精品解析：北京师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

北京师大二附中2024—2025学年高一年级第一学期 数学期中测试题 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷. 一､单选题 1. 下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合,则集合中元素的个数是 A. B. C. D. 3. 玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A. 60件 B. 80件 C. 100件 D. 120件 4. “运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ） A. 51 B. 50 C. 49 D. 48 5. 用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设是定义在R上的函数，若存在两个不等实数，，使得，则称函数具有性质P，那么下列函数：①；②；③；具有性质P的函数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素； ③存在且；④存在且； 这四个命题中，真命题的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知函数=，则g（x）=f（2x-1）+的定义域为 A. B. C. D. （﹣∞，2）∪（2，+∞） 10. 已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题 11. 下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为__________. 12. 如果集合中只有一个元素，则的值是__________． 13. 若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是__________. 14. 若关于的不等式的解集中只有一个元素，则实数的取值集合为______． 15. 若关于m的方程的两个实数根是x，y，则：的最小值是______． 三､解答题 16. 设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 17. 已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围． 18. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的范围. 19. 已知函数，且 （1）求实数a的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）求函数在上的最值. 20. 定义在区间上的函数满足，且对任意的都有. （1）证明：对任意的都有； （2）求的值； （3）计算. 21. 已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若存在实数使得关于的方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大二附中2024—2025学年高一年级第一学期 数学期中测试题 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷. 一､单选题 1. 下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据元素与集合的关系以及常见数集的符号表示即可得出选项. 【详解】为正整数集，则，故A不正确； 为自然数集，则，故B正确； 为整数集，则，故C正确； 为有理数集，则，故D正确； 故选：A 【点睛】本题考查了常见数集的符号表示，需熟记符号所表示的数集，属于基础题. 2. 设集合,则集合中元素的个数是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}， ∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个． 故选C． 3. 玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A. 60件 B. 80件 C. 100件 D. 120件 【答案】B 【解析】 【分析】 确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值． 【详解】解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是 这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数） 由基本不等式，得 当且仅当，即时，取得最小值， 时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 故选： 【点睛】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题． 4. “运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ） A. 51 B. 50 C. 49 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 5. 用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】理解二分法求零点的原理，二分法是不断将区间一分为二，根据函数值的正负来确定零点所在的子区间.然后根据已知条件，分析近似值与真实零点的误差范围. 【详解】因为函数的零点在区间内，设真实零点为，那么. 已知，那么，. 由于，所以，. 所以近似值与真实零点的误差的取值范围是. 故选：B. 6. 已知关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分与，结合根的判别式列出不等式，求出实数m的取值范围. 【详解】当时，，解集为，满足要求， 当时，需要满足，解得：， 综上：实数m的取值范围是. 故选：D 7. 设是定义在R上的函数，若存在两个不等实数，，使得，则称函数具有性质P，那么下列函数：①；②；③；具有性质P的函数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得． 【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在； ②假设存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在； ③函数为偶函数，，令，， 则，存在． 故选：． 【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的解析式以及函数的单调性，同时学生的理解能力，以及反证法的应用，属于中档题． 8. 已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素； ③存在且；④存在且； 这四个命题中，真命题的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由子集的定义分析、元素的关系分析4个命题是否正确，综合即可得答案． 