22.2 二次函数与一元二次方程解题模型2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.2 二次函数与一元二次方程 题型1 抛物线与x轴的交点 5 题型2 图象法求一元二次方程的近似解 6 题型3 根据抛物线与x轴交点的个数求字母的值（或范围） 8 题型4 二次函数与不等式（组） 10 ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ◆ 知 识 清 单 ◆ 1．由二次函数的图象与 x 轴的位置关系，可以确定一元二次方程的根的情况． 2．反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与 x 轴的位置关系． 3．利用二次函数的图象求一元二次方程的根． 知识归纳 1．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 2．二次函数图象与x轴的交点和一元二次方程根的关系 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）， （1）当Δ＝b2﹣4ac＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有2个交点（x1，0），（x2，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （2）当Δ＝b2﹣4ac＝0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有1个交点（x1，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根x1=x2． （3）当Δ＝b2﹣4ac＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点； 一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根． 3．二次函数与二次不等式的关系 利用二次函数图象求二次不等式的步骤： （1）作出二次函数的图象，并由图象确定图象与x轴有无交点，有几个交点； （2）观察图象，根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴上方的部分求得不等式ax2+bx+c>0的解； 根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴下方的部分求得不等式ax2+bx+c<0的解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴上方的部分，则不等式ax2+bx+c>0无解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴下方的部分，则不等式ax2+bx+c<0无解． 技巧总结 1．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 2．利用二次函数图象解二次不等式时注意抛物线的开口方向． 拓展延伸 恩格斯说：数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进人了数学；有了变数，辩证法进人了数学，笛卡儿在1637年出版的《几何学》中，第一次涉及变量，他称之为“未知和未定的量”，同时也引入了函数的思想，英国数学家格雷果里在1667年给出的函数定义，被认为是函数解析定义的开始．他在《论圆和双曲线的求积》中指出：从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量．这里的运算指的是五种代数运算以及求极限运算，但这一定义在当时未能引起人们的重视． 一般公认最早给出函数定义的是德国数学家莱布尼茨．他在1673年的一篇手稿中，把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如切线、法线和点的纵坐标都称为函数；并且强调这条曲线是由一个方程式给出的．莱布尼茨又在1692年的论文中，把幂与函数看作同义语，后来又用“函数”表示依赖于一个变量的量． 1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数，在欧拉的定义中，很明显已经不强调函数要用公式表示了．由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也称为函数． 题型突破 题型1 抛物线与x轴的交点 【典例1】　（2024•天心区校级开学）抛物线与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标为　　 A． B． C．， D．不能确定，与的值有关 【答案】 【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与轴的另一交点坐标，此题得解． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一交点坐标为，即． 故选：． 【典例2】　（2023秋•河西区期末）抛物线与轴的两个交点分别为　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】 【分析】依据题意，通过解方程得到抛物线与轴的两个交点坐标． 【解答】解：当时，， 解得，， 所以抛物线与轴的两个交点坐标为，． 故选：． 【典例3】　（2024春•雨花区期末）抛物线与轴的两交点之间的距离是　　 A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】 【分析】首先根据题意可得到方程，然后再解方程得到的值，进而得到交点坐标，从而得到答案． 【解答】解：抛物线与轴有两个交点， ， 解得：，， 两个交点坐标是，，， 两个交点之间的距离是5， 故选：． 题型2 图象法求一元二次方程的近似解 【典例4】　（2023秋•斗门区期末）已知二次函数的变量，的部分对应值如表： 0 1 1 1 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【解答】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 故选：． 【典例5】　（2024春•海淀区校级月考）如表是若干组二次函数的自变量与函数值的对应值： 0.7 0.8 0.9 1.0 0.28 0.05 则下面哪个数是关于的方程的一个近似根（精确到　　 A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】 【分析】观察表格可得0.05更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到是0.8，再由的对称轴为直线得到方程的另一个近似根（精确到是3.2． 【解答】解：二次函数， 对称轴为直线， 观察表格得：方程的一个近似根（精确到是0.8， 另一个近似根满足， ， 故选：． 【典例6】　（2023秋•江州区期末）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断方程的一个近似根是　　 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.06 A．6.17 B．6.18 C．6.19 D．6.20 【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，．”由更接近于0即可得出结论． 【解答】解：当时，；当时，． 更接近于0， 方程的一个近似根为6.18． 故选：． 题型3 根据抛物线与x轴交点的个数求字母的值（或范围） 【典例7】　（2024春•江北区校级期末）若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则满足条件的的值可以是　　 A． B．0 C．1 D． 【答案】 【分析】由抛物线与轴有两个交点，可得出关于的方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式△结合二次项系数非零，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【解答】解：关于的二次函数的图象与轴有两个公共点， 有两个不相等的实数根， ， 解得：． 观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 【典例8】　（2024•西安校级模拟）若抛物线为常数）与轴有两个交点，则此抛物线的顶点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】由“抛物线为常数）与轴有两个交点”得到△，由此求得的取值范围；然后将已知抛物线解析式转化为顶点式，得到顶点坐标，所以根据的取值范围来确定此抛物线的顶点所位于哪个象限． 【解答】解：抛物线为常数）与轴有两个交点， △． ． ． ， 抛物线的顶点坐标是：． 此抛物线的顶点位于第四象限． 故选：． 【典例9】　（2024秋•朝阳区校级月考）若抛物线是常数）与轴有交点，则的取值范围是　　． 【答案】． 【分析】依据题意，由抛物线是常数）与轴有交点，从而△，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，抛物线是常数）与轴有交点， △． ． 故答案为：． 题型4 二次函数与不等式（组） 【典例10】　（2023秋•天河区期末）如图是二次函数的图象，则不等式的解集是　　 A． B．或 C． D．或 【答案】 【分析】由图可知，抛物线和轴的交点为，对称轴为直线，故当或时，，据此可得出结论． 【解答】解：由抛物线和轴的交点为，对称轴为直线， 故当或时，， 故不等式的解集为：或． 故选：． 【典例11】　（2023秋•科左中旗期末）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D．或 【答案】 【分析】根据图象关于的不等式的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围． 【解答】解：一次函数与二次函数的图象相交于，两点， 根据图象可得关于的不等式的解集是：． 故选：． 【典例12】　（2023秋•冠县期末）如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是　　 A． B． C．或 D． 【答案】 【分析】由求不等式的解集即求二次函数的图象在轴上方时的取值范围，再结合图象即可得出答案． 【解答】解：求不等式的解集即求二次函数的图象在轴上方时的取值范围， 又当时，二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为． 故选：． 第12页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $$