65.利用导数解决恒能成立问题-高中数学全部题型大总结（全国版）

65.利用导数解决恒能成立问题 1．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数，则下列正确的是（   ） A．的极小值为 B．在单调递增 C．有三个实根 D．，当时，恒成立，则的取值范围是 6．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知函数，则（    ） A．在单调递减，则 B．若，则函数存在2个极值点 C．若，则有三个零点 D．若在恒成立，则 7．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（    ） A．曲线的图象关于原点对称 B．对任意，直线与曲线有唯一交点 C．对任意，恒有 D．曲线在的部分与轴围成图形的面积小于 8．（24-25高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A．当时，若有三个零点，则的取值范围是 B．当且时， C．对于任意满足 D．若存在极值点，且，其中，则 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）设函数且，则（    ） A．函数和的图像关于直线对称 B．函数和的图像的交点均在直线上 C．若，方程的根为，方程的根为，则 D．已知，若恒成立，则的取值范围为 10．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）若对一切恒成立，则的最大值为 . 11．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）若对任意的，且，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 13．（24-25高三上·重庆·期中）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为 ． 14．（2024高三·全国·专题练习）已知不等式 对任意的恒成立，则实数的取值范围为 . 15．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ． 16．（2024·江西新余·模拟预测）函数满足恒成立，则的取值范围是 . 17．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 18．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是 ． 19．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线过原点，求a； (2)当时，证明：； (3)若在上单调递增，求a的取值范围. 20．（24-25高三上·浙江·阶段练习）设函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求证：m的最大值与最小值之差大于. 21．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数. (1)若，证明：； (2)若且存在，使得成立，求的取值范围． 22．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：当时，. 23．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)设方程的所有根之和为T，且，求整数n的值； (3)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． 24．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数. (1)当时，求证：； (2)若，且在R上恒成立，求的最大值； (3)设，证明：. 25．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若时，，求的取值范围； (3)对于任意的且，证明： 26．（2024·北京·模拟预测）已知函数，． (1)若，证明：； (2)若，求a的取值范围； (3)若，记，讨论函数的零点个数． 27．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求函数的解析式； (2)若在定义域内恒成立，求的取值范围； (3)求证：. 28．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）定义函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．（注：是自然对数的底数） 29．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，求k的值； (3)设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 30．（2024·湖南衡阳·一模）已知函数 (1)若在处的切线方程为，求、的值； (2)若时，在上恒成立，求的取值范围； 31．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数. (1)证明：当时，； (2)若恒成立，求实数的值； (3)证明：. 32．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）已知函数． (1)若在处的切线方程为，求m的值； (2)当时，求证：有且仅有两个零点； (3)若时，恒有，求m的取值范围． 33．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求的最大值． 34．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数，，则 (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求m的取值范围； (3)当时，若的最小值是0，求的最大值． 35．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）已知函数图象的对称中心为. (1)求和的值； (2)若对于任意的，都有恒成立.求实数的取值范围. 36．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数. (1)讨论在区间上的单调性； (2)若时，不等式有解，求的取值范围. 37．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 38．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知，函数在点处的切线过点. (1)求实数b的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若对恒成立，求实数a的取值范围． 39．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求的取值范围． 40．（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的零点. (2)若使得成立，试求的取值范围 (3)当在点处的切线与函数的图象交于点时，若的面积为，试求的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D B D ACD BCD ACD ACD AC 1．B 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】利用导函数证明在区间上单调递增，从而得出的值域；同理得出的单调区间和值域，由题意可知，这两个函数值域需要有交集，得出不等式组，从而得出范围. 【详解】，∴时，， ∴在区间上单调递增， ∴当时， ，令， 则，令，则， ∵， ∴时，，∴单调递增， ∴， ∴在上单调递增， ∴， 由题意可知， ∴. 故选：B 2．D 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用同构分离参数，构造函数证明得出即可计算参数范围. 【详解】，即， 令， 显然时，时， 即在上单调递增，在上单调递减，所以， 则， 又，当且仅当时，等号成立． ． 故选：D． 【点睛】思路点睛：对于指对结合的复杂函数，有时利用同构思想处理比较方便，通过常用的函数放缩计算参数范围即可. 3．B 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】问题等价于恒成立，不妨令，求出即可得实数的取值范围. 【详解】当，恒成立， ，即恒成立. 不妨令，则 设，有，， 当时，，在上单调递增，有， 所以时， ，当且仅当时等号成立. 故， 当且仅当，即时上式取得等号， 由对数函数和一次函数的图象和性质可知，方程显然有解， 所以，得. 故选：B. 【点睛】方法点睛： 问题等价于恒成立，由，利用，得到. 4．D 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据题意同构可得，构建，结合单调性可得，参变分析可得，构建，利用导数求最值结合恒成立问题分析求解. 【详解】由题意可知：，整理可得， 设，则，可知在内单调递增， 由题意可知：，则对任意内恒成立， 可得对任意内恒成立， 设函数，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以的最小值为，可得， 所以的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据题意同构可得，构建，结合单调性可得. 5．ACD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根 【分析】求导后可得单调性，结合极值定义可知AB正误；作出图象，根据与的交点个数可得C正确；将D中问题转化为在上单调递增，由，采用分离参数的方式可求得D正确. 【详解】由题意知：定义域为，； 当时，；当时，； 的单调递减区间为，；单调递增区间为； 对于A，的极小值为，A正确； 对于B，当时，单调递减，B错误； 对于C，的极大值为，且当时，，由此可得图象如下图所示， 由图象可知：与有三个不同的交点， 即有三个实根，C正确； 对于D，由当时，恒成立可得：， 令，则在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 在上的最大值为，，D正确. 故选：ACD. 6．BCD 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、函数极值点的辨析 【分析】利用导函数判断函数单调区间，从而得到极值点，然后就可以得到函数大致图像就可以判断函数零点问题。函数在某个区间内恒成立问题可以通过分离参数的方法得到对应函数，利用导函数求函数最值，从而判断参数的取值范围. 【详解】由题可知， 对于选项A：由题意可知：是解集的子集，当时，显然恒成立，当时，， ∵，∴，即，∴，故选项A错误； 对于选项B：若，，则有两个解， 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以函数存在2个极值点，故选项B正确； 对于选项C：若，则时，，，单调递增， ，单调递减，，单调递增， 所以有极大值，有极小值，∴三次函数有三个零点，故选项C正确； 对于选项D：当时，恒成立， 当，令，则，令，， ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减； ∴，则； 当，令，则，令， ∴当时，，单调递增； ∴，则； 综上所述：若在恒成立，则，故选项D正确. 故选：BCD 7．ACD 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、由方程求曲线的图形、由方程研究曲线的性质 【分析】将，替换为，计算即可判断A；取，可判断有三个交点即可判断B；利用函数的单调性来得出的取值范围，再结合的单调性进行求解即可判断C；利用图象的对称性和半圆的面积进行比较即可判断D． 【详解】A．对于，将，替换为，，所得等式与原来等价，故A正确； B．取，可以求得，，均可，故B错误； C．由，，函数，故， 令，解得：，在，时，，函数单调递减， 在时，，函数单调递增，所以， 又因为是增函数，，所以有，故C正确； D．当时，，又， ，所以． 曲线与轴围成半圆，又曲线的图象关于原点对称， 则曲线与轴围成图形的面积小于，故D正确． 故选：ACD． 8．ACD 【难度】0.4 【知识点】判断或证明函数的对称性、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】对于A,B,求导确定函数单调性，求得极值，构造不等式即可判断；对于C，代入解析式化简即可；对于D，由，得到代入化简即可. 【详解】对于A:当时，，， 由，可得或， 由，可得， 所以的增区间为和，减区间为， 所以在处取到极大值，在处取到极小值， 若有三个零点，则解得，故正确； 对于B：当，，，同时 ，结合A函数的单调性得，故错误； 对于C：，故正确； 对于D：若， 由，得， 则， 其中代入，得， 整理得，即， 结合题设，故正确， 故选:ACD 9．AC 【难度】0.4 【知识点】反函数的性质应用、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】对于A：根据反函数的性质分析判断；对于B：举反例说明即可；对于C：整理可得，，同构函数，结合函数单调性分析证明；对于D：根据题意分析可得，构建函数，利用导数分析其最值，结合恒成立问题即可得结果. 【详解】对于选项A：因为和互为反函数，可知其图象关于直线对称，故A正确； 对于选项B：例如，则， 可知和的图像有交点和，均不在直线上，故B错误； 对于选项C：由题意可得：， 因为，可得，即， 设函数， 因为在上单调递增，可知在上单调递增， 又因为，则，即，故C正确； 对于选项D：当时，为增函数， 若，则，与矛盾，舍去，所以， 若恒成立，则，即， 两边取对数可得，即， 同理可得：等价于，即， 令，则， 当时，；当时，； 则，可得，解得， 所以的取值范围为， 例如，可得， 即，且为增函数， 可得，符合题意，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：对于C：根据题意整理可得，，进而可同构函数； 对于D：根据题意分析可知：，解得的取值范围为，进而取反例说明. 10．/ 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，再构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，即可得解. 【详解】由题意可得对一切恒成立， 令，则， 当时，，故在上单调递减， 此时在上无最小值，不符合题意， 当时，令，有，令，有， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 即，则， 令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 当满足题意，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而得到，即可得，再构造函数，求出其最大值即可得. 11． 【难度】0.65 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】把不等式，转化为，结合，进而得到的取值范围. 【详解】令，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增， 可得，即，所以， 由不等式，可得， 因为， 当且仅当时等号成立，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12． 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、定义法判断或证明函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】不等式转化为，通过变形可得对任意的，且有，这样问题转化为已知函数在区间上的单调性求参数范围，求导即可得到结果. 【详解】由题意得，，. ∵，∴，∴， ∴，即， ∴， ∵，∴， ∴，整理得， 令，则在为减函数，， 由得，解得， ∴的单调递减区间为， ∴， ∴，即实数的取值范围是. 故答案为：. 13． 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】转化为导数恒成立，然后参变分离，利用导数求函数的值域即可得解. 【详解】， 因为函数在区间上单调递减， 所以，即在区间上恒成立， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，所以的最大值为. 故答案为： 14． 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】分离参数，得到的形式，原问题可转化为，求 ，分析的单调性，得到. 【详解】由，得， 令，则对任意的恒成立， ∴. 由题意得， . 令，则， ∵， ∴，即在为减函数， ∵， ∴当时，，，在上为增函数， 当时，，，在上为减函数， ∴， ∴. 所以的取值范围为. 故答案为：. 15． 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先证明为奇函数，再利用导数证明为增函数，结合函数性质化简不等式可得，再利用导数求的最小值可得结论. 【详解】设， 由，可得， 函数的定义域为， 函数的定义域关于原点对称，又， 所以函数为奇函数， 因为，当且仅当时取等号， 所以函数为增函数， 不等式可化为， 故， 所以， 所以， 由已知，其中， 设，， 则 令，可得， 设，， 则， 所以在上单调递增， 又，， 所以存在，使得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，取最小值，最小值为，其中 所以， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过变形，并结合函数性质将原不等式化简为，再根据恒成立问题的处理方法求解. 16． 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】构造函数，利用函数的单调性求解即可. 【详解】，设，在上单调递增， ， 令，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，又， 则的取值范围为： 故答案为： 17． 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】设，先转化问题为恒成立，进而结合导数分析函数的单调性得到对恒成立，进而得到对恒成立，即，再构造函数，，进而结合导数求解即可. 【详解】由对恒成立，且， 即恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 设，则， 设，则， 令，则；令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 所以恒成立， 可以转化为恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立，即. 设，，则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又，所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是观察原不等式的特点，将问题转化为恒成立，再结合导数进行求解即可. 18． 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】当时，由可得出，令，其中，利用导数分析函数在上的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由可得，则， 令，其中，则， 当时，令，可得，列表如下： 增 极大值 减 且，，，，如图所示：    要使得存在唯一的负整数，使得，即， 只需，即， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19．(1) (2)证明见详解 (3) 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，代入原点运算求解即可； （2）构建，利用导数分析其单调性和最值，即可分析证明； （3）分类讨论的符号，可知在上恒成立，构建，结合端点效应分析证明. 【详解】（1）因为，则， 则，， 即切点坐标为，切线斜率，则切线方程为， 若切线过原点，则，解得. （2）若，则， 构建， 则， 令，则， 即恒成立，则在上单调递增，且， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，所以. （3）若在上单调递增， 当，则在上单调递增，符合题意； 当，则在上单调递增，符合题意； 当，由（1）可知：，则在上恒成立， 设，则， 且，则，解得， 若，可知在上单调递增， 则， 可知在上单调递增，则，符合题意； 综上所述：a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 20．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程化简即可； （2）令，将恒成立问题转化为恒成立，求导，利用导数研究的单调性，然后求得，进一步构造函数，利用导数研究其单调性，求出的m范围，即可证明. 【详解】（1）由题意，所以切线斜率， 又，所以函数在处的切线方程为，即； （2）令，则， 所以恒成立等价于恒成立，， 当，则在上单调递增，而，不符合题意. 当，由得， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以， 令，则，又由得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 而，，所以， 所以m的最大值与最小值之差大于. 21．(1)证明见解析 (2)． 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，由单调性求出函数的最值，则可得证. （2）由题意只需函数在上的最小值小于，求出，讨论a的取值范围，利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，则a的范围可求. 【详解】（1）若，则，所以 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增 所以有极小值，也是最小值，且， 所以． （2）由题意得， 因为，所以令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增. 若，则在上的最小值为. 要使条件成立，只需，解得. 若，则在上的最小值为， 令，无解． 故的取值范围为． 22．(1)； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解. （2）构造函数，利用导数证得，再利用函数单调性信不等式性质推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为，，令， 依题意，恒成立，，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，，于是， 所以实数的取值范围是. （2）当时，令，求导得，函数在上单调递增， 则，即，因此，， 令，求导得，即函数在上单调递增， ，即，于是， 所以. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 23．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由题可得，判断导函数符号，可得函数的单调性，即可得函数的最小值； （2），由单调性结合零点存在性定理可得零点范围，即可得T的范围，即可得答案； （3）令，求导得，然后分，两种情况讨论可得答案； 【详解】（1），     ，，单调递减， ，，单调递增， ； （2）方程可化简为 方程的根就是函数的零点， 注意到，则在，上单调递增.    因为，， 所以函数在有唯一零点，且. 因为，， 所以函数在有唯一零点，且 则，因此，． （3）设，则当时恒成立， ①由（1）得， 当时， ，，单调递减， ，，单调递增， .∴ ②当时，，这与矛盾， 综上，． 【点睛】关键点睛：对于零点范围问题，常利用零点存在性定理确定具体范围；对于函数不等式恒成立问题， 可利用分离参数解决，也可直接分类讨论处理. 24．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）不等式成立转换为函数最小值问题，利用导函数求得到点区间，从而得出最小值，不等式得证； （2）构建函数，利用导函数求得单调区间，从而找到最小值，由题意得到不等关系，再令所求代数式为函数，借助导函数求得最大值； （3）由（1）中结论，对变量进行合理转化构建出不等关系，从而得证. 【详解】（1）令，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，单调递增，则； （2）令，； 由得出；由得出； ； ，， 令，；， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是的极大值点，，的最大值为； （3）由（1）知，， 令，则，即， 设，则满足， 所以，即， 所以， 所以， 即. 【点睛】方法点睛：不等式成立问题： （1）通过令两项的差为函数关系，再利用函数单调性求出函数的最值的方式来解决； （2）多项求和的不等关系的证明，可以先找到某一项的不等关系，再求和得到结论. 25．(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）直接利用导数计算研究函数单调性即可； （2）含参讨论的单调性，结合端点值计算即可； （3）利用（2）的结论得出，结合累加法即可证明. 【详解】（1）当时，， 显然时，，此时在上单调递增， 时，，此时在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由题意知， 若，此时在定义域上单调递减， 即，不符合题意， 若，则，易知时，，此时单调递减， 则，不符合题意， 若，则，时，，此时单调递增， 所以，符合题意， 综上， （3）由（1）、（2）可知， 所以， 即， 所以， 累加得，证毕. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是得出不等式，进而推出，利用累加法求解. 26．(1)证明见解析； (2)； (3)答案见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数研究区间单调性，即可证结论； （2）问题化为研究时恒成立，应用导数求右侧最值，即可得范围； （3）根据解析式有，在将问题化为研究与在上的交点情况，讨论参数a的符号，结合导数研究交点，即可确定原函数零点个数. 【详解】（1）由题设且，则， 所以在上递减，故，得证； （2）由解析式，易知时恒成立， 当，只需恒成立， 令且，则， 令，则，即在上递增， 所以，故，即在上递增，且， 对于，，则， 故在上递增，且时， 综上，，即. （3）由题设，且定义域为，显然， 令，且， 只需研究与在上的交点情况， 若，则在上递减，在上递增，且时， 而，即在上递减，且， 又，则，在处的图象递减趋势比的图象平缓， 故与在上有且仅有一个交点， 此时，在有两个零点； 若，在恒成立，而恒成立， 故与在上无交点， 此时，在有一个零点； 综上，时有两个零点；时有一个零点. 27．(1) (2)1 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】由对称性求函数的解析式、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据两函数关于对称求解析式即可； （2）先探求时成立，再证明当时恒成立，证明过程利用导数求出函数极大值即可； （3）根据（2）可得，转化为，再由，累加相消即可得证. 【详解】（1）设图象上任意一点，则其关于直线的对称点为， 由题意知，点在函数图象上， 所以， 所以. （2）不妨令， 则在上恒成立， 注意到且在上是连续函数，则是函数的一个极大值点， 所以，又， 所以，解得 下面证明：当时，在上恒成立， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即在上恒成立，又， 所以， 综上，. （3）由（2）知，，则，， ， 又由（2）知：在恒成立，则在上恒成立， 当且仅当时取等号，则令， 则， ，证毕. 【点睛】关键点点睛：在证明第（3）问时，关键应用（2）后合理变形，得到，再令，利用（2）中式子得，能够利用累加相消是证明的关键. 28．(1) (2) (3)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果； （3）分成为奇数，为偶数两种情况，并借助导数不等式分别讨论函数的零点个数及最值. 【详解】（1）由， 可得, 所以曲线在处的切线斜率. （2）若对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，则， 由解得，或；由解得， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又，且当时，， 故的最小值为， 故，即的取值范围是. （3）， 当时，， 因此当为奇数时，， 此时 则，所以单调递减， 此时，显然有唯一零点，无最小值， 当时， ， 且当时， ， 由此可知此时不存在最小值， 从而当为奇数时，有唯一零点，无最小值， 当时，即当为偶数时，， 此时， 由，解得；由，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为， 即，所以当为偶数时，没有零点， 即当为偶数时，没有零点，存在最小值， 综上所述，当为奇数时，有唯一零点，无最小值； 当为偶数时，没有零点，存在最小值. 【点睛】方法点睛：恒成立问题的等价转化法则： （1）恒成立恒成立； （2）恒成立恒成立； （3）恒成立，恒成立； （4）恒成立． 29．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）利用导数几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标，写出切线方程即可； （2）利用导数研究的最值，由最小值为0，进一步利用导数研究方程的根即可； （3）应用（2）的结论，结合数列求和知识研究m的取值范围，进而求得最小值. 【详解】（1）当时，，， 所以，所以切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）因为， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，与不符； 当时，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以， 设， 则， 由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以有唯一解，且. （3）由（2）知当时，， 当且仅当时，. 所以当且时，， 则. 取（），所以， 所以，，， 所以. 所以 所以 于是对于任意正整数n，， 只需，又因为，所以， 则m的最小值为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 30．(1)， (2) 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）由题意得直线的斜率，根据导数的几何意义，再结合点在切线上，即可求解； （2）由题意得，且在上，，所以即可求出，再利用导数的几何意义及零点存在定理结合对零点“设而不求”的方法证明即可. 【详解】（1）， 由题意得， 所以，即， ， 所以， 故，. （2）， 若上恒成立，即， 故是在上的极小值，所以， ，，解得， 下证时，， 令，， ①在上单调递减，，， 由零点存在定理，，使得， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， ，，， 由零点存在定理，使得， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以上，，，， ②在上，单调递增， ，单调递减，所以， 综上，只有当时，在上，所以. 31．(1)证明见解析； (2)2； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）构造函数，求导函数，根据函数在的单调性求解值域即可证明. （2）就分类讨论后可得，再利用导数可证明此时不等式恒成立. （3）利用，转化为，然后利用导函数的单调性证明即可. 【详解】（1）令函数，则， 当时，，所以在上单调递增，则， 所以，证毕. （2）恒成立，即恒成立， 记，则， 若，因此， 当时，由， 故存在，使得且任意的，总有， 故在上为减函数，故任意的，总有， 这与题设不合，舍； 若，则，因的图像连续不间断， 故存在，使得任意的，总有， 故在上为增函数，故任意的，总有， 这与题设不合，舍； 故，此时， 当时，，故在上为减函数； 当时，由，在上均为减函数， 可得在为减函数， 故，， 故在上为增函数，故， 故恒成立，故. （3）由（2）可知，，当且仅当时取等号， 所以， ， 因为， 所以即证， 令，则， 所以即证：，，由（1）证明可得， 故，，， 即. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 32．(1)0； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合已知求出m的值. （2）当时，按分段计算的取值情况，结合零点存在性定理求出的单调区间即可推理得证. （3）分段讨论可得恒成立，再按讨论求解. 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，解得，经验证符合题意， 所以m的值为0. （2）当时，，， 当时，， 当时，， 当时，函数在上单调递增，则在上单调递增， 而，，因此存在唯一，使得， 当时，，当时，，则在上递减，在上递增， 于是，而， 则函数在上有唯一零点，而，则0是在上的唯一零点， 所以函数有且仅有两个零点. （3）由（2）知，函数在上单调递增，此时， 当时，， 则当时，恒成立，当，即时，恒成立， 函数在上单调递增，恒有成立，则； 当时，，， 又函数在上的图象连续不断， 则必存在，使得，且时，， 因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以m的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答. 33．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性与最值分离参数计算即可； （2）含参分类讨论的单调性，得出，构造函数，利用导数研究其单调性及最值计算即可. 【详解】（1）由题意得，则， 令， 显然时，，即此时单调递减， 时，，即此时单调递增， 所以，则， 实数a的取值范围为； （2）若，则， 令，则， 若，则，此时在R上单调递增， 当时，，不符合题意； 当，则时，，此时单调递增， 时，，此时单调递减， 即， 即， 所以， 令， 易知当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即， 所以， 当且仅当时，， 所以的最大值为. 【点睛】思路点睛：对于双变量的恒成立问题，可以通过消元转化为单变量函数最值来进行计算. 34．(1)答案见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据题意，求得，分和，两种情况讨论，进而得到函数的单调区间； （2）令，求得，由，转换为恒成立，令，求得，得到在上为增函数，得到，即可求解； （3）令函数，转化为在上恒成立，结合相切时取得等号，设切点坐标为，求得切线方程，列出方程组，求得的表达式，得到所以，令函数，利用导数求得单调性，得到，求得，得出，且，进而得到答案. 【详解】（1）解：由函数，可得， 若时，可得，所以在上单调递增； 若时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 综上可得：当时，在上单调递增； 若时，在上单调递减，在上单调递增. （2）解：令函数，可得， 因为当时，恒成立，所以在上恒成立， 又因为，要使得在上恒成立，则恒成立， 令， 可得， 即在上为单调递增函数，所以，解得， 即实数的取值范围为. （3）解：当时，若的最小值是0， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 显然相切时取得等号，由函数，设切点坐标为， 可得，可得， 所以切线方程为， 即， 因为切线过原点，则， 解得， 所以 ， 令，其中， 可得， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，此时， 可得， 则，其中， 只需证明：当时，，当时，， 令，可得， 因为和都为增函数，都可为增函数， 所以，所以为增函数， 因为，所以当时，，当时，， 所以，当且仅当，等号成立， 即的最大值为. 【点睛】方法策略：利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略： 1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围； 2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值，进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围； 3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围. 35．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）由题意可得出，代入化简即可得出答案. （2）将题意转化为对于任意的，恒成立.令，分类讨论，求出的最小值即可得出答案. 【详解】（1）由， 因为函数图象的对称中心为， 所以， 所以， 化简可得：，即， 因此. （2）由（1）可知，对于任意的，都有恒成立，即恒成立. 令，可得， 令，即，即， ①当时，，则在上单调递增，，符合题意； ②当时，，则， 则在上单调递增，，符合题意； ③当时，，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 令，则， 所以在上单调递减，所以，不合题意； 综上所述，. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 36．(1)答案见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，按分类讨论，求出函数的单调区间. （2）根据给定条件，将不等式分离参数得，再构造函数，，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】（1）函数，求导得，由，得， 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增. （2）依题意，不等式在时有解，即在时有解， 令，，求导得， 由，得；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论. 37．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）由得，再利用基本不等式求解； （2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数研究函数的单调性与最值即可. 【详解】（1）由得，又， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. （2）当时，，恒成立，即. 因为， 令，为开口向上的抛物线， 所以必有两个根，，且， 所以即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 即， 令 ，， 所以， 所以在上单调递增，且， 所以，又在上单调递减， 所以， 即的取值范围为. 38．(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值； （2）求出导函数，再根据导函数求出即可证明单调性； （3）根据函数解析式分和两种情况化简转化为恒成立，再求的单调性得出最值即可求出参数范围. 【详解】（1）的定义域为， 故，又， 所以在点处的切线方程为， 将点代入得，解得． （2）由（1）知，则， 令， 则， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以， 所以在上单调递增． （3）对恒成立，即对恒成立， 当时，上式显然恒成立； 当时，上式转化为恒成立， 设，则， 所以在上单调递增；所以， 故，所以实数的取值范围为． 39．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义，根据导数求切线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解； （2）首先根据指对公式，变形不等式为，再构造函数，结合函数的单调性，转化为不等式恒成立，再利用参变分离，转化为函数最值问题，即可求解. 【详解】（1）当时，，，， 所求切线方程为：，即； （2）转化为， 可得， 构造函数，易得在单调递增， 所以有，由在单调递增， 故可得，即有在恒成立， 令，，得到， 可得时，；时，，所以在时取最大值， 所以，得到. 40．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）直接由方程求解即可； （2）由题意利用导数确定函数单调性，求出函数的最大值，建立不等式得解； （3）求出切线方程得出与坐标轴交点坐标，表示出三角的面积，求出切线与函数交点坐标，代入即可得解. 【详解】（1）由，解得， 即函数的零点为. （2）， ∴， 令，则， ∴在上单调递减， ∴，∴， 故在上单调递增， ∴， ∴，即. （3）由题可知，故切点为， ∵，∴， 所以切线方程为：， 交轴于，交轴于， 设切线交函数于点，因为，故， 又，故B的位置只能在C的上方. 如图，则的面积为， 或（舍），故， 所以函数过点， ∴，∴. 【点睛】关键点点睛：根据切线方程，设出切线和函数交点坐标，据此能表示出三角形的面积，利用面积求出交点坐标，即可代入函数解析式求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$