专题08 解直角三角形的应用仰俯角的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题08 解直角三角形应用仰俯角的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、解直角三角形应用仰俯角之“独立”型 2 类型二、解直角三角形应用仰俯角之“背靠背”型 4 类型三、解直角三角形应用仰俯角之“叠合”型 7 类型四、解直角三角形应用仰俯角之“斜截”型 12 压轴能力测评（12题） 16 解题知识必备 1. 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 2. 仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 3.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 4.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 压轴题型讲练 类型一、解直角三角形应用仰俯角之“独立”型 例题：（24-25九年级上·全国·单元测试）小丽用两锐角分别为 和 的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知 ，那么这棵树大约有多高？（结果精确到 ） 【答案】5.2 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据矩形得到，然后根据三角函数求出，最后根据计算即可． 【详解】解 根据题意，四边形是矩形， ∵在 中， 答：这棵树大约有5.2高． 【变式训练1】（2024·浙江台州·模拟预测）在某次春日研学活动中，学校组织同学们参观了一颗千年古树，小明站在与树相距远的C处测得在此处观测树顶A的仰角为，若小明同学的眼睛距离地面，请帮助小明估开该树的高度？（参考：） 【答案】该树的高度约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，过小明同学的眼睛点E作， 由题意得，，． 在直角三角形中， ． 答：该树的高度约为． 【变式训练2】（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳蓬的宽，则的长度为多少？ 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 根据题意可得，从而得到，利用锐角三角函数可得，从而得到，再解即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的长度约为． 类型二、解直角三角形应用仰俯角之“背靠背”型 例题：（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 【答案】约为71米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 【详解】解：从观察点A作，交于点E，依题意，可知（米），． ∵, ∴为等腰直角三角形． ∴（米）． 在中，，得 （米） ∴ （米）．   答：乙楼的高度约为71米． 【变式训练1】（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    【答案】米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴四边形和四边形为矩形， ∴米，米，，， ∴（米）， 设，则米， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵米， ∴， 解得：， ∴米． 【变式训练2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图②所示的示意图．在其附近高为的高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．求亚帆灯塔的高．（结果精确到）【参考数据：，，】 【答案】米 【知识点】已知正切值求边长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查直角三角形的应用—仰角俯角问题，过点作于点，连接、，证明四边形为矩形，得出，在中，在中，分别解直角三角形得出、的长，最后再由计算即可得解．解题的关键是掌握仰角俯角定义及解直角三角形． 【详解】解：如图，过点作于点，连接、， ∴， 由题意知：，，，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴（米）． 答：亚帆灯塔的高的值为米． 类型三、解直角三角形应用仰俯角之“叠合”型 例题：（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图①，位于农安镇城西门的黄龙塔至今已有千年历史，亦称辽塔．某校数学兴趣小组在测量黄龙塔的高度的过程中，绘制了如图②的示意图．在处用高为的测角仪测得塔顶端的仰角为，再向黄龙塔方向前进到达距处的处，又测得塔顶端的仰角为．求黄龙塔的高度（结果精确到）．【参考数据：，，】 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要查了解直角三角形．延长交于点F，根据题意得：，，，在中，可设，则，然后在中，解直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F， 根据题意得：，，， 在中，， ∴可设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴． 即黄龙塔的高度为． 【变式训练1】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ∴, ∴的长为． （2）解：由题意得，在中，，， ∴， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：塔的高度约为． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． (1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ (2)求建筑物的高度为多少米？ (3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 【答案】(1)斜坡的端点F到水平地面的距离为米，斜坡的水平宽度为米 (2)米 (3)小明上坡时的车速为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、含30度角的直角三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角，坡度坡角问题等知识．解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由可得，再由直角三角形的性质和三角函数求解即可； （2）由可证，设米，根据得，即，再求解即可； （3）设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为，根据题意可列方程，再求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 米， ∴斜坡的端点F到水平地面的距离为，斜坡的水平宽度为米． （2）解：由题意知： ， 在中，， ， ， 设米， 在中，， ， ， 解得：， 米， 答：建筑物的高度为米； （3）解：设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴小明上坡时的车速为． 类型四、解直角三角形应用仰俯角之“斜截”型 例题：（24-25九年级上·河北唐山·期中）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为． (1)______度； (2)求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：） 【答案】(1) (2)杨树的高度为米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度及仰角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据坡度得出，即可求解； （2）在中，求出，再在中，建立等式即可求解． 【详解】（1）解：斜坡的坡度为， ， ， 故答案为：； （2）解：过点作的垂线，交于点，如下图： ，即， 解得：， ，即， 解得：， 在中， ，即， ， 解得：（米）， 答：杨树的高度为米． 【变式训练1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图是某路段路灯的示意图，灯杆长0.6m，灯柱与灯杆的夹角为．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为12.3，从D，E两处分别测得路灯A的仰角为和，求灯柱的高度（参考数据：，，）． 【答案】灯柱的高度约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【详解】解：如图，过点A作，垂足为F，过点B作，垂足为G， 由题意，得，， ∵， ∴． 在中，， ∴． 设， ∵， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴灯柱的高度约为． 【变式训练2】（2024·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，） (1)求的度数； (2)①求的长； ②求的长． 【答案】(1) (2)①的长约为米；②的长约为米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键． （1）连接，过点作，由题意可知，，，，进而得到，再根据平行线的性质，得出，即可求解； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，则令米，利用锐角三角函数列方程，求出，即可求解； ②由①可知，米，再利用锐角三角函数求出米，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作， 由题意可知，，，， ， ， ，， ， ； （2）解：①由题意可知，，，，，米， 是等腰直角三角形， ， 令米，则米， 在中，， ， ， 即的长约为米； ②由①可知，米， 在中，， 米， 米， 即的长约为米． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 【答案】A 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，作于， 根据矩形的性质得到，根据坡度的概念和勾股定理求出，根据正切的概念求出，计算即可. 【详解】解：作于，则四边形为矩形， ∴，设米， 则米， 由勾股定理得 解得， ， 即米， ∴米， 在中， 即米， ∴(米) ， 故选： A. 3．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 【答案】C 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， （米， 这棵木棉树的高度约为20米， 故选：C． 二、填空题 4．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是 ． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：迎水坡的坡度， ， ∵， ， 在中，由勾股定理得，， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，）    【答案】262 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 作于，根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算即可． 【详解】解：作于，如图所示：    由题意得：， ∴四边形为矩形， ， 在中，， 则， 在中，， ， ， 则该建筑的高度为， 故答案为：262． 6．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形．过点E作于，于，先利用正切三角函数可求出的值，在中，求出的值，然后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作于，于，      则四边形和四边形均为矩形， ， 由题意得：米，米，米，，， 在中，，即， 解得（米）， 米， 在中，，，， 米， （米）， 答：2号楼的高度是米． 故答案为：． 三、解答题 7．（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，） 【答案】隧道南北两端A、B的距离约为155米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键，分别过A、B两点作于E，于F，解直角三角形得出（米）， （米），求出结果即可． 【详解】解：分别过A、B两点作于E，于F，如图所示： 在中，，米， ，（米）．     在中，， ，（米）． （米）． 答：隧道南北两端A、B的距离约为155米． 8．（2023·重庆·一模）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，． （参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？ 【答案】(1)848米 (2)走点A经过点B到点C的路线较近 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键； （1）过点C作于点E，过点B作于点G，由题意易得，然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点E，过点B作于点G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 答：步道的长度约为848米． （2）解：小王从点A经过点B到点C较近，理由如下： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴小王从点A经过点B到点C较近． 9．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求点C到点D的水平距离的长； (2)求楼的高度． 【答案】(1)40米 (2)楼的高度约为80米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得，设米，则米，然后利用勾股定理可求出．据此即可求得的长； （2）过点D作，垂足为G，则米，，然后设米，在中，利用锐角是三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵山坡CF的坡度， ∴， 设米，则米， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米，（米）； （2）解：过点D作，垂足为G，则四边形是矩形， ∴米，， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴米， ∴楼的高度约为80米． 10．（23-24九年级下·重庆北碚·开学考试）哈尔滨旅游火爆全网，小西和小附两家前往哈尔滨冰雪大世界玩耍，如图，两家到达入口R处后分两条线路进行游玩，最后前往最大游玩项目B处集合．经测量，项目B在入口R的正北方向米处，项目A在入口R的北偏西方向，在项目B的南偏西方向，项目D在入口R的东北方米处，项目C在项目D的北偏西方向，在项目B的正东方向． (1)求项目C和项目D之间的距离；（结果保留根号） (2)已知小西家沿线路①进行游玩，小附家沿线路②进行游玩，请通过计算说明哪一条线路更短？（参考数据：，，） 【答案】(1)项目C和项目D之间的距离为米； (2)线路②更短 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）过D作于E，求出米，过C作于F，则四边形是矩形，得到米，则米，即可得到米； （2）求出线路②（米）,得到米，米，得到线路①（米），比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：过D作于E， ∵米， ∴米， ∵米， ∴米， 过C作于F，则四边形是矩形， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 答：项目C和项目D之间的距离为米； （2）由（1）知， 米， ∴线路② （米）， ∵， ∴， ∴米，米， ∴线路①（米）， ∵， ∴线路②更短． 11．（2024·贵州·模拟预测）贵阳乌当惜字塔位于贵阳市乌当区，它是贵阳当地历史悠久的古塔之一，也是唯一一座与爱惜文字有关的古塔．某校九年级的一个班级利用周末时间开展“测量乌当惜字塔高度”的实践活动，想得到乌当惜字塔的高度．如图，乌当惜字塔垂直于地面，在塔的两侧不远处取C，D两点，C，D两点之间的距离为，并测量出，．（参考数据：，，，，，，，结果保留一位小数．）      (1)求乌当惜字塔的高度； (2)同学们发现，在塔身第三层的位置镌嵌着“过”、“化”、“存”、“神”四个大字，于是在D点观察第三层时测量到，求四个大字所在的第三层距离地面的高度． 【答案】(1) (2)四个大字所在的第三层距离地面的高度约为． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）设，分别解和求出，，进而可得，解方程即可得到答案； （2）由（1）可得，再解求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴乌当惜字塔的高度约为； （2）解：由（1）得，， ∴， 在中，， ∴， ∴四个大字所在的第三层距离地面的高度约为． 12．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在课堂上，同学们已经学习了一些测量距离的方法．小刚想尝试利用无人机测量一河某处的宽度．如图所示，小刚站在河岸一侧的D点操控无人机，操纵器距地面距离米，在河对岸安放了一标志物F点，无人机在点D正上方的点A，无人机的飞行速度为7米/秒，无人机匀速水平飞行4秒到达点B，此时，小刚手里的操纵器测量无人机的仰角为，然后无人机又继续以同样的速度水平飞行12秒到达点C，测得点F的俯角为（点A，B，C，D，E，F在同一平面内） (1)______米，______； (2)求无人机的飞行高度； (3)求河宽的距离．（参考数据：，，） 【答案】(1)28；63 (2)米 (3)米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得：，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答； （2）利用（1）中结论，求出可得结论； （3）过点作，垂足为，根据题意可得，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，利用（1）的结论求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 米，米， （米）， 在中，（米）； 故答案为：28；63． （2）解：米，米， （米）． 答：无人机的飞行高度为57.5米； （3）解：（米秒）， 无人机飞行的速度约为7米秒； 过点作，垂足为， 则，米， 在△中，， （米）， （米），米， （米）， （米）， 河宽的距离为54.5米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 解直角三角形应用仰俯角的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、解直角三角形应用仰俯角之“独立”型 2 类型二、解直角三角形应用仰俯角之“背靠背”型 4 类型三、解直角三角形应用仰俯角之“叠合”型 7 类型四、解直角三角形应用仰俯角之“斜截”型 12 压轴能力测评（12题） 16 解题知识必备 1. 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 2. 仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 3.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 4.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 压轴题型讲练 类型一、解直角三角形应用仰俯角之“独立”型 例题：（24-25九年级上·全国·单元测试）小丽用两锐角分别为 和 的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知 ，那么这棵树大约有多高？（结果精确到 ） 【变式训练1】（2024·浙江台州·模拟预测）在某次春日研学活动中，学校组织同学们参观了一颗千年古树，小明站在与树相距远的C处测得在此处观测树顶A的仰角为，若小明同学的眼睛距离地面，请帮助小明估开该树的高度？（参考：） 【变式训练2】（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳蓬的宽，则的长度为多少？ 类型二、解直角三角形应用仰俯角之“背靠背”型 例题：（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 【变式训练1】（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    【变式训练2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图②所示的示意图．在其附近高为的高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．求亚帆灯塔的高．（结果精确到）【参考数据：，，】 类型三、解直角三角形应用仰俯角之“叠合”型 例题：（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图①，位于农安镇城西门的黄龙塔至今已有千年历史，亦称辽塔．某校数学兴趣小组在测量黄龙塔的高度的过程中，绘制了如图②的示意图．在处用高为的测角仪测得塔顶端的仰角为，再向黄龙塔方向前进到达距处的处，又测得塔顶端的仰角为．求黄龙塔的高度（结果精确到）．【参考数据：，，】 【变式训练1】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． (1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ (2)求建筑物的高度为多少米？ (3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 类型四、解直角三角形应用仰俯角之“斜截”型 例题：（24-25九年级上·河北唐山·期中）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为． (1)______度； (2)求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：） 【变式训练1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图是某路段路灯的示意图，灯杆长0.6m，灯柱与灯杆的夹角为．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为12.3，从D，E两处分别测得路灯A的仰角为和，求灯柱的高度（参考数据：，，）． 【变式训练2】（2024·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，） (1)求的度数； (2)①求的长； ②求的长． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 3．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 二、填空题 4．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是 ． 5．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，）    6．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    三、解答题 7．（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，） 8．（2023·重庆·一模）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，． （参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？ 9．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求点C到点D的水平距离的长； (2)求楼的高度． 10．（23-24九年级下·重庆北碚·开学考试）哈尔滨旅游火爆全网，小西和小附两家前往哈尔滨冰雪大世界玩耍，如图，两家到达入口R处后分两条线路进行游玩，最后前往最大游玩项目B处集合．经测量，项目B在入口R的正北方向米处，项目A在入口R的北偏西方向，在项目B的南偏西方向，项目D在入口R的东北方米处，项目C在项目D的北偏西方向，在项目B的正东方向． (1)求项目C和项目D之间的距离；（结果保留根号） (2)已知小西家沿线路①进行游玩，小附家沿线路②进行游玩，请通过计算说明哪一条线路更短？（参考数据：，，） 11．（2024·贵州·模拟预测）贵阳乌当惜字塔位于贵阳市乌当区，它是贵阳当地历史悠久的古塔之一，也是唯一一座与爱惜文字有关的古塔．某校九年级的一个班级利用周末时间开展“测量乌当惜字塔高度”的实践活动，想得到乌当惜字塔的高度．如图，乌当惜字塔垂直于地面，在塔的两侧不远处取C，D两点，C，D两点之间的距离为，并测量出，．（参考数据：，，，，，，，结果保留一位小数．）      (1)求乌当惜字塔的高度； (2)同学们发现，在塔身第三层的位置镌嵌着“过”、“化”、“存”、“神”四个大字，于是在D点观察第三层时测量到，求四个大字所在的第三层距离地面的高度． 12．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在课堂上，同学们已经学习了一些测量距离的方法．小刚想尝试利用无人机测量一河某处的宽度．如图所示，小刚站在河岸一侧的D点操控无人机，操纵器距地面距离米，在河对岸安放了一标志物F点，无人机在点D正上方的点A，无人机的飞行速度为7米/秒，无人机匀速水平飞行4秒到达点B，此时，小刚手里的操纵器测量无人机的仰角为，然后无人机又继续以同样的速度水平飞行12秒到达点C，测得点F的俯角为（点A，B，C，D，E，F在同一平面内） (1)______米，______； (2)求无人机的飞行高度； (3)求河宽的距离．（参考数据：，，） 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