15.3 分式方程解题模型2024-2025学年人教版数学八年级上册

15.3 分式方程 模型1 分式方程的判断 3 模型2 分式方程的解法 5 模型3 分式方程的增根问题 8 模型4 含有字母系数的分式方程 10 模型5 分式方程的应用 13 模型归纳 一、分式方程的定义 1．分母中含未知数的方程叫做分式方程． 2．归纳 （1）分式方程的重要特征： ①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程． （2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别． （3）分母中含有字母的方程未必是分式方程． 二、分式方程的解法 1．解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解． 2．解分式方程的一般方法和步骤： （1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； （2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等； （3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 简称为一化，二解，三检验． 3．解分式方程产生不适合原方程解的原因： 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解． 三、分式方程的应用 分式方程的应用基本思路和方法： 一审：审清题意，弄清已知量和未知量； 二找：找出等量关系； 三设：设未知数； 四列：列出分式方程； 五解：解这个方程； 六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求； 七答：写出答案． 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义． 方法归纳 1．分式方程与整式方程的区别与联系 分式方程 整式方程 区别 分母中含有未知数 分母中不含有未知数 联系 分式方程可以转化为整式方程 2．分母中含有字母的方程未必是分式方程． 如：（为非零常数），这里的是一个常数，不是未知数，该方程不是分式方程． 再如：，当时不是分数方程． 3．分式方程的增根使得最简公分母的值为0，它不是原分式方程的解，是去分母后的整式方程的解． 4．用分式方程解决实际问题时必须检验． 模型1 分式方程的判断 典例 （2024春•普陀区期末）下列关于的方程中，属于分式方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分母中含有未知数的有理方程即为分式方程，据此进行判断即可． 【解答】解：中方程的分母中不含未知数，则不符合题意； 中方程的分母中不含未知数，则不符合题意； 中方程不是有理方程，则不符合题意； 中方程符合分式方程的定义，则符合题意； 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 判断一个方程是否为分式方程，不能用等式的基本性质对方程进行变形后再判断． 【变式练1】　（2024春•泗县月考）下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【解答】解：②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； 所以是分式方程的是②④， 故选：． 【变式练2】　（2024•八步区三模）下列式子中，是分式方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误； 、不是方程，故不是分式方程，故本选项错误； 、方程中各式的分母含有未知数，故是分式方程，故本选项正确； 、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误． 故选：． 【变式练3】　（2023秋•宣化区期末）在①；②；③；④；⑤中，分式方程有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据分式方程定义进行解答即可． 【解答】解：③；④是分式方程，共2个， 故选：． 模型2 分式方程的解法 典例 （2023秋•文峰区期末）解下列方程： （1）； （2）． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）化为整式方程得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 所以原方程的解是：； （2）化为整式方程得：， 解得：， 经检验不是分式方程的解， 所以原方程无解． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解． 2．检验的方法 （1）直接检验法：是将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确． （2）公分母检验法：是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解．公分母检验法比较简单，因此被广泛运用． 【变式练1】　（2024•三原县一模）解方程： 【分析】本题是分式方程，去分母后把分式方程转化为整式方程，求解检验即可． 【解答】解：方程两边乘，得 即： 整理，得 检验：当时，， 原方程无解． 【变式练2】　（2023秋•杨浦区期末）解方程：． 【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：方程的两边同乘， 得：， 解得：． 检验：把代入，即是原分式方程的解． 则原方程的解为：． 【变式练3】　（2023•镇海区校级一模）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解； （2）． 【分析】（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）把方程转化成，再方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：（1）， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根， 即分式方程无解； （2）， ， ， ， ， ， ， 方程两边都乘，得， 解得：， 经检验是分式方程的解， 即分式方程的解是． 模型3 分式方程的增根问题 典例 （2024春•雁塔区校级期末）关于的方程有增根，则的值是　　 A．0 B．2或3 C．2 D．3 【答案】 【分析】根据题意可得，然后把代入整式方程中进行计算即可解答． 【解答】解：， ， 解得：， 方程有增根， ， ， 把代入中可得： ， ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．增根的概念： 分式方程转化为整式方程，是整式方程的解，且使分式方程的分母等于0的未知数的值，就叫做分式方程的增根． 2．有增根求参数的方法： （1）求使分母为零的未知数的值（有几个是几个） ； （2）把分式方程转化为整式方程； （3）逐个把增根带入整式方程，分别求参数的值． 3．分式方程的增根必须满足两个条件： （1）增根是最简公分母为0； （2）增根是分式方程化成的整式方程的根． 【变式练1】　（2024春•涟水县期末）若关于的方程有增根，则的值是　　 【分析】将方程两边都乘以得，求得，由方程有增根得出，解之可得的值． 【解答】解：将方程两边都乘以，得：， 解得：， 的方程有增根， 增根， 解得：， 故答案为：． 【变式练2】　（2023秋•蛟河市期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 　　． 【答案】 【分析】利用增根的意义可以求解． 【解答】解：方程两边同乘以得：， 由题可得， 所以． 故答案为：． 【变式练3】　（2023春•肇源县校级期末）若关于的方程产生增根，那么的值是　　． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到，将代入整式方程计算即可求出的值． 【解答】解：分式方程去分母得：， 由题意得：，即， 代入整式方程得：， 解得：． 故答案为：1． 模型4 含有字母系数的分式方程 典例 （2024•黑龙江四模）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 【答案】 【分析】先解分式方程得，再由解为负数，得到，又由，，求得，即可求的取值范围． 【解答】解：， 方程两边同时乘以得， ， 去括号得，， 解得， 解为负数， ， ， ，， ， 的取值范围为且， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．解含有字母系数的分式方程和解含有实数系数的分式方程一样，均是先通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后解这个整式方程，最后检验． 2．注意： （1）去分母时方程两边乘最简公分母，需验证最简公分母是否等于0； （2）在将系数化为1时，要注意分类讨论系数是不是0． 【变式练1】　（2023春•原阳县月考）关于的方程的解为，则应取值　　 A． B．3 C． D．1 【答案】 【分析】把代入方程，求出的值，即可解答． 【解答】解：把代入方程得：， 在方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， 故选：． 【变式练2】　（2023•东台市一模）若是分式方程的根，则的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】将代入分式方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求得答案． 【解答】解：将代入分式方程可得， ， 解得：， 故选：． 【变式练3】　（2024•广安二模）若关于的方程无实根，则的值为　　． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将代入计算即可求出的值． 【解答】解：最简公分母为，令，得到， 方程去分母得：，即， 当，即时，方程无解； 当，即时，将代入得：， 解得：， 综上，方程无实数根时的值为1或． 故答案为：1或． 模型5 分式方程的应用 典例 （2024•金溪县校级模拟）某中学八年级两个班各为一贫困地区学生捐款了1800元．已知班的人数比班的人数少，班比班人均捐款多4元．请你根据上述信息，分别以其中一班的“人数”“人均捐款额”为未知数列出相应的两个分式方程，并求出这两个班级的“人数”和“人均捐款”的钱数． 【答案】班的人数为50人，平均每人捐款36元，班的人数为45人，平均每人捐款40元． 【分析】①设班的人数为人，根据班比班人均捐款多4元得：，解方程并检验可得答案； ②设班人均捐款元，根据班的人数比班的人数少可得：，解方程并检验可得答案． 【解答】解：①设班的人数为人，则班的人数为人， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ， （元，（元， 班的人数为50人，平均每人捐款36元，班的人数为45人，平均每人捐款40元； ②设班人均捐款元，则班人均捐款元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ， （人，（人， 班的人数为50人，平均每人捐款36元，班的人数为45人，平均每人捐款40元． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．分式方程的应用基本思路和方法： 一审：审清题意，弄清已知量和未知量； 二找：找出等量关系； 三设：设未知数； 四列：列出分式方程； 五解：解这个方程； 六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求； 七答：写出答案． 2．（1）在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系列方程． （2）在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，可以间接地设末知数；有时设一个未知数不容易表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数． 【变式练1】　（2023秋•朝阳区校级期末）某商场计划购进甲、乙两种玩具．已知甲种玩具的单价与乙种玩具的单价的和为40元，用900元购得甲种玩具的件数与用1500元购得乙种玩具的件数相同．求甲种玩具的单价是多少元？ 【答案】甲种玩具单价为15元． 【分析】设甲种玩具的单价为元，则乙种玩具的单价为元，根据数量总价单价，结合用900元购得甲种玩具的件数与用1500元购得乙种玩具的件数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出甲种玩具单价． 【解答】解：设甲种玩具的单价为元，则乙种玩具的单价为元， 依题意，得：， 解得， 经检验，是该分式方程的解，且符合题意， 答：甲种玩具单价为15元． 【变式练2】　（2024•东莞市一模）某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用2000元购买玻璃杯，用2800元购买保温杯．已知一个保温杯比一个玻璃杯贵10元，求一个玻璃杯的价格． 【分析】设一个玻璃杯的价格是元，则一个保温杯的价格是元，根据用2000元购买玻璃杯的数量等于用2800元购买保温杯的数量，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设一个玻璃杯的价格是元，则一个保温杯的价格是元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：一个玻璃杯的价格是25元． 【变式练3】　（2024•高青县校级一模）小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．小明家到体育公园的路程是1200米，小刚家到体育公园的路程是300米，已知小刚的速度是小明速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度． 【分析】直接利用小刚的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案． 【解答】解：设小明的速度是米分钟，则小刚的速度是米分钟，根据题意可得： ， 解得：， 经检验得：是原方程的根，故， 答：小明的速度是275米分钟，则小刚的速度是825米分钟． 第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $$