第二十三章 二次根式（单元测试·基础卷）数学人教版五四制八年级上册

第23章 二次根式 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列判断正确的是　　 A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解析】解：A、带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误； B、，a≥0时，一定是二次根式，故此选项错误； C、一定是二次根式，故此选项正确； D、二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键． 2．使得有意义的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案． 【解析】解：有意义，则， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 3．下列四个等式：①；②；③；④．正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【解析】解：，①错误；，②错误，③正确；，④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 4．下列各式，化简后能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案． 【解析】解：与是同类二次根式即可合并， 由于=2，2与是同类二次根式， ∴2与可以合并， 故选C． 【点睛】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型． 5．下列二次根式中，最简二次根式是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）、被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）、被开方数中不能含有开方开的尽的因数或者因式． 【解析】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意， B、，是最简二次根式，符合题意， C、，不是最简二次根式，不符合题意， D、，不是最简二次根式，不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解掌握最简二次根式定义是解题关键． 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减乘除法则分别计算，即可判断． 【解析】解：A、，不能合并，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力． 7．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【解析】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 8．若等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质，即被开方数是非负数，分数的性质，即分母不能为零，即可求解． 【解析】解：根据题意得，， ∴由①得，；由②得，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次根式中被开方数的非负性，掌握二次根式有意义的条件时解题的关键． 9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得：，，从而可得，，然后利用二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简计算，即可解答． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【解析】 ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 二、填空题 11．比较大小： －______－； _______；________． 【答案】     >     >     < 【分析】分别根据两个负数的大小比较方法比较大小，根据二次根式的性质比较被开方数的的大小，第三个根据作差的方法比较大小即可 【解析】， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 12．计算：=__________． 【答案】 【分析】先化简二次根式，再合并即可. 【解析】原式==. 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待． 13．如果，那么下列各式，①；②；③，④，正确的有______． 【答案】②③##③② 【分析】根据已知条件，二次根式的性质，二次根式的乘除法进行计算即可求解． 【解析】解：∵，则， ∴①，故①错误； ②，故②正确； ③，故③正确， ④，故④错误， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质是解题的关键． 14．计算：________． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【解析】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 15．若，则代数式的值为________． 【答案】0 【分析】利用配方法把x2﹣4x﹣6变为(x-2)2-10，然后把x＝2﹣代入计算即可. 【解析】∵x＝2﹣， ∴x2﹣4x﹣6 =(x-2)2-10 =(2﹣ -2)2-10 =10-10 =0. 故答案为：0． 【点睛】本题考查了整式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握配方法是解答本题的关键. 配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”． 16．计算：___________． 【答案】 【分析】根据积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，将恒等变形为，再利用平方差公式及二次根式运算法则求解即可得到答案． 【解析】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及积的乘方运算的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算、平方差公式等知识，在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用相关公式，选择恰当的解题途径，是解决问题的关键． 17．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________. 【答案】8-12 【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC,再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解. 【解析】∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为4cm，＝cm，∴AB＝4cm，BC＝（＋4）cm，∴空白面积＝（＋4）×4－12－16＝8＋16－12－16＝（8－12）cm2，故答案为8－12. 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出AB、BC的长度，从而求出空白部分面积. 18．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是______． 【答案】 【分析】根据题意，先求出，然后求出，再根据二次根式比较大小的方法，即可． 【解析】∵三角形的三边长为、、，记，面积， ∴当三角形的三边长分别为，，时，， ∴面积， ∵，， ∴， ∴， ∵介于整数和之间， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是理解题意，求出，；掌握二次根式比较大小的方法． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后再合并即可． （2）利用多项式乘法展开，然后再合并即可． 【解析】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事倍功半． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【答案】(1)5 (2) (3) (4) (5) (6)4 【分析】（1）根据立方根的定义以及有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据实数的运算法则进行计算即可； （3）将，化简后再合并同类二次根式即可； （4）利用平方差公式进行计算即可； （5）利用完全平方公式进行计算即可； （6）化简合并同类二次根式后，再进行计算即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ． 【点睛】本题考查算术平方根，平方差公式、完全平方公式，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质以及平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确计算的前提． 21．计算： 【答案】 【分析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【解析】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确进行计算． 22．比较和的大小； 【答案】 【分析】用作差法比较和的大小即可． 【解析】解：∵ ， ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是求出，得出． 23．阅读材料:因为，所以的整数部分为2，的小数部分为． 解决问题：若的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】 【分析】先估算出在2和3之间，进而可得出的整数部分，小数部分，代入中计算即可． 