5.5 一元一次方程的应用（3） 课件 2024—2025学年浙教版数学七年级上册

一元一次方程的应用 年 级：七年级 学 科：初中数学（浙教版） 实际问题 用方程解决的一般过程 审题→设元→列方程→解方程→检验 一、回顾旧知，提出问题 ★理解问题 分析数量关系，寻找等量关系 厘清关系的方法有哪些呢？ 行程问题 容斥问题 调配问题 2 问题1：A、B两地相距260千米，甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行，甲车先出发1小时，乙车出发2小时后与甲车相遇. 已知甲车每小时比乙车多行5千米. 问甲、乙两车的速度分别是多少？ 二、分析问题，探究方法 思考1：根据问题情境，可判断该问题属于__________________问题； 思考2：对于行程问题，你想到哪种方法来快速厘清数量关系呢？请找到等量关系列方程解决。 行程（相遇） 前1小时甲车的路程 后2小时乙车行驶的路程 后2小时甲车行驶的路程 260千米 A地 B地 线段图示法： 等量关系：AB总路程=前1小时甲的路程+后2小时甲的路程+后2小时乙的路程 (x+5)+2(x+5)+2x=260， x=49 答：乙车速度为49千米/时，甲车速度为54千米/时. 等量关系：甲车的速度=乙车的速度+5 解：设乙车速度为x千米/时，则甲车速度（x+5）千米/时. 甲车的速度=乙车的速度+5 3 问题1：A、B两地相距260千米，甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行，甲车先出发1小时，乙车出发2小时后遇到甲车. 已知甲车每小时比乙车多行5千米. 问甲、乙两车的速度分别是多少？ 思考3：若将“相向而行”改成“同向而行”，请借助线段图分析下等量关系会有什么不同？ 前1小时甲车的路程 后2小时乙车行驶的路程 后2小时甲车行驶的路程 260千米 A地 B地 等量关系：AB相距路程=前1小时甲的路程+后2小时甲的路程—后2小时乙的路程。 同向而行， 线段图示法：能将文字题意直译成图示，在线段和差关系中直观地寻找到隐藏的等量关系。 前1小时甲车的路程 后2小时乙车行驶的路程 后2小时甲车行驶的路程 260千米 A地 B地 等量关系：AB总路程=前1小时甲的路程+后2小时甲的路程+后2小时乙的路程。 二、分析问题，探究方法 4 变式：甲从A地出发行驶到B地需3小时，乙车从B地出发行驶到A地需2小时. 甲车先从A地出发1小时后，乙车从B地出发，两车相向而行，问乙车出发几小时两车相遇？ 任务：请分析该问题的数量关系，并用方程解决此问题。 A地 B地 前1小时 甲车 的路程 后几小时乙车行驶的路程 后几小时甲车行驶的路程 二、分析问题，探究方法 等量关系：AB总路程=前1小时甲的路程+后几小时甲路程+后几小时乙路程。 未知量：总路程、两车速度、相遇时间 AB总路程 全程时间 速度 甲车 S 3 乙车 S 2 设乙车出发x小时两车相遇 AB总路程 全程时间 速度 甲车 1 3 乙车 1 2 答：再过0.8小时两车相遇. 寻 找 等 量 当具体数量不明确时，我们可用单位“1”表示总量。 列表法：抓住问题的基本量和基本关系，清晰、条理地表示每个对象每个量的情况。 三个 基本量 研 究 对 象 5 问题2：学校组织植树活动，已知在甲地植树的有23人，在乙地植树的有17人.现调配20人去支援，若现在甲地植树的人数是乙地植树人数的2倍多3人，那么调往甲、乙各几个人？ 任务：这个调配问题适合借助什么方法来分析呢？请在学习单上进行尝试，并用方程解决。 温馨提示：如有困难，可借助以下三个问题帮助思考： （1）上面的问题中有几个研究对象？涉及哪些量？ （2）哪些已知？哪些未知？ 可采取怎样的方式梳理？ （3）等量关系有哪些？根据哪条等量关系列方程？ 研究对象：甲地、乙地 研究量：调配前人数、调配的人数、调配后人数 调配前人数 调配的人数 调配后人数 甲地 乙地 17 23 23+x x 调配问题的三个基本量 研 究 对 象 列表法： 20-x 17+20-x 等量关系2：甲地调配后人数=2×乙地调配后人数+3 二、分析问题，探究方法 + = 等量关系1：调配甲地的人数+调配乙地的人数=20人 6 问题2：学校组织植树活动，已知在甲地植树的有23人，在乙地植树的有17人.现调配20人去支援，若现在甲地植树的人数是乙地植树人数的2倍多3人，那么调往甲、乙各几个人？ 任务：这类调配问题适合借助什么方法来分析呢？请在学习单上进行尝试，并用方程解决。 调配前人数 调配的人数 调配后人数 甲地 乙地 17 23 23+x x 调配问题的三个基本量 研 究 对 象 方法1： 20-x 17+20-x 等量关系：甲地调配后人数=2×乙地调配后人数+3 23+x=2(17+20-x)+3 x=18 20-x=2 答：调配18人到甲地，调配2人到乙地. 解：设调配x人到甲地. 