23.1 二次根式（第1课时）（教学课件）数学人教版五四制八年级上册

23.1二次根式（第1课时） 第23章 二次根式 教师 xxx 二次根式的概念 二次根式的双重非负性 二次根式有意义的条件 01 03 02 CONTANTS 目 录 二次根式的概念 01 正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根，用 表示. 1.什么是一个数的平方根？如何表示？ 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫作a的平方根，用 表示. 复习引入 4 3.平方根的性质是什么? 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 复习引入 5 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： （1）面积为 3 的正方形的边长为_______，面积为 S 的正方形的边长为_______． （2）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m． 二次根式的概念 探究新知 （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h＝5t2．如果用含有 h 的 式子表示 t ，那么 t 为_______． 你发现这些结果有哪些共同特征？ 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： 探究新知 ， ， ， ；它们表示一些正数的算术平方根． 我们知道，一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0． 上面问题中，得到的结果分别是： . 探究新知 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等； 2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”． 探究新知 9 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 典型例题 二次根式有意义的条件 02 当x取何值时，下列根式有意义？ 二次根式有意义的条件 被开方数大于或等于0，即a≥0. 解：(1)由x2≥0，得x≥； (2)由-2x+1≥0，得x≤ . 探究新知 12 解：由x2≥0，得x是任意实数， ∴当x为任意实数时， 都有意义. 思考：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 由x3≥0，得x≥0， ∴当x≥0 时， 有意义. 探究新知 13 例2 当a取何值时，下列根式有意义？ (2)由12a＞0，得a＜ . 若有分母，则还需保证分母不为0. 二次根式有意义的条件 解：(1)由a≥0，且 a1≠0，得a≥0，且 a≠1； 典型例题 14 例3 当x是什么实数时，下列各式有意义？ 分析：(1)由34x≥0，得x≤ (2)由x+4≥0，且 x2≠0，得x≥4，且 x≠2； (3)由x2≥0，得x=0； 提示： 关键是被开方数a≥0； 若有分母，分母不为0. 典型例题 15 1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解（1）由题意得x-1＞0，∴x＞1. （2）∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3 且x≠1. 针对练习 2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：(1)∵无论x为何实数， ∴当x=1时， 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义. 针对练习 1.单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； 2.多个二次根式相加如 有意义的条件： 3.二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0； 4.二次根式与分式的和如 有意义的条件：A≥0且B≠0. 归纳小结 二次根式的双重非负性 03 问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0. 问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 探究新知 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 探究新知 21 例4 若 ， 求a -b+c的值. 解： 由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. 典型例题 例5 已知 y= , 求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 典型例题 1.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ， 求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 针对练习 2.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 针对练习 1.下列式子中，二次根式的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 解:(1)∵5＜0，∴ 不是二次根式； (2)∵x2+2＞0，∴ 是二次根式； (3)∵当x≥0时，x3≥0，∴ 不一定是二次根式； (4)∵ 的根指数是3，∴ 不是二次根式. 课堂练习 2.当x 取何值时，下列式子在实数范围内有意义? 分析：(1)由x＋7≥0可得， x ≥－7 ； (2)由 ，且x－1≠0可得， x－1＜0，即x ＜1； (3) x 为任意实数时，＞0， 可得， 在实数范围内有意义. 课堂练习 3.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围． 解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0， 解得m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2． (2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围． 解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9. 课堂练习 4.若x，y是实数，且y＜ ,求 的值. 解：根据题意得， ∴x=1. ∵y＜ , ∴y＜ ， ∴ . 课堂练习 解：由题意得x(x-1)≥0 由乘法法则得 解得x≥1 或x≤0 即当x≥1 或x≤0时， 有意义. 5.先阅读，后回答问题： 当x为何值时， 有意义？ 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得 则 解得x≥2或x＜ ， 即当x≥2或x＜ 时， 有意义． 课堂练习 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式. 二次根式 ①被开方数大于或等于0，即a≥0； ②若有分母，则还需保证分母不为0. 定义 条件 双重非负性 二次根式 课堂小结 32 感谢观看 $$