15.2 分式的运算解题模型2024-2025学年人教版数学八年级上册

15.2 分式的运算 模型1 分式的乘除 5 模型2 分式的加减 7 模型3 分式的混合运算 9 模型4 用科学记数法表示小于1的正数 11 模型5 分式的化简求值 13 模型6 负整数指数幂 15 模型归纳 一、分式的乘除 1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为 二、分式的乘方 1．分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． 2．注意 （1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把错写成． （2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数． （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体． 三、分式的加减 1．同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为． 2．异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为． 3．异分母分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母分式转化成同分母分式； （2）加减：写成分母不变，分子相加减的形式； （3）合并：分子去括号，合并同类项； （4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分． 四、分式的混合运算 1．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便． 2．分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“－”号提到分式的前边． 五、整数指数幂与科学记数法 1．整数指数幂： （1）若m，n为正整数，a≠0，则． 又因为，所以． 一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数． （2）整数指数幂的运算性质 ①； ②； ③； ④； ⑤． 上述式子中，m，n均为任意整数． 2．科学记数法（表示较小的数） 用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10． 方法归纳 一、分式的乘除 1．分子和分母能分解因式的先分解因式． 2．分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习． （1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算． （4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式． （5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算． 二、分式的乘方 分式乘方时，一定要把分式加上括号．把分子、分母分别看作一个整体．运算结果必须化成最简分式或整式． 三、分式的加减 （1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式． （2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不变”就是加减后所得分母是原分式中的分母． 四、分式的混合运算 在进行分式的混合运算时可以灵活地运用运算律简化运算过程．先将分式的乘除法统一成分式的乘法，再利用乘法运算律、加法运算律计算． 分式混合运算的结果中，当分子或分母为多项式且首项的系数是负数时，或者当分子或分母为单项式且单项式的系数是负数时，要把负号提到分式的前面． 模型1 分式的乘除 典例 （2024春•雁塔区校级期末）计算的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把分式的分子、分母分解因式，然后除法运算变乘法运算，约分即可得出结果． 【解答】解： ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 分式的乘除运算应注意以下“四类问题”： （1）理解法则并能正确运用，若是除法运算，则先转化为乘法运算． （2）分子、分母能分解因式的先分解因式，然后约分． （3）运算的结果要化为最简分式或整式． （4）自选数值的代入求值问题，不要忽视分母不为0的条件． 【变式练1】　（2024•南皮县二模）化简的结果为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先进行因式分解，再运用分式的基本性质进行约分、化简． 【解答】解： ， 故选：． 【变式练2】　（2024春•秦安县校级月考）化简的结果为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把能够分解因式的分子分解因式，再约分即可． 【解答】解： ． 故选：． 【变式练3】　（2024•遂平县三模）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据除法运算法则将分式的除法运算转化为乘法运算，约分即可． 【解答】解： ． 故选：． 模型2 分式的加减 典例 （2024•武清区三模）计算的结果等于　　 A． B．1 C． D． 【答案】 【分析】利用分式的加减法则计算即可． 【解答】解：原式 ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．异分母分式相加减，化异分母分式为同分母分式是解此类题的关键．在整式与分式进行加减运算时，把整式看作分母为1的式子，并按照异分母分式相加减的法则完成计算． 2．异分母分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母分式转化成同分母分式； （2）加减：写成分母不变，分子相加减的形式； （3）合并：分子去括号，合并同类项； （4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分． 【变式练1】　（2024春•薛城区期末）若，互为倒数，且，则分式的值为　　 A．0 B．1 C． D． 【答案】 【分析】运用倒数的性质分式加减的运算方法进行计算求解． 【解答】解：，互为倒数， ， ， 故选：． 【变式练2】　（2024•珠海校级一模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式的加减法运算法则进行计算即可求解． 【解答】解：，故错误，不符合题意； ，故错误，不符合题意； ，故错误，不符合题意； ，故正确，符合题意； 故选：． 【变式练3】　（2024•嘉兴二模）化简的结果为　　 A． B．1 C． D． 【答案】 【分析】先变形，再根据同分母的分式减法法则求出即可． 【解答】解： ， 故选：． 模型3 分式的混合运算 典例 （2024春•锦江区校级月考）化简：　　． 【答案】． 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再进行同分母的减法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便． 2．分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边． 3．分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简，注意使用运算律，寻求合理的运算途径． 【变式练1】　（2024•东昌府区模拟）计算的结果等于 　　． 【答案】． 【分析】先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【变式练2】　（2024春•洪山区校级月考）化简的结果是 　　． 【答案】． 【分析】先通分化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算即可求解． 【解答】解： ， 故答案为：． 【变式练3】　（2024•绥化）化简：　　． 【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 模型4 用科学记数法表示小于1的正数 典例 （2024•槐荫区二模）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【解答】解：． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 用科学记数法表示小于1的正数时，要注意小数点位置的变化，即小数点向右移了几位，10的指数就是负几． 【变式练1】　（2024春•嵊州市期末）红细胞的平均直径是，0.0000072这个数用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：． 故选：． 【变式练2】　（2023秋•博尔塔拉州期末）在日本核电站排放核废水期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘，其浓度为0.0000963贝克立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数． 【解答】解：数据“0.0000963”用科学记数法可表示为； 故选：． 【变式练3】　（2024春•东台市期末）某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：． 故选：． 模型5 分式的化简求值 典例 （2024•秦淮区模拟）化简并求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再代入求值． 【解答】解：， ， 原式 ， 当时， 原式． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．分式的化简求值，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便． 2．分式化简求值的三种类型 （1）将分式化简后直接代入数据求值． （2）利用“整体”思想，将式子的值整体代入化简后的式子，再求值． （3）通过引入参数，以参数为媒介减少字母的个数，实现问题转化的目的． 【变式练1】　（2023秋•仓山区校级月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解： ， 当时，原式． 【变式练2】　（2024春•河源期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】先化简分式，再把代入，即可得到结论． 【解答】解： ； 当时，原式． 【变式练3】　（2024•西安区校级模拟）先化简，再求值：，其中． 【答案】，5． 【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后分解因式，再约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： ， 当时，原式． 模型6 负整数指数幂 典例 （2024•南岗区校级一模）计算：　　 A． B．2024 C． D． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂的意义进行计算，即可解答． 【解答】解：， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 若m，n为正整数，a≠0，则． 又因为，所以． 一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数． 【变式练1】　（2024春•秦淮区校级月考）等于　　 A．3 B． C． D． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【解答】解：． 故选：． 【变式练2】　（2024春•新华区期末）可以表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分析判断即可． 【解答】解：， 故选：． 【变式练3】　（2024春•莱芜区期中）计算：． 【答案】13． 【分析】根据负整数指数幂法则、有理数的混合运算法则、零指数幂法则进行解题即可． 【解答】解：原式． 第8页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $$