专题02 二次函数图像和性质与系数的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题02 二次函数图像和性质与系数的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、二次函数中含参数的图像和性质 1 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 5 类型三、二次函数图像与各项系数符号问题 7 类型四、二次函数的性质综合问题 12 压轴能力测评（15题） 17 解题知识必备 1. 二次函数的图像和性质与系数的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交 压轴题型讲练 类型一、二次函数中含参数的图像和性质 例题：（2024·陕西西安·模拟预测）关于x的二次函数的图象下列说法不正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，图象上的最低点为 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数的图象上 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数性质，根据二次函数，反比例函数的图形与性质逐项分析解答即可．熟练掌握二次函数性质是关键． 【详解】解：A、抛物线对称轴为，故原说法正确，不符合题意； B、当时，抛物线解析式为，顶点的坐标，故原说法正确，不符合题意； C、当时，开口方向不确定，的增减性也不确定，故原说法错误，符合题意； D、，，图象的顶点为，故顶点一定在函数的图象上，故原说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）点是二次函数图象的顶点，轴，且交一次函数的图象于点，点在轴上，下列结论错误的是（） A．点一定在二次函数图象上 B． C．当最小时，的最小值是3 D．若两个函数图象在第四象限有交点，则 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、一次函数图象与坐标轴的交点问题、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】二次函数， 当时，， 点一定在二次函数图象上，故选项A正确； 二次函数， 该函数的顶点坐标为， 点的坐标为， 点在上，轴， 点N的坐标为， ， 故选项B正确； 当最小时，，此时 点的坐标为，点的坐标为， 点在轴上，点M，N在y轴的左侧， 关于y轴对称点为 ，则直线与y轴的交点即为点P，此时的值最小， ， 的最小值是，选项C错误； 二次函数， 该函数图象开口向下，对称轴为直线， 当时，， 该函数图象与轴交于点， 一次函数与轴交于点，与轴交于点， 将代入，得，解得：， 将代入，得，解得：， 两函数图象在第四象限有交点， ， 故选项D正确； 故选：C． 【变式训练2】（2024·山东威海·一模）在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（    ） A．若，抛物线的对称轴为直线 B．若且，则的取值范围为或 C．若，则抛物线的开口向下 D．若，点在该拋物线上，且，则有 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质： 若，把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解； 若，把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：当时，点， 把点代入得：， 解得：， ∴该函数解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线；选项A说法正确，不符合题意； 令，则， 解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，m的取值范围为或；选项B说法正确，不符合题意； 若， 把点代入得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，选项C说法正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴到对称轴的距离大于对称轴的距离， ∴．选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 例题：（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】A.由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项错误； B. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； C. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项正确； D. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； 故选：C． 【变式训练1】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象确定出a、b、c的符号，再判断反比例函数与一次函数所在的位置即可． 【详解】解：根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，由与y轴交点在正半轴可得， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数经过第一、二、三象限， 符合条件的只有A选项， 故选：A． 【变式训练2】（2024·全国·二模）如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，掌握一次函数、二次函数以及反比例函数的图象和性质是解题关键．由抛物线图象可知，，，进而判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在正半轴， ，，， 函数的图象经过第一、三、四象限，函数在第一、三象限， 故选：B． 类型三、二次函数图像与各项系数符号问题 例题：（24-25九年级上·北京大兴·期中）如图，抛物线与x轴交点为，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则n的取值范围为．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据函数图象确定，，的符号，由，且确定对称轴，再逐个推理判断即可． 【详解】解：抛物线过，且，抛物线开口向下， ，，， ∴根据左同右异，，故①正确； 由和可得，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当都在对称轴左侧时，随的增大而增大，此时总有， ∵， ∴，即，故④错误， 综上，可得正确结论的序号是：①②③． 故选：B． 【变式训练1】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的有（    ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵函数图象与轴的交点在轴的负半轴可知， ∴， 故①正确； 函数图象开口向上， ， ∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴故， 故②正确； 把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即， 故③正确； ∵， ∴， 故④错误； ∵， ∴， 故⑤正确； 其中正确信息的有①②③⑤． 故选：A． 【变式训练2】（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，已知顶点为的抛物线过，下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③：④若，则；⑤，其中结论正确的为 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴结论正确的为①③⑤， 故答案为：①③⑤． 【变式训练3】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）二次函数的部分图象如图，图象过点，与y轴的交点在，之间（包含端点），对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤；⑥（m为任意实数）．其中正确的结论有 ． 【答案】①③⑤⑥ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象的对称轴可判断①；根据时的函数值可判断②；根据函数图象经过得到，结合，可判断③；确；根据函数图象的开口方向和对称轴可判断④⑥；根据图象过点得到， 再根据y轴的交点在，之间（包含端点）得到，进而可判断⑤；进而可解答． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ②当时，， ∴， ∴，故②错误； ③∵图象过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故④错误； ⑤∵图象过点， ∴， ∴， ∴， ∵y轴的交点在，之间（包含端点）， ∴，即， ∴，故⑤正确； ⑥∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴（m为任意实数）， ∴（m为任意实数），故⑥正确； 故答案为：①③⑤⑥． 类型四、二次函数的性质综合问题 例题：（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）已知抛物线． (1)若抛物线的顶点在轴上，求的值； (2)若时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或； (2)的取值范围是． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（）根据顶点在轴上，则抛物线与轴只有个交点，然后解一元二次方程即可； （）根据二次函数的性质，对称轴的右侧随的增大而增大，从而求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有个交点， ∴，整理得：， 解得：，， ∴的值为或； （2）解：由抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵时，随的增大而增大， ∴， ∴的取值范围是． 【变式训练1】（24-25九年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，、是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （）由题意可得点离对称轴更近，点与点的中点在对称轴的右侧，即得，得到，进而由得到或，再分这两种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【详解】（1）解：∵对于，，有， ∴， ∴， ∴， ∴对称轴为直线， ∴； （2）解：∵，， ∴点离对称轴更近，点与点的中点在对称轴的右侧， ∴， ∴， ∵， ∴或， ①当时，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②当时，则， ∵始终要满足， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 【变式训练2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)抛物线的对称轴为______（用含的式子表示），当时，与的大小关系为______（填“”“”或“”）； (2)若，且对于每个，都有成立． ①求的取值范围； ②若抛物线还过点，求证：如果，那么． 【答案】(1)直线； (2)①或 ；②证明见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）直接利用对称轴公式可得对称轴，利用抛物线的增减性即可判定与大小； （2）①利用抛物线开口向上，则离对称轴距离越近的点的函数值越小，可得点到对称轴直线的距离一定恒大于点到对称轴直线的距离，再结合，可得结果； ②分和两种情况讨论，分别判断和的大小关系，再结合，即可求证． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，抛物线与轴交点为， ∴关于直线的对称点为， ∵， ∴， 根据抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， ∴， 故答案为：直线；； （2）解：①∵对于每个，都有成立，且抛物线开口向上， ∴点到对称轴直线的距离一定恒大于点到对称轴直线的距离， ∵点到对称轴直线的距离为， ∴点到对称轴直线的距离恒大于， ∵， ∴或， ∴或； ②证明：当时， ∵， ∴点到对称轴直线的距离小于， ∵点到对称轴直线的距离为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 当时， ∵， ∴点到对称轴直线的距离小于， ∵点到对称轴直线的距离为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 综上，． 【变式训练3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数（）． (1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴． (2)已知点，，，都在该二次函数图象上， ①请判断与的大小关系：_________（用“>”“=”“<”填空）； ②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围． 【答案】(1)，． (2)①=    ② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解决此题的关键． （1）根据对称轴公式和y轴上点的坐标特征即可求得； （2）①根据二次函数的性质和图象即可； ②根据二次函数的性质和图象，要把a分情况讨论，再根据y与x的关系得到答案即可． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴令时，，函数图象的对称轴为直线， ∴二次函数图象与y轴的交点为，函数图象的对称轴为直线； （2）解：①∵函数图象的对称轴为直线， ∴点和点关于对称轴对称， ∴． 故答案为：； ②由上可知， ∴只需要比较、、， 分两种情况： 当时， ∵距离对称轴越远就越大， ∴， 而， ∴此种情况舍去； 当时， ∵距离对称轴越远越小， ∴， 则必有， 得出不等式， 解得：． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，按从大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据各点到对称轴的距离，即可得出答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上， 到对称轴距离为4，到对称轴距离为1，到对称轴距离为3， 根据三点距离对称轴越大，函数值越大可知：， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东中山·期中）二次函数的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．对称轴是直线 C．当，随的增大而增大 D．当或时， 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数的图象：的图象为抛物线，可利用列表、描点、连线画出二次函数的图象．也考查了二次函数的性质．由图象可得抛物线开口方向，从而可得函数有最小值，由抛物线与x轴交点可得抛物线对称轴及y随x增大而减小的取值范围，根据抛物线开口方向及抛物线与x轴交点横坐标可得函数值小于0的x的取值范围，进而求解． 【详解】解：由抛物线的开口向上，可知，函数有最小值，不正确，故A选项不符合题意； B．由图象可知，对称轴为，不正确，故B选项不符合题意； C．因为，所以，当时，随的增大而减小，不正确，故C选项不符合题意； D．由图象可知：当或时，，正确，故D选项符合题意． 故选D． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可，掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，在， ∴当时函数有最小值， ∴， 解得：, 综上所述：的值为或， 故选：． 4．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）二次函数的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数反比例函数和二次函数的图象分布，熟练掌握各函数系数的性质是关键．根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在轴右侧，，图象与轴交于正半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可． 【详解】根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在轴右侧，，图象与轴交于正半轴，， 一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合， 故选：B． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　） ①当时，y随x的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，则． A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 解：①：∵二次函数（a为非零常数，）， ∴，，， 又∵当时，y随x的增大而增大， ∴，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， 故①正确； ②：∵二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大， ∴， 若图象经过点，则，得， ∵，， ∴ ， 故②错误； ③：又∵对称轴为直线，， ∴ ， ∴若，是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则， 故③正确； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，， 则满足， 解得 ， 故④正确； ∴①③④正确；②错误． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·上海·期中）已知点和在二次函数图象上，则 ．（填或） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据，，，距离对称轴越近，函数值越大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向下，对称轴是直线， ∵，， 又∵， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）．当时，时，，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系．将代入可得二次函数的解析式为，再求出时，或；时，，然后结合二次函数的图象即可得． 【详解】解：当时，， 当时，，解得或， 由二次函数的性质可知，当时，， 如图，当时，， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质及其与一元二次方程的关系．由抛物线与轴有两个交点可判断①；由对称轴以及抛物线与轴的交点可判断②；关于的一元二次方程没有实数根，即关于的二次函数与直线没有交点，据此可判断③；由函数顶点坐标，得有最大值，进而得，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，则， ∴故①正确； 根据题意可得：，， ∵顶点坐标， ∴， ∴， ∴故②错误； 由关于的一元二次方程没有实数根，可知， ∴抛物线图象与的图象没有交点，则，故③正确； ∵顶点坐标， ∴当是，有最大值， ∵点是抛物线上任意一点， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点是直线的一个动点，且有最小值，则的值为 ． 【答案】 或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解一元二次方程，理解二次函数的性质是解答关键． 根据题意先表示出，利用得到，利用有最小值来求解． 【详解】解：点是直线的一个动点， ， ． 有最小值， 且， 整理得， 解得，， 经检验，，都是方程的根，符合题意． 故答案为：1或． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且，，． （1）若点在点的右侧，且，则二次函数的对称轴是 ． （2）若点，均在二次函数图象上，当且当时，有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 直线 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的交点式、二次函数的对称性、二次函数的增减性，解题的关键是学会用含有未知数的式子表示线段或点的坐标． （1）利用的线段长度和点的坐标求得点的坐标，然后求得二次函数的对称轴； （2）先求出对称轴，然后利用对称性求出点的对称点坐标，再利用已知条件和二次函数的增减性与对称性，对情况讨论即可． 【详解】解：（1）①，，当在右侧时， ， 对称轴为直线， 故答案为：直线； （2）令，则， 或， 函数图象与轴的两个交点坐标为，， 由，设，则， 将代入得，， ， ，． 抛物线的对称轴为：直线， 由题意得，关于对称轴的对称点，， ，时，有， ， ， 时，点与点重合，不符合条件，舍去， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 【知识点】求不等式组的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）将抛物线化成顶点式即可求得其对称轴； （2）分两种情况讨论：当时；当时；根据二次函数的增减性得到关于的不等式组，解之，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：分两种情况： 当时， 如图，此时，抛物线开口向上，点在对称轴左侧， 设点的对称点的坐标为 由轴对称的性质可知， ， ， ， ， ， 或， 即：或， 解得：或（与相矛盾，故舍去）； 当时， 如图，此时，抛物线开口向下， 分两种情况： （1）当点在对称轴左侧时， 设点的对称点的坐标为 由轴对称的性质可知， ， ， ， ， ， ， 即：， 解得：； （2）当点在对称轴右侧时， 设点的对称点的坐标为 由轴对称的性质可知， ， ， ， ， ， ， 即：， 该不等式组无解； 综上所述，的取值范围为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 12．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若点在抛物线上，直接写出的值； (2)已知和是抛物线上的三点．当时，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质的运用， （1）把点代入计算即可求解； （2）根据二次函数解析式可得对称轴为，分类讨论：当时，图像开口向上，当时，随的增大而增大，离对称轴越远，值越大；当，图像开口向下，当时，随的增大而减小，离对称轴越远，值越小；由此即可求解． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ∴，整理得，， ∵， ∴或； （2）解：抛物线， ∴对称轴为， 当时，，则顶点坐标为， 当时，图像开口向上，当时，随的增大而增大，离对称轴越远，值越大， ∵，则， ∵， ∴点在对称轴左边，点在对称轴右边，且在点右边， ∴点关于对称轴的点， ∴， 解得，； 当，图像开口向下，当时，随的增大而减小，离对称轴越远，值越小， ∴， 解得，； 综上所述，或． 13．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线L的解析式为（m，n为常数）． (1)若抛物线L的顶点在第四象限，且，求m的取值范围； (2)若抛物线L经过点，将抛物线L经过平移后得到抛物线S，点P的对应点为点，其中．抛物线仍然经过点P，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象的平移，解不等式组，综合运用相关知识是解题的关键． （1）将抛物线L的解析式转化为顶点式，得到顶点坐标，根据顶点在第四象限，且可得到关于m的不等式组，求解即可； （2）根据抛物线L的解析式为过点，得到，则抛物线L的解析式可化为，根据平移得到抛物线S的解析式为，又由抛物线S过点，可得，整理并结合即可求的m的最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线L的解析式， ∴抛物线L的顶点坐标为， ∵顶点在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴不等式化为， 解得：． （2）解：∵抛物线L的解析式为过点， ∴， ∴， ∴抛物线L解析式， ∵点的对应点为点且经过点P， 可知抛物线向左平移t个单位后向下平移个单位 ， ∴抛物线L平移后对应的抛物线S的解析式为， 即， ∵抛物线S过点， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴m的最小值为． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数 (a，b是实数，且) (1)已知，若的对称轴为直线，求的对称轴； (2)若函数图象经过点，点，求证：函数的图象也经过A、B两点； (3)设函数和函数的最小值互为相反数，求的值． 【答案】(1)直线 (2)见解析 (3)0 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意可得，然后根据二次函数的对称轴公式及题意可进行求解； （2）把点A、B代入解析式，然后可得a、b的数量关系，进而问题可求解； （3）由题意易得a、b的关系式，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴的对称轴为直线，的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴的对称轴为直线； （2）证明：由题意得：，把点，点代入得： ；； ∴当时，则代入得：，则点A在函数的图象上； 当时，则代入得：，则点B在函数的图象上； （3）解：由函数和函数的最小值互为相反数，可知：， ∴的最小值为，的最小值为， ∴， 整理得：， ∵， ∴． 15．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，． (1)请比较与的大小，并说明理由； (2)记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点）；y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围； (3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)或 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）将一般式转化为顶点式，求出对称轴方程，进而即可得解； （2）将，代入解析式，求出，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即可； （3）分点M在点A的左侧；点A的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线对称轴为：直线，开口向上， ∵点，，且， ∴； （2）解：由可知： 抛物线的顶点坐标为：， 当时：， 当时：， ∴， ∵， ∴过点C垂直于y轴的直线l：，如图： 由图象可知：当或时，直线l与F有且仅有一个交点， ∴a的取值范围为：或； （3）解：∵， ∴， 当时，， ∴， ①当M在点A的左侧，即：，时： 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小， ∴， 解得：或（舍掉）； ②当M在点A的右侧，对称轴的左侧时，此时，不符合题意； ③当M对称轴的右侧，即时，当时， 此时A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：不符合题意； ③当M对称轴的右侧，即时，当时， 此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小， ∴， 解得：（舍），或； ∴； 综上： 或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数图像和性质与系数的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、二次函数中含参数的图像和性质 1 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 5 类型三、二次函数图像与各项系数符号问题 7 类型四、二次函数的性质综合问题 12 压轴能力测评（15题） 17 解题知识必备 1. 