专题09 解直角三角形应用与特殊几何图形的综合的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题09 解直角三角形应用与特殊几何图形的综合的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、解直角三角形应用与特殊三角形的综合 1 类型二、解直角三角形应用与平行四边形的综合 5 类型三、解直角三角形应用与菱形的综合 10 类型四、解直角三角形应用与矩形的综合 14 类型五、解直角三角形应用与正方形的综合 18 类型六、解直角三角形应用与其他图形的综合 21 压轴能力测评（14题） 26 解题知识必备 1. 含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形 方法总结：作垂线构造直角三角形时“不破坏”特殊角（30°，45°，60°），如下展示部分常见构造方法： 2. 非特殊角的非直角三角形 方法总结：作垂线构造直角三角形时，竖直作垂线与水平作垂线. 压轴题型讲练 类型一、解直角三角形应用与特殊三角形的综合 例题：（2024·贵州贵阳·二模）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处（），C，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”,于点O，支杆与树干的横向距离． (1)天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度； (2)下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点E下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)遮阳宽度为； (2)点E下降的高度为． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用和锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答； （2）过点E作于点F，得，再在中锐角三角函数的定义可得，最后求出和时的长即可解答． 【详解】（1）解：由对称性可知，， 在中，， ， ， ， 答：遮阳宽度为； （2）解：如图，过点E作于点F， ， ，， ， ， ， 在中， ， 当时， ， 当时， ， ∴点E下降的高度为， 答：点E下降的高度为． 【变式训练1】（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐米，屋顶E到支点C的距离米，墙体高米，屋面坡角．（参考数值：） (1)求房屋内部宽度的长； (2)求点A与屋面的距离． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）如图，过E作，交于点O，交于点H，则，运用三角函数解直角三角形可得，然后再根据等腰三角形的性质可得，然后再根据矩形的性质即可解答； （2）如图，过A作，交于点I．再解直角三角形可得的长，然后再求得，最后根据，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过E作，交于点O，交于点H，则， 则在中， (米)， ∵是等腰三角形， ∴ (米)． ∵四边形是矩形， ∴(米)； （2）解：如图，过A作，交于点I． 在中， (米)， 在中， (米)， ∴ (米)， ∴(米)， 即点A到屋面的距离约为米． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键． 【变式训练2】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆，用绳子拉直后系在树干上的点A处，使得A，C，E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若米，于点O （参考数据：，，）    (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度EF；（结果保留一位小数） (2)下雨时收拢“天幕”，由减小到，求点O下降的高度．（结果保留一位小数） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）根据三线合一求出，解直角三角形求出，可得； （2）解直角三角形求出，过点作交于点H，再解直角三角形求出，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴平分，， ∵， ∴， 在中，， ∵米， ∴米， 则米， 故遮阳宽度为米．    （2）∵在中，， ∴米， 当从变为， 如图所示：旋转到， 则， 过点作交于点H，则， ∵在中，， ∴米， ∵， ∴米， ∴O点下降到H点的距离为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．解题的关键在于抽象出直角三角形并正确的运算． 类型二、解直角三角形应用与平行四边形的综合 例题：（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图 1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形 ，其中，，此时它与出入口 等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． (1)求点到地面的距离； (2)一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)汽车能安全通过 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作 于点， 交于点，根据解直角三角形的知识进行解答即可； （2）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作 于点，交于点，则， ， ， ； （2）在上取，作于点， 交于点， 交于点，当汽车与保持安全距离时， ∵汽车宽度为， ， ， ， ， ， ∴汽车能安全通过. 【变式训练1】（2024·宁夏银川·二模）如图1是某旅游景点的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得，，．（参考数据：，，） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点到的距离）．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据，，可证明，即可证明结论； （2）根据四边形为平行四边形．得出．，在中，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∴四边形为平行四边形． （2）过点作于， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴． 在中，，即， ∴． 答：雕塑的高为． 【变式训练2】（2024·江西吉安·二模）现如今，许多乡村、社区都安装了健身器材．如图1，这是健身器材中的骑马机，它是一种利用曲轴连杆机构原理，模拟人体在骑马状态下前后“字”立体摇摆，从而达到全身有氧运动的新型健身器材，其侧面的简图如图2所示，已知，，． (1)若．求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、证明四边形是平行四边形、三线合一、等边对等角 【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和得，，继而得到，即可得证； （2）如图，过点作于点，延长，交于点，在中，得到，在中，得到，继而得到，可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，过点作于点，延长，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离为的长， ∵，， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴点到的距离约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，平行四边形的判定，等腰三角形性质，等腰三角形三线合一性质，三角形内角和，平行线的判定和性质等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 类型三、解直角三角形应用与菱形的综合 例题：（2024·江西南昌·模拟预测）图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知，，M，N，P，Q四点分别是的中点（N，P两点也分别在和上），底座，垂足为O，经测量，，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离）．