二、分析问题，探究方法 设元，列代数式 调配前人数 调配的人数 调配后人数 甲地 乙地 17 23 2x+3 2x+3-23 调配问题的三个基本量 研 究 对 象 方法2： x-17 x 等量关系：调配总人数=甲地调配的人数+乙地调配的人数 设元，列代数式 列方程： 列方程： (2x+3-23)+(x-17)=20 x=19 2x+3-23=18，x-17=2 答：调配18人到甲地，调配2人到乙地. 解：设调配后乙地的人数为x人. 两条等量关系： 一条用来设元列代数式； 一条用来列方程。 7 变式： 学校组织植树活动，已知在甲地植树的有23人，在乙地植树的有17人.若仅从两地内部调整，能否实现甲地植树的人数是乙地植树人数的2倍多3人？若能，请给出方案；若不能，请说明理由。 调配前人数 调配的人数 调配后人数 甲地 乙地 17 23 23+x +x 列表法： -x 17-x 等量关系：甲地调配后人数=2×乙地调配后人数+3 所以，仅从两地内部调整，不能实现甲地植树的人数是乙地植树人数的2倍多3人. 解：设乙地调配出去的人数为x人， 23+x=2(17-x)+3 二、分析问题，探究方法 列表法：抓住基本量和研究对象列表。在分析数量关系时，有着以不变应万变的优越性。 等量关系：甲地调配进来的人数=乙地调配出去的人数 调配问题的三个基本量 研 究 对 象 x= 不是整数 8 问题3：七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社.已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人，问参加书画社有多少人？ 思考1：是否存在一种更合适的分析方式能呈现“两社都参加的人数”呢？ 文学社人数 书画社人数 总人数 x+5 x 45 分析方法： 总人数=文学社人数+书画社人数 等量关系： 解：设参加书画社的人数为x人， 参加文学社为（x+5)人 x+x+5=45，x=20 答：参加书画社有20人. 甲同学 × 没有呈现 二、分析问题，探究方法 问题3：七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社.已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人，问参加书画社有多少人？ 思考1：是否存在一种更合适的分析方式能呈现“两社都参加的人数”呢？ 参加文学社的人数 参加书画社的人数 面积图示法 （韦恩图） 只参加的 文学社的人数 只参加的 书画社的人数 两个都参加的人数 思考2：结合面积示意图和题意，请列方程求解。 等量关系1： 参加书画社人数＋参加文学社人数－两个都参加人数＝总人数 等量关系2： 只参加书画社人数＋只参加文学社人数+两个社都参加人数＝总人数 温馨提示：（1）各区域面积代表的含义？（2）结合图示找到怎样的等量关系？ 解：设参加书画社的人数为x人，参加文学社为（x+5)人 x+(x+5)-20=45 x=30， 答：参加书画社有30人. 解：设参加书画社的人数为x人，参加文学社为（x+5)人， 则只参加书画社的人数为(x-20)人，只参加书画社为(x+5-20)人， x-20+(x+5-20)+20=45 x=30， 答：参加书画社有30人. 参加文学 社的人数比参加书画社的人数多5人 二、分析问题，探究方法 变式： 七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社。若经过面试淘汰，两个社团都参加或都不参加都是15人，参加文学社的人数是参加书画社的1.5倍，问只参加书画社有多少人？ 任务：请借助面积示意图进行分析，利用方程解决问题。 两个都不参加 参加书画社的人数 参文学社的人数 两个都参加 等量关系1：总人数=参加书画社+参加文学社-两个都参加+两个都不参加 间接设元法 解：设参加书画社的人数为x人，参加文学社为1.5x人 x+1.5x-15+15=45 x=18， 只参加书画有x-15=3人 答：只参加书画社有3人. 难点：如何呈现“两个都不参加”的部分？ 面积图示法：是一种通过面积直观展示多个对象相交、互斥、互补的关系图表，适合容斥问题的分析。 二、分析问题，探究方法 等量关系2：总人数=只参加书画社人数＋只参加文学 社人数+两个社都参加人数+两个都不参加 直接设元法 解：设只参加书画社的人数为x人，只参加文学社为[1.5(x+15)-15]人 x+[1.5(x+15)-15]+15+15=45 x=3 答：只参加书画社有3人. 实际问题 用方程解决的一般过程 审题→设元→列方程→解方程→检验 ★理解问题 分析数量关系，寻找等量关系 厘清关系的方法有哪些呢？ 行程问题 容斥问题 调配问题 三、归纳小结，梳理方法 12 列表法 线段图示法 面积图示法 线段图示法：在线段关系中寻找到的等量关系。 列表法：抓住问题的基本量及关系，罗列出每个对象的情况。 面积图示法：适合体现多个对象之间交、并、补情况，用面积关系寻找等量关系。 实际问题 用方程解决的一般过程 审题→设元→列方程→解方程→检验 ★理解问题 分析数量关系，寻找等量关系 厘清关系的方法有哪些呢？ 三、归纳小结，梳理方法 13 谢谢观看！ $$