二次函数的图像和性质与系数的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交 压轴题型讲练 类型一、二次函数中含参数的图像和性质 例题：（2024·陕西西安·模拟预测）关于x的二次函数的图象下列说法不正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，图象上的最低点为 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数的图象上 【变式训练1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）点是二次函数图象的顶点，轴，且交一次函数的图象于点，点在轴上，下列结论错误的是（） A．点一定在二次函数图象上 B． C．当最小时，的最小值是3 D．若两个函数图象在第四象限有交点，则 【变式训练2】（2024·山东威海·一模）在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（    ） A．若，抛物线的对称轴为直线 B．若且，则的取值范围为或 C．若，则抛物线的开口向下 D．若，点在该拋物线上，且，则有 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 例题：（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【变式训练1】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式训练2】（2024·全国·二模）如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　   ） A．B．C．D． 类型三、二次函数图像与各项系数符号问题 例题：（24-25九年级上·北京大兴·期中）如图，抛物线与x轴交点为，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则n的取值范围为．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练1】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的有（    ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【变式训练2】（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，已知顶点为的抛物线过，下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③：④若，则；⑤，其中结论正确的为 ．（填序号） 【变式训练3】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）二次函数的部分图象如图，图象过点，与y轴的交点在，之间（包含端点），对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤；⑥（m为任意实数）．其中正确的结论有 ． 类型四、二次函数的性质综合问题 例题：（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）已知抛物线． (1)若抛物线的顶点在轴上，求的值； (2)若时，随的增大而增大，求的取值范围． 【变式训练1】（24-25九年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，、是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【变式训练2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)抛物线的对称轴为______（用含的式子表示），当时，与的大小关系为______（填“”“”或“”）； (2)若，且对于每个，都有成立． ①求的取值范围； ②若抛物线还过点，求证：如果，那么． 【变式训练3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数（）． (1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴． (2)已知点，，，都在该二次函数图象上， ①请判断与的大小关系：_________（用“>”“=”“<”填空）； ②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，按从大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东中山·期中）二次函数的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．对称轴是直线 C．当，随的增大而增大 D．当或时， 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）二次函数的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　） ①当时，y随x的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，则． A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 二、填空题 6．（24-25八年级上·上海·期中）已知点和在二次函数图象上，则 ．（填或） 7．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）．当时，时，，则m的取值范围是 ． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点是直线的一个动点，且有最小值，则的值为 ． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且，，． （1）若点在点的右侧，且，则二次函数的对称轴是 ． （2）若点，均在二次函数图象上，当且当时，有，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围． 12．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若点在抛物线上，直接写出的值； (2)已知和是抛物线上的三点．当时，都有，求a的取值范围． 13．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线L的解析式为（m，n为常数）． (1)若抛物线L的顶点在第四象限，且，求m的取值范围； (2)若抛物线L经过点，将抛物线L经过平移后得到抛物线S，点P的对应点为点，其中．抛物线仍然经过点P，求m的最小值． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数 (a，b是实数，且) (1)已知，若的对称轴为直线，求的对称轴； (2)若函数图象经过点，点，求证：函数的图象也经过A、B两点； (3)设函数和函数的最小值互为相反数，求的值． 15．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，． (1)请比较与的大小，并说明理由； (2)记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点）；y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围； (3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$