【解析】解：， 的整数部分，小数部分， ． 【点睛】本题考查无理数的估算和二次根式的运算，通过所给材料得出无理数整数及小数部分的计算方法是解题的关键． 24．已知x＝，y＝，求下列各式的值． （1）x2﹣y2； （2）x2﹣2xy+y2． 【答案】（1）2﹣2；（2）3﹣2 【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可； （2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可． 【解析】解：（1）当x＝，y＝时， 原式＝（x+y）（x﹣y） ＝（+）×（﹣） ＝2×（1﹣） ＝2﹣2； （2）当x＝，y＝时， 原式＝（x﹣y）2 ＝（﹣）2 ＝（1﹣）2 ＝1﹣2+2 ＝3﹣2． 【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式与平方差公式的运用． 25．某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为， (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)6600元 【分析】（1）根据矩形周长公式列式计算即可； （2）用绿地面积减花坛面积差乘以50元，列式计算即可． 【解析】（1）解：长方形的周长， 答：长方形的周长是； （2）解：购买地砖需要花费 （元） 答：购买地砖需要花费6600元． 【点睛】本题考查二次根式的应用，根据题意列出版算式和掌握二次根式运用法则是解题的关键． 26．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3)-2 【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可求出答案． （2）根据二次根式的性质化简即可求出答案． （3）根据的范围判断与的符号，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案． 【解析】（1）原式， ， ∵， ∴， ∴原式， 故小亮的解法错误， 故答案为：小亮． （2）， 故答案为：． （3）∵， ，， ∴原式， ． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 27．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简∶ 解∶隐含条件，解得： ∴ ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简： 【答案】（1）1；（2）；（3）． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出的范围，再根据二次根式的性质化简可得； （2）由a，b在数轴上的位置判断出、，再利用二次根式的性质化简即可得； （3）由三角形的三边关系得出，，，再利用二次根式的性质化简可得． 【解析】解：（1）隐含条件 ，解得： ∴ ∴原式； （2）观察数轴得隐含条件：，， ∴， ∴原式； （3）由三角形的三边关系可得隐含条件： ，，， ∴，， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质 及三角形的三边关系等知识点． 28．我国南宋时期数学家秦九韶约约曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积在中，已知，，． (1)如图，利用秦九韶公式求的面积； (2)如图，的两条角平分线，交于点，求点到边的距离． 【答案】(1)15 (2)1.5 【分析】（1）由秦九韶公式可得的值，再由求解． （2）连接，作于点，由角平分线的性质可得点到三角形三边的距离相等，通过求解． 【解析】（1） （2）连接，作于点， 点为的角平分线交点， 点到，，的距离相等，长度为， 设，则 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题关键是理解题意，通过题干中秦九韶公式及通过添加辅助线求解． 29．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； (2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； (3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【解析】解：（1）10； （2）； （3）①原式 ； ②原式 ． 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 30．材料一：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm＝，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得化简． 例如，5±2＝3+2±2＝（）2+（）2±2×＝（ ±）2，所以＝＝ ±： 材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如，，．这样的式子＝＝（一）；＝＝（二）；＝＝＝﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1（四）； 请根据材料解答下列问题： (1)= ；= ． (2)化简： ++…+． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）运用完全平方公式，将被开方数转化为完全平方，然后根据二次根式的性质化简即可； （2）运用平方差公式，将分子分解因式，进一步约分，或者分母分子都乘以分母的有理化因式，再进行计算即可． (1) 解：∵， ， ∴=， ， 故答案为：，； (2) 解：∵＝＝＝﹣1， ， ， ， ∴原式= =． 【点睛】本题考查了平方差、完全平方公式的应用和二次根式的性质，灵活运用乘法公式进行二次根式的运算是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 二次根式 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列判断正确的是　　 A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 2．使得有意义的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 3．下列四个等式：①；②；③；④．正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 4．下列各式，化简后能与合并的是（　　） A． B． C． D． 5．下列二次根式中，最简二次根式是(   ) A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 8．若等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（    ） A．a B． C． D． 10．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．比较大小： －______－； _______；________． 12．计算：=__________． 13．如果，那么下列各式，①；②；③，④，正确的有______． 14．计算：________． 15．若，则代数式的值为________． 16．计算：___________． 17．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________. 18．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是______． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 21．计算： 22．比较和的大小； 23．阅读材料:因为，所以的整数部分为2，的小数部分为． 解决问题：若的整数部分为，小数部分为，求的值． 24．已知x＝，y＝，求下列各式的值． （1）x2﹣y2； （2）x2﹣2xy+y2． 25．某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为， (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 26．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 27．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简∶ 解∶隐含条件，解得： ∴ ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简： 28．我国南宋时期数学家秦九韶约约曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积在中，已知，，． (1)如图，利用秦九韶公式求的面积； (2)如图，的两条角平分线，交于点，求点到边的距离． 29．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 30．材料一：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm＝，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得化简． 例如，5±2＝3+2±2＝（）2+（）2±2×＝（ ±）2，所以＝＝ ±： 材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如，，．这样的式子＝＝（一）；＝＝（二）；＝＝＝﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1（四）； 请根据材料解答下列问题： (1)= ；= ． (2)化简： ++…+． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$