精品解析：广东省江门市恩平市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

2024-2025学年度第一学期期中检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案填写在下列表格内． 1. 下列图标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数和常数项分别为（　　） A. ，3 B. ， C. 1，3 D. 1， 3. 若一个点在第二象限，且它到x轴和y轴的距离分别为3和4，则这个点关于原点对称点的坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 二次函数图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数关系式是（    ） A. B. C. D. 5. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点顺时针旋转后得到，且点恰好落在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线与x轴的交点坐标是（　　） A. ， B. ， C ， D. ， 8. 如图，A，B，C是上的三个点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（    ） A. B. C. D. 10. 在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在相应位置上． 11. 方程的根是______． 12. 如图，已知在中，则的度数是_________． 13. 如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为______． 14. 如图，点F是等边三角形内一点，．将绕点B顺时针旋转得，连接，________． 15. 如图，已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则下列结论：①；②方程的两个根是，；③当时，随着的增大而增大；④．其中正确结论是________（填写序号）． 三、解答题（一）（本大题3小题，第16、17小题各7分，第18小题10分，共24分） 16. 解方程：． 17. 如图：已知二次函数，当二次函数的图象经过坐标原点时，求二次函数的解析式 18. 是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦长，半径，垂足为D，弓形高长． （1）求的长； （2）求半径的长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）． 19. 已知关于的方程 （1）求证：此方程有两个不相等的实数根： （2）若方程两根，满足，求的值； 20. 如图，点P是正方形内一点，点P到点A，B，D的距离分别为1，，，绕A旋转至，连结，并延长与交于点Q． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）求的大小． 21. 为进一步发展基础教育，自2022年以来，某市加大了教育经费的投入，2022年该市投入教育经费60000万元．2024年投入教育经费86400万元．假设该市这两年投入教育经费的年平均增长率相同． （1）求这两年该市投入教育经费年平均增长率； （2）若该市教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2025年该市投入教育经费多少万元． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，点D是中点． （1）求证：； （2）连接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）设直线与该抛物线对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点P是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期中检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案填写在下列表格内． 1. 下列图标是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中心对称图形的定义和性质可得到答案． 【详解】解：由中心对称图形的定义和性质，可知：选项A图形无对称中心，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项B图形无对称中心，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项C图形无对称中心，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项D图形有对称中心，是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2. 方程的二次项系数和常数项分别为（　　） A. ，3 B. ， C. 1，3 D. 1， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程的二次项系数和常数项分别为1，3， 故选C． 3. 若一个点在第二象限，且它到x轴和y轴的距离分别为3和4，则这个点关于原点对称点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值． P在第二象限，那么点P的横纵坐标的符号为负，正；进而根据P到x轴的距离为纵坐标的绝对值．到y轴的距离为横坐标的绝对值判断出具体坐标． 【详解】解：第二象限内的点横坐标小于，纵坐标大于； ∵到x轴距离是， ∴其纵坐标为， 到y轴的距离为， ∴其横坐标为， ∴坐标是． ∴关于原点对称点的坐标为 故选：C． 4. 二次函数的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数关系式是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答． 【详解】解：二次函数的图象向右平移3个单位， 得：． 故选：D． 5. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个方程的判别式Δ的值，找出的方程即可． 【详解】解：A、，∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； B、，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项符合题意； C、，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意； D、，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根． 6. 如图，将绕点顺时针旋转后得到，且点恰好落在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，根据旋转，得到，，进而得到，三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7. 抛物线与x轴交点坐标是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点的交点问题，根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标，解出两根即可得到抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标， 解方程得，． ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 故选：A． 8. 如图，A，B，C是上的三个点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据圆周角定理求解即可． 【详解】∵， ∴． 故选：B． 9. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移的方法，平移后的剩余部分仍是矩形，且长与宽均减小x米，从而由面积可列出方程． 【详解】矩形场地上的两条路分别向上和向右平移后如图所示，则平移后剩余部分的长为(100-x)米，宽为(80-x)米，题意得：(100-x)(80-x)=7644 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是运用平移的思想，问题得以简化并得到解决． 10. 在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解， 【详解】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当时，，（舍）或， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在相应位置上． 11. 方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】原方程的左边是两个一次因式乘积的形式，而方程的右边为0，可令每个一次因式的值为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求出原方程的解． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：，． 故答案为，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解． 12. 如图，已知在中，则的度数是_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可求得． 【详解】解：与是同弧对的圆心角与圆周角，， ． 故答案为. 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题关键． 13. 如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和三角形的基本性质，由二次函数求出、两点坐标，再求出点的坐标，即可求出、的值，然后根据面积公式即可得出答案．求出三点坐标是解题的关键． 【详解】解：当时，，解得或3，则，， 当时，，则， ∴，， ∴， 故答案为：15． 14. 如图，点F是等边三角形内一点，．将绕点B顺时针旋转得，连接，________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的性质，得到是等边三角形是解决问题的关键． 根据已知条件可得到是等边三角形，从而得到． 【详解】解：将绕点顺时针方向旋转得到， ∴ ∴， ∴ ∴ 是等边三角形， ， 故答案为：． 15. 如图，已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则下列结论：①；②方程的两个根是，；③当时，随着的增大而增大；④．其中正确结论是________（填写序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴与y轴的交点，判断①正确； ②根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断②正确； ③根据二次函数的增减性即可判断③正确； ④根据时，，即可判断④错误． 【详解】解：①∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的正半轴交于一点， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴方程的两个根是，，故②正确； ③∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大，故③正确； ④根据函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，数形结合． 三、解答题（一）（本大题3小题，第16、17小题各7分，第18小题10分，共24分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， 解得． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 17. 如图：已知二次函数，当二次函数的图象经过坐标原点时，求二次函数的解析式 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，把代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：由题意，把代入，得： ， 解得：， 由图象可知，对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为：． 18. 是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦长，半径，垂足为D，弓形高长． （1）求的长； （2）求半径的长． 【答案】（1）； （2）半径的长为． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，解题关键在于利用垂径定理和勾股定理构造关于半径的方程． （1）根据垂径定理即可求得； （2）利用勾股定理可以得到关于半径的一个方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， 在直角三角形中，， 即， 解得， 答：半径的长为． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）． 19. 已知关于的方程 （1）求证：此方程有两个不相等的实数根： （2）若方程两根，满足，求的值； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系： （1）利用判别式证明即可； （2）根据根与系数的关系，得到，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴此方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：． 20. 如图，点P是正方形内一点，点P到点A，B，D的距离分别为1，，，绕A旋转至，连结，并延长与交于点Q． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质，灵活运用勾股定理的逆定理是解题关键． （1）根据旋转的性质，得到，，再利用正方形的性质得到，最后等角替换即可证明结论； （2）根据旋转的性质可知，再根据等腰直角三角形的性质得到，，然后利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即可求出的大小． 【小问1详解】 证明：根据旋转的性质可知，，， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：根据旋转的性质可知，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ． 21. 为进一步发展基础教育，自2022年以来，某市加大了教育经费的投入，2022年该市投入教育经费60000万元．2024年投入教育经费86400万元．假设该市这两年投入教育经费的年平均增长率相同． （1）求这两年该市投入教育经费的年平均增长率； （2）若该市教育经费投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2025年该市投入教育经费多少万元． 【答案】（1） （2）预算2025年该市投入教育经费元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设这两年该市投入教育经费的年平均增长率为x，则2023年投入教育经费元，2024年投入教育经费元，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式计算即可． 【小问1详解】 解：设这两年该市投入教育经费的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市投入教育经费的年平均增长率； 【小问2详解】 解：元， 答：预算2025年该市投入教育经费元． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，点D是的中点． （1）求证：； （2）连接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC，运用圆周角定理和垂径定理可以判定AC⊥BC，OD⊥AC，证得结论； （2）连接OC，构造直角三角形：Rt△CDE和Rt△OCE，设DE=x，则OE=5-x．利用勾股定理列出方程，通过解方程求得相关线段的长度即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴AC⊥BC， ∵点D是的中点， ∴OD⊥AC， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接OC，连接AC，交OD于E， 由（1）可得，OD⊥AC， ∴AC=2AE=2CE． ∵AB＝10， ∴OC＝OD＝5， ∴设DE＝x，则OE＝5﹣x． 在Rt△CDE中，． 在Rt△OCE中，， ∴， 解得． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，垂径定理以及勾股定理．根据勾股定理列出方程是关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点P是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为，（2）或．（3）当时，面积的最大值是，此时P点坐标为． 【解析】 【分析】（1）将、两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解； （2）先求出C点坐标和E点坐标，则，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，四边形为平行四边形，则，②若点M在x轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，可分别得到方程求出点M的坐标； （3）如图，作轴交直线于点G，设，则，可由，得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过、两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵直线经过、两点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， （2）∵， ∴抛物线的顶点C的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ①如图，若点M在x轴下方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ②如图，若点M在x轴上方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 综合可得M点的坐标为或． （3）如图，作轴交直线于点G， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值是，此时P点坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$