去）， 所以经过三轮感染后，被感染的电脑共有81+81×8=729台． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是本题的关键． 22. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相较于点O，与相较于N，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质求出，推出，，证，推出，得出平行四边形，推出菱形； （2）根据菱形性质求出，在中，根据勾股定理得出，推出，求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 设长，则， 在中， 即 解得：． 即：． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用．注意对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 23. 某汽车专卖店经销某种新型号的汽车，已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低1万元，平均每周多售出2辆． （1）当售价为22万元/辆时，平均每周销售_____________辆； （2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽量减少库存，求每辆汽车的售价． 【答案】（1）14 （2）每辆汽车的售价为20万元 【解析】 【分析】（1）先求出降价3万元，从而求得平均每周多售出辆，即可求解； （2）设每辆汽车降价x万元，则售价为万元，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵（万）， ∴（辆）， 故答案为：14； 【小问2详解】 解：设每辆汽车降价x万元，则售价为万元， 根据题意，得， 整理，得， 解得， ∵了尽量减少库存， ∴， ∴， 答：每辆汽车的售价为20万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系列方程是解题的关键． 24. 北京时间年月3日，瑞典皇家科学院宣布，将诺贝尔物理学奖授予皮埃尔·阿戈斯蒂尼、费伦茨·克劳什、安妮·卢利耶．这3位获得者所做的实验，为人类探索原子和分子内部的电子世界提供了新的工具．在诺贝尔奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．小轩家刚好有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书，小轩阅读完后任选一本写读后感． （1）小轩选到《朱棣文传》是________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） （2）小轩的妹妹也从这四本传记书中任选一本写读后感，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好选到同一本书写读后感的概率． 【答案】（1）不可能； （2）； 【解析】 【分析】（1）本题考查事件的分类，根据事件结果情况直接判断即可得到答案； （2）本题考查树状图法求概率，根据题意画出树状图，求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵小轩家有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书， ∴小轩选到《朱棣文传》是不可能事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：由题意可得，树状图如图所示， 总共有种情况，他们恰好选到同一本书的有4种， ∴． 25. 【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在△ABC中，，点是边的中点． 求证：． 【知识应用】（2）如图2，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．若，平分，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）延长至D，使，连接，证明四边形是平行四边形，由，证明四边形是矩形，即可证明结论； （2）根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明．再证明，根据即可解决问题． 【详解】（1）证明：延长至D，使，连接， ∵点O是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：在中， 、分别是、的中点， ，， 中， 是中点， ， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$