【详解】根据题意，“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题．则其否定为真， 则非空集合的元素不都是集合的元素， 据此分析4个命题： ①的元素不都是的元素，正确， ②的部分元素可以为的元素，不正确， ③可能的元素都不是的元素，故存在且，不正确， ④存在且，正确， 其中正确的命题有2个， 故选：． 9. 已知函数=，则g（x）=f（2x-1）+的定义域为 A. B. C. D. （﹣∞，2）∪（2，+∞） 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的定义域，然后再求的定义域 【详解】由可得 则函数的定义域为 要使函数有意义 则，解得且 函数的定义域为 故选 【点睛】本题主要考查的知识点是函数的定义域及其求法，较为基础． 10. 已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数，显然该函数在上单调递增， 由函数在上的值域为，则， 等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，且在上恒成立，则， 解得. 故选：D. 二､填空题 11. 下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为__________. 【答案】②④⑥ 【解析】 【分析】根据空集的定义逐项判断即可. 【详解】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 12. 如果集合中只有一个元素，则的值是__________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】当，，满足条件，当，由，求得．综合可得的值． 【详解】当，，满足条件； 当，由，则得， 所以当或时，集合中只有一个元素. 故答案为：0或1 13. 若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可判断二次函数的单调性，再结合对称性可解得的取值范围. 【详解】由题意得二次函数的对称轴为， 因为，所以函数在上单调递增， 因此函数开口向下，在上单调递增，在上单调递减； 因为，所以，即，，，解得或， 故答案为：. 14. 若关于的不等式的解集中只有一个元素，则实数的取值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，当时即可求出的值，同理求出时参数的值，即可得解. 【详解】解：对于不等式， 当时，解集为显然不合题意， 当时，不等式等价于，因为不等式组的解集中只有一个元素， 则恒成立且方程有两个相等的实数根， 即且，显然时， 由，解得， 所以， 当时，不等式等价于，因为不等式组的解集中只有一个元素， 则恒成立且方程有两个相等的实数根， 即且，显然时， 由，解得， 所以， 综上可得. 故答案为： 15. 若关于m的方程的两个实数根是x，y，则：的最小值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】由方程的根与系数的关系得与值，将欲求的的式子用含与的式子来表示，即化为含的函数，最后求此函数的最小值即可． 【详解】解：因为关于m的方程的两个实数根是x，y， 所以， 且，得或． 则有 ． 由此可知，当时，取得最小值8． 故答案为：8. 三､解答题 16. 设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 【答案】a，b，c的值分别为1，，2 【解析】 【分析】根据，求出、和，求出的值. 【详解】因为，所以， 解得，所以的值分别为. 17. 已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围． 【答案】a≥﹣1或a． 【解析】 【分析】关于“至少“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是A、B、C都是空集，由此能求出a的取值范围． 【详解】假设集合A、B、C都是空集， 对于A，元素是x，，表示不存在x使得式子 成立， ，解得； 对于B，，同理，解得 或者； 对于集合C，，同理，解得； 三者交集为 ； 取反面即可得A、B、C三个集合至少有一个集合不为空集， ∴a的取值范围是或 ； 综上， 或 . 18. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）根据不等式解集为，利用判别式法求解. 【小问1详解】 解：时，原不等式为， 整理，得， 对于方程， 因为， 所以它有两个不等的实数根， 解得， 所以不等式的解集为或. 【小问2详解】 原不等式可化为， 因为不等式解集为， 所以方程无实数根， 所以， 所以的范围是. 19. 已知函数，且 （1）求实数a的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2） 函数在上单调递增，证明如下： 由（1）可得，， 任取，不妨设， 则 因为且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）由题意得方程，求解即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据单调性可得最值. 【小问1详解】 因为，且，所以，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递增， 则当时，有最小值； 当时，有最大值. 20. 定义在区间上的函数满足，且对任意的都有. （1）证明：对任意的都有； （2）求的值； （3）计算. 【答案】（1）证明：任取，则有， 即，于是， 所以，对任意的都有. （2）0 （3）0 【解析】 【分析】（1）取，即可求解， （2）根据，结合可得，同理可得， （3）根据，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，于是， 但由（1）的结果知，所以， 由，则，于是， 由（1）的结果知，所以. 【小问3详解】 由，得，于是， 但由（1）的结果知， 所以，继续求下去，可得， 因此，. 21. 已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若存在实数使得关于的方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把函数写成分段函数的形式，根据分段函数的单调性可得实数的取值范围； （2）根据方程恰有三个不相等的实数根，建立条件关系，分类讨论即可求得. 【小问1详解】 ， 由在上是增函数，则，解得， 则取值范围为. 【小问2详解】 当时，在上是增函数，则关于的方程不可能有三个不等的实数根. 当时，由， 得时，对称轴， 则在为增函数，此时的值域为； 时，对称轴， 则在为增函数，此时的值域为， 在为减函数，此时的值域为； 由存在，方程有三个不相等的实根， 则，即存在，使得即可， 令，只要使即可，而在上是增函数， ，故实数的取值范围为. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $