专题01 二次函数的图像和性质的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题01 二次函数的图像和性质的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 2 类型二、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 4 类型三、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 7 类型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴 12 类型五、根据二次函数的增减性求最值 14 类型六、二次函数的平移 18 压轴能力测评（16题） 19 解题知识必备 1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 2. 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 3. 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 4. 二次函数的平移 （1） 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2） 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 压轴题型讲练 类型一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 例题：（23-24九年级上·浙江温州·期末）将二次函数的解析式化成的形式为 . 【变式训练1】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）将二次函数转化为的形式为 ． 【变式训练2】（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）用配方法把二次函数写成的形式为 ． 【变式训练3】（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数化为的形式为 ． 类型二、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 例题：（2024·四川绵阳·模拟预测）关于二次函数的性质说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．函数最小值为2 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 【变式训练1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）对抛物线而言，下列结论正确的是（   ） A．开口向上 B．与轴的交点坐标是 C．与两坐标轴有两个交点 D．当时，有最大值 【变式训练2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 【变式训练3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x …           0 3 5 … y …           0           … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【变式训练4】（2024·河北·模拟预测）若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点； ④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．其中正确的结论是（ ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 类型三、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 例题：（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）已知二次函数，完成下列各题： (1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． (2)求出它的图象与x轴的交点坐标． (3)在直角坐标系中，画出它的图象． (4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？ (5)根据图象说明：当x为何值时， 【变式训练1】（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的顶点坐标和对称轴； (2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______． 【变式训练2】（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶ x … 0 1 … y … 0 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______________． 【变式训练3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围为______． 类型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴 例题：（23-24九年级上·湖南湘西·期末）某二次函数的图象过点，利，则此二次函数的图象的对称轴为 ． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若二次函数的图象经过、两点，则这个函数图象的对称轴为 ． 【变式训练2】（23-24九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数的的部分对应值如下表： … … … … 则该二次函数图象的对称轴为直线 ． 【变式训练3】（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 类型五、根据二次函数的增减性求最值 例题：（2024·广西·三模）已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ． 【变式训练1】（2024·山东泰安·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 【变式训练2】（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ． 【变式训练3】（2023九年级·安徽·专题练习）（1）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ． （2）将二次函数配方后变成 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ；当时，函数的取值范围是 ． （3）二次函数的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ． （4）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 当a 0时，二次函数有最小值，最小值为 ． 【变式训练4】（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 类型六、二次函数的平移 例题：（23-24九年级上·山东济南·期末）要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 【变式训练1】（23-24九年级上·广东东莞·期中）把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的解析式是 ． 【变式训练2】（23-24九年级下·北京顺义·阶段练习）将二次函数向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数表达式是 ． 【变式训练3】（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·天津南开·期中）下列各点在二次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）关于二次函数的性质，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 3．（24-25九年级上·山东滨州·期中）将拋物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）若点，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）二次函数在范围内的最大值是（    ） A． B． C． D．1 二、填空题 6．（24-25九年级上·北京·期中）把二次函数的表达式化为的形式 ． 7．（24-25九年级上·北京海淀·期中）抛物线的顶点的坐标为 ． 8．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）将抛物线：向左平移1个单位，向上平移1个单位后得到新抛物线：，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·北京·期中）无论非零实数m取何值，抛物线一定经过的定点的坐标是 ． 10．（24-25九年级上·福建厦门·期中）函数在有最大值6，则实数的值是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数解析式为 (1)求该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (2)直接写出：当自变量x为何值时，y随x的增大而减小？ 12．（北京市房山区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)画出这个二次函数的图象； (3)根据图象回答：当时，的取值范围是______． 13．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法求函数的顶点坐标； (2)回答下列问题： ①当x　　时，y随x的增大而减小； ②当x　　时，函数y有最　　值，是　　； ③当时，x的取值范围是　　． 14．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）已知二次函数． (1)该二次函数的顶点坐标是________； (2)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象． (3)根据图象回答下列问题： ①当________时，随的增大而减小； ②当________时，函数有最大值，是_________； ③当时，的取值范围是_________； ④当时，的取值范围是________； 15．（24-25九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知如图，抛物线（是常数，且）的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接． (1)填空：　 　； (2)设，请写出关于的函数表达式，并求出的最大值； (3)将沿点到点的方向平移，使得点与点重合．设点的对应点为点，问点能否落在二次函数的图象上？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数的图像和性质的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 2 类型二、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 4 类型三、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 7 类型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴 12 类型五、根据二次函数的增减性求最值 14 类型六、二次函数的平移 18 压轴能力测评（16题） 19 解题知识必备 1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 2. 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 3. 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 4. 二次函数的平移 （1） 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2） 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 压轴题型讲练 类型一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 例题：（23-24九年级上·浙江温州·期末）将二次函数的解析式化成的形式为 . 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数解析式化为顶点式，直接利用配方法将原式变形进而得出答案，正确配方是解此题的关键． 【详解】解：， 将二次函数的解析式化成的形式为， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）将二次函数转化为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，解题的关键是掌握配方法．根据题意利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）用配方法把二次函数写成的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数表达式化为顶点式，先将二次项系数提取因式，再根据完全平方公式进行配方，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数化为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．根据配方法求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 类型二、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 例题：（2024·四川绵阳·模拟预测）关于二次函数的性质说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．函数最小值为2 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，函数的最小值为2；故A选项错误，B选项正确； ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；故C，D选项错误； 故选B． 【变式训练1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）对抛物线而言，下列结论正确的是（   ） A．开口向上 B．与轴的交点坐标是 C．与两坐标轴有两个交点 D．当时，有最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式求解，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：、∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，故此选项错误，不符合题意； 、当时，， ∴抛物线与轴交点坐标为，故此选项错误，不符合题意； 、∵， ∴抛物线与轴有个交点， 又∵抛物线与轴交点坐标为， ∴与两坐标轴有三个交点，故此选项错误，不符合题意； 、∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，为函数最大值，故此选项正确，符合题意； 故选：． 【变式训练2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，利用对称性，增减性和二次函数与一元二次方程的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线交轴于，， ∴抛物线的对称轴是直线，故A选项正确； 一元二次方程的两个根分别是1和3，故C选项正确； 由图象可知：当时，随的增大而减小，故B选项正确； 当时，或，故D选项错误； 故选D． 【变式训练3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x …           0 3 5 … y …           0           … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质． 根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 因为， 所以抛物线的开口向下．故A选项不符合题意． 因为， 所以当时，y随x的增大而减小．故B选项不符合题意． 令得，， 解得， 所以抛物线与x轴的交点坐标为和． 又因为抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线经过第一、三、四象限．故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线．故D选项符合题意． 故选：D． 【变式训练4】（2024·河北·模拟预测）若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点； ④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．其中正确的结论是（ ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，根与系数的基本关系．根据求出的范围即可判断①；求出对称轴即可判断②；把函数表达式整理成为，即可判断③，根据，利用根与系数的关系即可求出的的范围，从而可以判断④． 【详解】解：二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点， ， 整理得：， ，故①正确； ， 函数图象关于对称， ，开口向上， 当时，y随x的增大而增大；故②错误； ， 当时，，则恒过定点，故③正确； 若线段上有且只有5个横坐标为整数的点，根据二次函数的对称轴是， 则， ， 即：， 解得：，故④错误， 故选：C． 类型三、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 例题：（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）已知二次函数，完成下列各题： (1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． (2)求出它的图象与x轴的交点坐标． (3)在直角坐标系中，画出它的图象． (4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？ (5)根据图象说明：当x为何值时， 【答案】(1)，顶点坐标为，对称轴为直线 (2)图象与x轴的交点坐标为， (3)见解析 (4)时，y随着x的增大而增大 (5)时， 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，以及二次函数图象与不等式，熟练掌握配方法的操作，整理成顶点式形式，求出顶点坐标和对称轴更加简便． （1）利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可； （2）令解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标； （3）利用五点法作出函数图象即可； （4）根据函数图象利用二次函数的增减性解答； （5）写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，； （3）解：函数图象如图所示； （4）解：由函数图象可知，时，y随着x的增大而增大； （5）解：由函数图象可知，当时，． 【变式训练1】（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的顶点坐标和对称轴； (2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______． 【答案】(1)图象的顶点坐标为，对称轴为直线 (2)图象见解析， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）解析式化成顶点式，即可得到结论； （2）画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴，y轴的交点，再根据图象求当时，y的取值范围． 【详解】（1）解：， 二次函数的图象的，对称轴为直线； （2）解：二次函数图象如下图： 当时，则y的取值范围是， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶ x … 0 1 … y … 0 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质： （1）设这个二次函数的解析式是，然后利用待定系数法解答即可； （2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （3）根据当时，y取得最小值，最小值为，当时，，当时，，即可写出y的取值范围． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式是， 把点代入得： ，解得：， ∴这个二次函数的解析式是； （2）解：如图，画出这个二次函数的图象如下： （3）解：根据题意得：， ∴当时，y取得最小值，最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围为． 故答案为： 【变式训练3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据函数图象，可以写出A、B、C的坐标，从而可以求得b、c的值； （2）根据（1）中b、c的值可以写出函数解析式，从而可以画出函数图象； （3）根据函数图象，可以写出当时，y的取值范围． 本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由图象可得， 点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， 则， 解得， 即b、c的值分别是2，3； （2）由（1）知，，， ， 该函数的顶点坐标为，对称轴为直线，图象开口向下， 由对称性可知，图象过点， 所画的函数图象如图所示； （3）由图象可得， 当时，y的取值范围为， 故答案为：． 类型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴 例题：（23-24九年级上·湖南湘西·期末）某二次函数的图象过点，利，则此二次函数的图象的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的图象过点利，可以求得该函数的对称轴，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数的图象过点利， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， 故答案为直线． 故答案为：直线． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若二次函数的图象经过、两点，则这个函数图象的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数与轴的两交点坐标关于对称轴对称是解题关键．由抛物线的对称性得到点A与点B是抛物线上的对称点，即可求出对称轴． 【详解】解： 、两点为二次函数与轴的两交点坐标， 点A与点B是抛物线上的对称点， 又、关于直线对称， 对称轴为直线， 故答案为：直线． 【变式训练2】（23-24九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数的的部分对应值如下表： … … … … 则该二次函数图象的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，由于时的函数值相等，根据二次函数的对称性列式计算即可得解． 【详解】二次函数在时，函数值均为． 对称轴为直线： 即： 故答案为：． 【变式训练3】（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意得出，从而得出抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，根据对称性得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，则， 解得：， 点的横坐标是， 故答案为：． 类型五、根据二次函数的增减性求最值 例题：（2024·广西·三模）已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意和二次函数的性质得到当时，y随x的增大而减小，进而求得当时，函数的最小值． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，开口向上 ∴当时，y随x的增大而减小 ∴当时， ∴当时，y取得最小值，此时． 故答案为：3． 【变式训练1】（2024·山东泰安·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题． 【详解】解：由二次函数的表达式为可知， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数取得最小值，且， 则当时，， 当时，， ∴在中，函数的最大值为， 故答案为：． 【变式训练2】（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最大值是解题的关键． 由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时；当时，结合题意利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，当时，y的最大值为4， ∵y的最大值为4，距离对称轴最远， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最大值， ∴， 解得； 综上所述：k的值为或． 故答案为：或． 【变式训练3】（2023九年级·安徽·专题练习）（1）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ． （2）将二次函数配方后变成 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ；当时，函数的取值范围是 ． （3）二次函数的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ． （4）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 当a 0时，二次函数有最小值，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．把二次函数配成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1），对称轴是直线； 故答案为：，； （2），顶点坐标是． ∵，∴当时，函数的最大值为，当时，；当时，；∴当时，函数的最大值为，最小值为；当时，；当时，；∴当时，函数的取值范围是； 故答案为：，，，，； （3），则对称轴是直线，顶点坐标是．∵，∴当时，函数的最小值为，当时，；当时，；∴当时，函数的最大值为，最小值为． 故答案为：，，，； （4），对称轴是直线，顶点坐标是；当时，二次函数有最小值，最小值为． 故答案为：，，，，． 【变式训练4】（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】 4 1或 【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案； （2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，该二次函数为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， 解得：． 综上可知a的值为或． 故答案为：1或． 类型六、二次函数的平移 例题：（23-24九年级上·山东济南·期末）要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，代数式求值，先把配方得到，根据题意反向平移，即把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，于是可得到，，，代入代数式即可计算即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：， 把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线的解析式为， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24九年级上·广东东莞·期中）把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象平移，掌握图形平移规律是解题的关键，根据函数图象平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”，由此即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位得，，再向上平移1个单位得，， 故答案为： ． 【变式训练2】（23-24九年级下·北京顺义·阶段练习）将二次函数向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．先配成顶点式，再根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：， 由题意得，新图象函数的表达式为： ； 故答案为：． 【变式训练3】（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 【答案】， 【分析】此题考查了二次函数的平移规律，由一般式转化为顶点式， 首先将化为，然后根据函数平移的规律求解即可． 【详解】∵抛物线， ∴把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为，即． ∴，． 故答案为：，． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·天津南开·期中）下列各点在二次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，把各点的横坐标代入所给函数解析式，看所得函数值是否和点的纵坐标相等即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，，此选项点不在二次函数的图象上； 、当时，，此选项点在二次函数的图象上； 、当时，，此选项点不在二次函数的图象上； 、当时，，此选项点不在二次函数的图象上； 故选：． 2．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）关于二次函数的性质，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．将解析式化为顶点式，得出开口向下，对称轴为直线,顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：关于二次函数， 则，开口向下，故选项A错误； 对称轴为直线，故选项B错误； 顶点坐标为，故选项C错误； 当时，y随x的增大而减小，故选项D正确； 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东滨州·期中）将拋物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由拋物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 则根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）若点，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数解析式得出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，再结合即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）二次函数在范围内的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题， 先将解析式化为顶点式，再利用顶点式求解即可，掌握顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴是直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，函数y取最大值，最大值为， 故选B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·北京·期中）把二次函数的表达式化为的形式 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查将二次函数的一般式化为顶点式，解题的关键是掌握：由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，根据恒等，同时需要减去一次项系数的一半的平方．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·北京海淀·期中）抛物线的顶点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，直接将二次函数解析式化成顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）将抛物线：向左平移1个单位，向上平移1个单位后得到新抛物线：，则的值为 ． 【答案】15 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：依题意，向左平移1个单位，向上平移1个单位后得到： ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：15． 9．（24-25九年级上·北京·期中）无论非零实数m取何值，抛物线一定经过的定点的坐标是 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断． 把含的项合并，只有当的系数为0时，不管取何值抛物线都通过定点，可求、的对应值，确定定点坐标． 【详解】解：∵， ， ∴当时，与的取值无关， 即或时，不管取何值时都通过定点， 当时，， 当时，， 故不管取何值时都通过定点或． 故答案为：，． 10．（24-25九年级上·福建厦门·期中）函数在有最大值6，则实数的值是 ． 【答案】或． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数求最值问题，根据题意正确分三种情况讨论是解题关键． 先求出而二次函数的对称轴，再分，，三种情况，分别根据函数最大值时列方程求出a的值即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴其对称轴为， 根据题意可知，分以下三种情况： ①当时， 在内，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为，解得，符合题意； ②当时， 在内，当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为．解得：或（不符合条件舍弃）； ③当时， 在内，y随x的增大而增大， 则当时，y取得最大值，最大值为，解得：，不符合题意； 综上，或． 三、解答题 11．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数解析式为 (1)求该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (2)直接写出：当自变量x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2)当时，随增大而减小． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用配方法把抛物线化为，再总结抛物线的性质即可； （2）抛物线的开口向上，对称轴为直线，可得抛物线的增减性，从而可得答案． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 ； （2）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小． 12．（北京市房山区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)画出这个二次函数的图象； (3)根据图象回答：当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2)图见解析 (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了把化成顶点式，画的图象，从函数的图象获取信息等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用配方法将二次函数化成顶点式即可； （2）列表、描点、连线即可画出函数图象； （3）根据函数图象，利用数形结合思想即可得出答案． 【详解】（1）解：， 二次函数化成的形式为：； （2）解：列表如下： 描点、连线，画出这个二次函数的图象如下： （3）解：由函数图象可以看出： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法求函数的顶点坐标； (2)回答下列问题： ①当x　　时，y随x的增大而减小； ②当x　　时，函数y有最　　值，是　　； ③当时，x的取值范围是　　． 【答案】(1) (2)① ；② ，大，；③ 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了作二次函数的图象以及图象性质，运用数形结合思想是解题的关键． （1）依题意，即可作答； （2）画出二次函数的图象，结合的图象，运用数形结合思想进行作答即可． 【详解】（1）解：， 所以顶点坐标为； （2）画图为： 根据图象可知： ①当时，y随x的增大而减小； ②当时，函数y有最大值，是； ③令，则，解得，， 当时，x的取值范围是； 故答案为：① ；② ，大，；③ ． 14．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）已知二次函数． (1)该二次函数的顶点坐标是________； (2)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象． (3)根据图象回答下列问题： ①当________时，随的增大而减小； ②当________时，函数有最大值，是_________； ③当时，的取值范围是_________； ④当时，的取值范围是________； 【答案】(1)； (2)补全表格见解析，画图见解析； (3)①；②，；③；④． 【知识点】从函数的图象获取信息、把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（）把二次函数解析式转化为顶点式即可求解； （）把和代入函数解析式求出的值即可补全表格，进而根据表格中的 对应值描点画图即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了二次函数的图象，二次函数的图象和性质，正确画出二次函数的图象是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴该二次函数的顶点坐标是， 故答案为：； （2）解：当时，；当时，， ∴补全表格如下： 画图如下： （3）解：由图象可得， ①时，随的增大而减小， 故答案为：； ②时，函数有最大值，是， 故答案为：，； ③当时，的取值范围是， 故答案为：； ④当时，的取值范围是， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)该抛物线的顶点坐标为 (2)或 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据配方法配成顶点式，然后问题可求解； （2）由题意可分①当和进行分类讨论，然后结合二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由配成顶点式可得： ， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：由题意可知，则可分： ①当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴， 要使，则需满足点P到对称轴的距离要比点Q到对称轴的距离更远， ∵点Q到对称轴的距离为，点P到对称轴的距离为，即， ∴，解得：； ②当时，抛物线开口向上，要使，则需满足点P到对称轴的距离要比点Q到对称轴的距离更近， ∵点Q到对称轴的距离为，点P到对称轴的距离为， 当时，需满足，即， ∴， ∴，解得：（与相矛盾，故不符合题意）； 当时，需满足，即， ∴， ∴，解得：（与相矛盾，故不符合题意）； 当时，解得：，此时，，所以此种情况始终满足； 综上所述：当或时，都有． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知如图，抛物线（是常数，且）的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接． (1)填空：　 　； (2)设，请写出关于的函数表达式，并求出的最大值； (3)将沿点到点的方向平移，使得点与点重合．设点的对应点为点，问点能否落在二次函数的图象上？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)，的最大值为 (3) 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、等腰三角形的性质和判定、利用平移的性质求解 【分析】（1）先求出点的坐标，得出，根据，即可得到答案； （2）先求出顶点的坐标，然后求出直线的解析式，求出点的坐标，根据，得出，并求出的最大值即可； （3）根据平移求出点的坐标，把点代入抛物线，得出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：，， ， ， ， 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为， ， 把代入得：， 点的坐标为， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 把代入， 得， ， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 把代入得：， ， ， ， ， 当时，有最大值，且最大值为； （3）解：，， 点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，可以得到点， ， 根据平移可知，点的横坐标为，点的纵坐标为， ， 当在抛物线上时，， 解得：或（舍去）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数的解析式，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数与轴、轴的交点及定点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$