（参考数据：．结果保留一位小数） 【答案】(1)见解析 (2)折叠资料架的高约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据线段中点的定义可得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形可得四边形为菱形，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得，然后根据题意可得：，再在中，利用锐角三角函数的定义求的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵M是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：如图： ∵点Q是的中点， ∴， 由题意得：，，， 在中，， ∴， ∴， ∴折叠资料架的高约为． 【变式训练1】（2024·吉林·二模）如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形是菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变线段的长度，同时改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点与点之间的距离）．经测量，． (1)当时，求的长（结果保留整数）． (2)从增加到时，这个千斤顶高度升高了______cm（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长约为 (2)13 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）连接，交于点O，根据四边形是菱形，得到，根据，解答即可． （2）连接，交于点O，根据四边形是菱形，当得到，根据，当得到，根据，解答即可． 本题考查了菱形的性质，正弦函数的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握菱形的性质，正弦函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）连接，交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． （2）连接，交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴． 故千斤顶升高了， 故答案为：13． 【变式训练2】（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）“新冠疫情”期间学校在校门口搭建如图1所示的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块可分别沿等长的立柱上下移动，，．（参考数据：，，，）    (1)若移动滑块使，求棚宽的长（精确到）． (2)在遮阳棚内安装如图4所示的红外线测温门（门高），门的顶端应与点持平或低于点，试问此时最大为多少度？ 【答案】(1) (2)的最大值为 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）根据题意可知是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可求出的值，根据，由此即可求解； （2）如图所示，，过点作于点，根据三角函数的计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴在中，，， ∵，， ∴，且， ∴， ∴． （2）解：如图所示，，过点作于点，    ∴， ∴， ∴， ∴，即的最大值为． 【点睛】本题主要考查直角三角形，勾股定理，三角函数的计算的综合，掌握直角三角形与勾股定理，三角函数的计算方法是解题的关键． 类型四、解直角三角形应用与矩形的综合 例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．    (1)判断四边形的形状并给予证明； (2)若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据： 【答案】(1)平行四边形，见解析 (2) 【分析】（1）由旋转性质结合矩形的性质推出，利用证明，得到，据此可证明四边形是平行四边形； （2）延长交水平地面于点，连接．利用正切函数求得的长，得到，推出，再根据余弦函数求得的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，由旋转性质得， ∴， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：如图，延长交水平地面于点，连接．    ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， 又， ∴， 由平行线的性质知， ∴， ∴， 即点到水平地面的距离约为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形． 【变式训练1】（2024·浙江温州·二模）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针旋转，落在的位置（如图2所示）．已知，，． (1)当旋转角为时，求点E到点的距离． (2)已知箱盖可旋转的最大角度是，求此时点到BC的距离．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据旋转的性质求解、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）连接，，，利用旋转的性质可得出，，进而可得出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，结合可得出、两点的距离； （2）过点作于，交于，则，，由题意可知，，．解直角，利用正弦函数定义解答即可． 【详解】（1）解：连接，，，如图所示． 由题意得：，， 是等边三角形， ． 四边形是矩形， ． 在中，厘米，厘米， 厘米， 厘米． 答：、两点的距离是厘米； （2）解：如图，过点作于，交于，则，， 由题意可知：，． 在中， ， （厘米）， （厘米）． 答：点到的距离约为157.3厘米． 【变式训练2】（2024·四川泸州·一模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)点到地面的距离的长为0.2米 (2)轿车能驶入小区，见解析 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解题意，构建直角三角形解题是关键； （1）过点作，垂足为，证明，在中，米，，再进一步可得答案； （2）当，米时，可得，求解米，在中，求解米，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    结合题意得：，， ， 在中，米， （米）， 米， （米）， 点到地面的距离的长为0.2米； （2）轿车能驶入小区 理由：当，米时 ∵， 米 （米）， 在中，（米）， （米）， 轿车能驶入小区． 类型五、解直角三角形应用与正方形的综合 例题：（2024·山东烟台·一模）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H.经测量，点A距地面，到树的距离，.求树的高度. 【答案】树的高度约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解，得到是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 答：树的高度约为． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）在测量旗杆高度的活动课上，某兴趣小组自制了一个测高仪测量旗杆高度，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量旗杆高度的示意图，测高仪上的点B、A与旗杆顶点P在一条直线上，铅垂线交于点N．经测量，点A距地面，到旗杆的距离． (1)若点N于点C重合，则旗杆的高度为________； (2)若．求旗杆的高度(结果精确到)． 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用； （1）根据正方形的性质得到∠，得到，求得，于是得到结论； （2）由题意可知，，，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ， 答：旗杆的高度为； 故答案为：； （2）由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 答：旗杆的高度． 【变式训练2】（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，    (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)求的长．（参考数据：） 【答案】(1)四边形是菱形，详见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得，即可得出结论； （2）作于点M，解，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形  ， 理由：正方形与正方形的面积相等， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是菱形 ． （2）解：作于点M，    在中，， ，得  ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定、正确求解直角三角形是解题的关键． 类型六、解直角三角形应用与其他图形的综合 例题：（2024·上海宝山·一模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，，，． (1)求：的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长，交于点，根据题意得出，通过解求得，根据与3比较即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长，交于点， ，， ， 又， ， 在中，， ， 该运动员能挂上篮网． 【变式训练1】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． (1)求点D距离地面的高度； (2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 【答案】(1)点距离地面的高度为 (2)点距离地面的高度 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）延长交于，则，在中，解直角三角形即可求解； （2）过点作，过点作，则，在，中，分别解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：延长交于，则， ∵， ∴， ∴， 则点距离地面的高度为； （2）过点作，过点作，则， ∴，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则， ∴点距离地面的高度． 【变式训练2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1)端点距离地面的高度约为； (2)的长约为． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得：，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ，， ， 在中，， ， ， ， 端点距离地面的高度约为； （2）解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 答：的长约为． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（2024·广东深圳·模拟预测）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其风筝骨架示意图，已知两条侧翼，的长为60，夹角为，平分，则侧翼两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、三线合一 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角函数的知识是解题关键．设与交于点，，首先根据等腰三角形的性质得到，，，，然后在中求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点， ∵两条侧翼，的长为60，夹角为，平分， ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴即两点间的距离为． 故选：D． 2．（2024·广东深圳·三模）人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现．如图是一男士座椅情况和示意图，若，该椅子座垫高度还要升高多少，才符合体工学椅的要求（　　） A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40 C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 如图：过点B作，垂足为E，根据题意可得然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系即可解答． 【详解】解：如图：过点B作，垂足为E， 由题意得：， 在中，， ∴， ∴该椅子座垫高度还要升高的高度， 故选：C． 二、填空题 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键．过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E， 在中，，， ∵ ∴(cm)， 在中，，， ∵， ∴(cm)， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴(cm)． 点与桌面的距离约为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 ．（结果精确到0.1cm）（参考数据：，，，） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据，求出，根据，求出，根据，，求出，根据该陶盉管状短流口距地面的高度为：，即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该陶盉管状短流口距地面的高度为：． 故答案为：． 三、解答题 5．（2024·广东·模拟预测）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知 ，，与的夹角 为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据： ）    【答案】农夫所在的E处到地面的高度为米． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点作于，先利用三角形内角和等边对等角求出，，解直角三角形，求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于H，    ∵米，，米，米， ∴，米，米， ∴， 在中，米； 答：农夫所在的E处到地面的高度为米． 6．（2024·山西运城·模拟预测）随着人民生活质量的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】篮框F到水平地面的距离约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于点M，先求出，再解得到，根据线段的和差关系得到，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点M． 由题意可知， ， ． 在，，， ． ，， ， ， ∴篮框F到水平地面的距离约为． 7．（2024·河南周口·一模）2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山的山腰上有一个平台长为45m，从点C看山顶A的仰角为，山坡的坡度为，该地准备利用斜坡建设一个滑雪场，且的长度为，若点D到地面的垂线段与构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山的高度．（精确到整数，参考数据：，，） 【答案】小山的高度约为 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正方形的性质，先解直角三角形得到，设，则，由勾股定理得到，解方程求出，再由正方形的性质推出，解直角三角形求出，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵山坡的坡度为， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理， ∴ 解得或（舍去）， ∴， 四边形为正方形， ， ∴， 在中，， ， ， 答：小山的高度约为． 8．（23-24九年级下·江西宜春·期中）风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】(1) (2)叶片顶端C离水平地面的距离为 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用坡比可求出、的长，在或中，利用和的正切值分别求出、的长即可得答案； （2）过点作于点，于，可得四边形是矩形，根据旋转的性质得出，利用的余弦值可求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵垂直于水平地面， ∴， ∵坡比， ∴， 设，则， ∵坡面长， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴，， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴． 由题意得：， ∴， ∴． （2）如图，过点作于点，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵叶片绕点顺时针转动， ∴， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． ∴叶片顶端离水平地面的距离为． 9．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形靠墙摆放，高，宽，小强身高，下半身，洗漱时下半身与地面成，身体前倾成，脚与洗漱台距离（点，，，在同一直线上）．，，    (1)此时小强头部E点与地面相距多少？ (2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆的中点O的正上方，他应向前或后退多少？ 【答案】(1)小强头部点与地面相距约为 (2)小强应向前． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了直角三角形的应用，锐角三角函数定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）过点作于，过点作于．求出、的长，即可解决问题； （2）过点作于点，延长交于，求出、的长，即可解决问题． 【详解】（1）过点作于，过点作于，   ，， ， ， ， ， ， ， ， 即此时小强头部点与地面相距约为； （2）过点作于点，延长交于， ，为中点， ， ， ， ，， ，， 即小强应向前． 10．（2024·贵州贵阳·一模）图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为． (1)求闸机通道的宽度，即与之间的距离； (2)若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm) 【答案】(1) (2)72.8cm 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键书作辅助线． （1）连接，并向两边延长，分别交，于点M， N，由两圆弧翼成轴对称可得，在中，，，进行解答即可． （2）过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H，在中， ，，即可求出距离． 【详解】（1）如图, 连接，并向两边延长，分别交，于点M， N， 由题意点A与点D在同一水平线上，，垂直于地面，可得，， ∴的长度就是与之间的距离， 由两圆弧翼成轴对称可得， 在中，，，， ， ∴， ∴， ∴与之间的距离约为． （2）如图，过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H， ∴可得， 在中，，，， ， ∴， ∵点B，E到地面的距离均为20cm， ∴， ∴． 答: 点A到地面的距离约为 72.8cm． 11．（2022·浙江杭州·二模）如图1所示的晾衣架，支架的基本图形是菱形．如图2，晾衣架伸缩时，点在射线上滑动，菱形的形状也随之发生变化．已知每个菱形的边长均等于，且． (1)求证：相邻两根晾衣架之间的水平距离（、）相等； (2)当晾衣架沿着方向平移时，的度数逐渐减小．若从120°逐渐减小到60°时，求点在射线上移动的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三线合一、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质证明、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）如图所示，连接AC，NH，只需要证明四边形ANHB是平行四边形，得到AB=NH， 同理可证四边形BCHN是平行四边形，得到BC=NH，即可证明结论； （2）分别求出当∠CFG=120°时，当∠CFG=60°时DE的长，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接AC，NH， ∵四边形BNMH是菱形， ∴， 又∵AN=BH， ∴四边形ANHB是平行四边形， ∴AB=NH， 同理可证四边形BCHN是平行四边形， ∴BC=NH， ∴AB=BC； （2）解：如图1所示，当∠CFG=120°时，过点F作FQ⊥DE于Q， ∴∠DFE=120°， ∵DF=EF， ∴，∠EFQ=60°， ∴； ∴； 如图2所示，当∠CFG=60°时， 同理可求得， ∴点在射线上移动的距离为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 12．（2024·四川成都·模拟预测）如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线，的交点可视为货厢的重心，测得．假设该车在水平地面上进行卸货作业． (1)若，求点B到的距离； (2)卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由． （参考数据：） 【答案】(1) (2)该货车不会发生事故，理由见解析 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线． （1）过点作，垂足为，在中，，求出，进而求出； （2）分别过点，作，，垂足分别为，，四边形是矩形，，在中，，在中，推出，，在中，，比较即可作答． 【详解】（1）过点作，垂足为，如图， 则， 在中， ， ， ， ，两点在垂直方向上的距离为； （2）该货车不会发生事故， 理由如下： 分别过点，作，，垂足分别为，， 则， 四边形是矩形， ， 在中， ， ， 在中，， ， ， 在中， ， ， 货车不会发生事故． 13．（2024·广东东莞·三模）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中，，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． (1)求图3中点到地面的距离； (2)在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长； (3)图4中，一辆宽，高的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过﹖若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由． （参考数据：，，所有结果精确到） 【答案】(1)点到地面的距离约为 (2)点C所经过的路径约为 (3)汽车能安全通过，理由见解析 【知识点】求弧长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，交于点，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可． （2）根据弧长公式解答即可； （3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点N，交AB于点E， 依题意得：，，， 在中， 答：点到地面的距离约为； （2）解：点是点C绕点D旋转得到的， 点C经过的路径长为． 答：点C所经过的路径约为． （3）汽车能安全通过． 解：在OM上取，，作于点F，交AB于点H，交于点G， 即汽车与BC保持安全距离，汽车的宽， ， 依题意得：，，四边形AOFH是矩形， ，， 在中， 汽车高度为，， 汽车能安全通过 14．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆． (1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离． (2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，求得，结合，解答即可． （2）证明，利用三角函数解答即可． 本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点， ∴， ∴， ∴， ∵撑杆． ∴， 故点到地面的距离为． （2）解：根据题意，得，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：在水平地面上投影的长度约是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 解直角三角形应用与特殊几何图形的综合的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、解直角三角形应用与特殊三角形的综合 1 类型二、解直角三角形应用与平行四边形的综合 5 类型三、解直角三角形应用与菱形的综合 10 类型四、解直角三角形应用与矩形的综合 14 类型五、解直角三角形应用与正方形的综合 18 类型六、解直角三角形应用与其他图形的综合 21 压轴能力测评（14题） 26 解题知识必备 1. 含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形 方法总结：作垂线构造直角三角形时“不破坏”特殊角（30°，45°，60°），如下展示部分常见构造方法： 2. 非特殊角的非直角三角形 方法总结：作垂线构造直角三角形时，竖直作垂线与水平作垂线. 压轴题型讲练 类型一、解直角三角形应用与特殊三角形的综合 例题：（2024·贵州贵阳·二模）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处（），C，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”,于点O，支杆与树干的横向距离． (1)天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度； (2)下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点E下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【变式训练1】（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐米，屋顶E到支点C的距离米，墙体高米，屋面坡角．（参考数值：） (1)求房屋内部宽度的长； (2)求点A与屋面的距离． 【变式训练2】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆，用绳子拉直后系在树干上的点A处，使得A，C，E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若米，于点O （参考数据：，，）    (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度EF；（结果保留一位小数） (2)下雨时收拢“天幕”，由减小到，求点O下降的高度．（结果保留一位小数） 类型二、解直角三角形应用与平行四边形的综合 例题：（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图 1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形 ，其中，，此时它与出入口 等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． (1)求点到地面的距离； (2)一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由． 【变式训练1】（2024·宁夏银川·二模）如图1是某旅游景点的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得，，．（参考数据：，，） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点到的距离）．（结果保留小数点后一位） 【变式训练2】（2024·江西吉安·二模）现如今，许多乡村、社区都安装了健身器材．如图1，这是健身器材中的骑马机，它是一种利用曲轴连杆机构原理，模拟人体在骑马状态下前后“字”立体摇摆，从而达到全身有氧运动的新型健身器材，其侧面的简图如图2所示，已知，，． (1)若．求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 类型三、解直角三角形应用与菱形的综合 例题：（2024·江西南昌·模拟预测）图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知，，M，N，P，Q四点分别是的中点（N，P两点也分别在和上），底座，垂足为O，经测量，，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离）．（参考数据：．结果保留一位小数） 【变式训练1】（2024·吉林·二模）如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形是菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变线段的长度，同时改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点与点之间的距离）．经测量，． (1)当时，求的长（结果保留整数）． (2)从增加到时，这个千斤顶高度升高了______cm（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【变式训练2】（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）“新冠疫情”期间学校在校门口搭建如图1所示的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块可分别沿等长的立柱上下移动，，．（参考数据：，，，）    (1)若移动滑块使，求棚宽的长（精确到）． (2)在遮阳棚内安装如图4所示的红外线测温门（门高），门的顶端应与点持平或低于点，试问此时最大为多少度？ 类型四、解直角三角形应用与矩形的综合 例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．    (1)判断四边形的形状并给予证明； (2)若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据： 【变式训练1】（2024·浙江温州·二模）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针旋转，落在的位置（如图2所示）．已知，，． (1)当旋转角为时，求点E到点的距离． (2)已知箱盖可旋转的最大角度是，求此时点到BC的距离．（参考数据：，，） 【变式训练2】（2024·四川泸州·一模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 类型五、解直角三角形应用与正方形的综合 例题：（2024·山东烟台·一模）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H.经测量，点A距地面，到树的距离，.求树的高度. 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）在测量旗杆高度的活动课上，某兴趣小组自制了一个测高仪测量旗杆高度，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量旗杆高度的示意图，测高仪上的点B、A与旗杆顶点P在一条直线上，铅垂线交于点N．经测量，点A距地面，到旗杆的距离． (1)若点N于点C重合，则旗杆的高度为________； (2)若．求旗杆的高度(结果精确到)． 【变式训练2】（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，    (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)求的长．（参考数据：） 类型六、解直角三角形应用与其他图形的综合 例题：（2024·上海宝山·一模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，，，． (1)求：的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【变式训练1】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． (1)求点D距离地面的高度； (2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 【变式训练2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（2024·广东深圳·模拟预测）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其风筝骨架示意图，已知两条侧翼，的长为60，夹角为，平分，则侧翼两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·三模）人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现．如图是一男士座椅情况和示意图，若，该椅子座垫高度还要升高多少，才符合体工学椅的要求（　　） A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40 C． D． 二、填空题 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 4．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 ．（结果精确到0.1cm）（参考数据：，，，） 三、解答题 5．（2024·广东·模拟预测）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知 ，，与的夹角 为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据： ）    6．（2024·山西运城·模拟预测）随着人民生活质量的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 7．（2024·河南周口·一模）2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山的山腰上有一个平台长为45m，从点C看山顶A的仰角为，山坡的坡度为，该地准备利用斜坡建设一个滑雪场，且的长度为，若点D到地面的垂线段与构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山的高度．（精确到整数，参考数据：，，） 8．（23-24九年级下·江西宜春·期中）风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 9．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形靠墙摆放，高，宽，小强身高，下半身，洗漱时下半身与地面成，身体前倾成，脚与洗漱台距离（点，，，在同一直线上）．，，    (1)此时小强头部E点与地面相距多少？ (2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆的中点O的正上方，他应向前或后退多少？ 10．（2024·贵州贵阳·一模）图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为． (1)求闸机通道的宽度，即与之间的距离； (2)若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm) 11．（2022·浙江杭州·二模）如图1所示的晾衣架，支架的基本图形是菱形．如图2，晾衣架伸缩时，点在射线上滑动，菱形的形状也随之发生变化．已知每个菱形的边长均等于，且． (1)求证：相邻两根晾衣架之间的水平距离（、）相等； (2)当晾衣架沿着方向平移时，的度数逐渐减小．若从120°逐渐减小到60°时，求点在射线上移动的距离． 12．（2024·四川成都·模拟预测）如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线，的交点可视为货厢的重心，测得．假设该车在水平地面上进行卸货作业． (1)若，求点B到的距离； (2)卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由． （参考数据：） 13．（2024·广东东莞·三模）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中，，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． (1)求图3中点到地面的距离； (2)在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长； (3)图4中，一辆宽，高的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过﹖若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由． （参考数据：，，所有结果精确到） 14．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆． (1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离． (2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$