15.1 分式解题模型2024-2025学年人教版数学八年级上册

15.1 分式 模型1 分式的概念 5 模型2 分式有、无意义的条件 7 模型3 分式的值为0的条件 9 模型4 分式的基本性质 11 模型5 约分、最简分式 13 模型6 通分、最简公分母 15 模型7 分式的化简求值 17 模型归纳 一、分式的概念 1．分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 2．一个式子是分式需满足的三个条件： （1）是形如的式子； （2）A，B为整式； （3）分母B中含有字母．三个条件缺一不可． 二、分式有意义、无意义的条件 1．分式有意义的条件：分式的分母不等于0． 2．分式无意义的条件：分式的分母等于0． 三、分式的值为0的条件 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0． 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可． 【拓展】对于分式， 1．若的值为正数，则或； 2．若的值为负数，则或； 3．若的值为1，则A=B且B≠0； 4．若的值为－1，则A+B=0且B≠0． 四、分式的基本性质 1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式． 分式的基本性质是分式变形的理论依据． 2．分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变． 用式子表示为： 或 五、约分、最简分式 1．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． 六、通分 1．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2．约分与通分的联系与区别： （1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值． （2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言． （3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式． 3．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． （1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母． （2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变． 4．确定最简公分母的方法： （1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定． 5．通分的步骤： （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 方法归纳 1．分式的概念 （1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志． （2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a－1）÷（a+1），但（a－1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式． 2．分式有意义、无意义的条件 （1）分式有无意义与分母有关，与分子无关． （2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了． 3．分式的基本性质 （1）基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件． （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式． （3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C． 4．约分 （1）约分的依据是分式的基本性质：，其中A，B，C都是整式． （2）约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式． （3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分． （4）约分的结果是整式或最简分式． （5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变． 模型1 分式的概念 典例 （2024春•海州区期末）下列各式：，，，，，其中是分式的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【分析】根据分式的定义知道分式的分母中含有字母判断即可． 【解答】解：，是分式， ，，是整式， 分式有2个， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，就是分式． 2．分式需要满足三个条件，缺一不可： （1）形如的式子； （2）A，B都是整式（这里的整式，可以是单项式，也可以是多项式）； （3）分母B中含有字母（π是常数，不是定义中所说的字母）． 【变式练1】　（2024春•鲤城区校级月考）下列各式：中，属于分式的共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【解答】解：在中，属于分式的共有，共2个． 故选：． 【变式练2】　（2024春•衡阳期末）下列各式：，，，，，其中分式共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【解答】解：属于分式的有，，一共2个， 故选：． 【变式练3】　（2024春•成安县期末）下列代数式，，，，中是分式的有　　个 A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【解答】解：根据分式的定义，为分式，有2个， 故选：． 模型2 分式有、无意义的条件 典例 （2023秋•印江县期末）当时，下列分式无意义的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分母为零分式无意义的条件进行解题即可． 【解答】解：、当时，分式有意义，不符合题意； 、当时，，分母为零，分式无意义，符合题意； 、当时，分式有意义，不符合题意； 、当时，分式分母不为零，分式有意义，不符合题意； 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．分式有意义的条件：分式的分母不等于0． 2．分式无意义的条件：分式的分母等于0． 要确定分式是否有意义，就要分析、讨论分母中字母的取值，看分母的值是否为0． 【变式练1】　（2024春•尧都区期末）若分式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：要使分式有意义，必须， 解得，， 故选：． 【变式练2】　（2023秋•青秀区校级月考）使分式有意义的的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此即可求得答案． 【解答】解：分式有意义， ， 解得：， 故答案为：． 【变式练3】　（2023秋•龙马潭区月考）若分式有意义，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】根据分式有意义的条件可得，再解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得． 故答案为：． 模型3 分式的值为0的条件 典例 （2024春•嵊州市期末）若分式的值为0，则的值是　　 A． B．0 C． D．1 【答案】 【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案． 【解答】解：且， ． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0． 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可． 求解分式的值为0的条件的题目时，首先求出使分式的分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否是分母的值为0，当它使分母的值不为0时，就是所要求的字母的值，使分母为0的值必须舍去． 【变式练1】　（2024春•义乌市期末）若分式的值为0，则的值为　　 A．3 B． C．0 D．或0 【答案】 【分析】直接利用分式的值为零的条件进而分析得出答案． 【解答】解：分式的值为0， ， 解得， 故选：． 【变式练2】　（2024春•叶集区月考）若分式的值为0，则的值是　　 A．2 B． C．0 D． 【答案】 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案 【解答】解：分式的值为0， ， 解得：， 故选：． 【变式练3】　（2024春•清苑区期末）若分式的值为零，则的值为　　 A． B．5 C．0 D． 【答案】 【分析】若分式的值为零，则，据此求出的值即可． 【解答】解：分式的值为零， ， 由①，可得，解得或， 由②，可得， 若分式的值为零，则的值为． 故选：． 模型4 分式的基本性质 典例 （2024春•霍邱县期末）下列各式从左到右的变形一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质进行判断即可． 【解答】解：，则不符合题意； ，则不符合题意； 与不一定相等，则不符合题意； ，则符合题意； 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式． 2．分式的基本性质是分式变形的理论依据． 3．运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变换，它不改变分式值的大小，只改变其形式． 【变式练1】　（2024春•兴化市期末）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值应　　 A．扩大3倍 B．不变 C．扩大6倍 D．缩小3倍 【分析】根据分式的性质：分子分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【解答】解：把分式中的和都扩大3倍，得 ， 分式的值不变， 故选：． 【变式练2】　（2023秋•江阳区期末）如果把分式中的，都变为原来的2倍，那么分式的值　　 A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【答案】 【分析】根据分式的性质计算即可． 【解答】解： ， 即分式的值变为原来的， 故选：． 【变式练3】　（2024春•薛城区期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，依次分析各个选项，即可求出答案． 【解答】解：，，变形错误； ，，变形错误； ，，变形正确； ，的分子和分母不能约分，，变形错误； 故选：． 模型5 约分、最简分式 典例 （2024春•惠安县期末）对分式约分的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式 ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． 约分时需要注意的问题： （1）如果分子、分母中至少有一个是多顶式，就应先分解因式，然后找出分子、分母的公因式，再约分； （2）注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式，如a-5与5-a表面虽不相同，但通过提取“-”可发现含有公因式（a-5）； （3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面． 【变式练1】　（2024春•蒸湘区期末）约分的结果为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接把分子分母同时除以即可得到答案． 【解答】解：， 故选：． 【变式练2】　（2024春•海口期末）约分的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据积的乘方法则计算分母，再确定公因式，约分即可． 【解答】解：， 故选：． 【变式练3】　（2024春•海口期末）约分的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可． 【解答】解：． 故选：． 模型6 通分、最简公分母 典例 （2024春•宿城区校级期中）通分： （1），； （2），． 【分析】（1）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案； （2）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【解答】解：（1），， 最简公分母是， ， ； （2），， 最简公分母是， ， ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2．通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化而出错． 【变式练1】　（2022秋•惠民县期末）将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】找出两分式分母的最简公分母，利用分式的性质判断即可． 【解答】解：两分式的最简公分母为， ， 则的分子变为． 故选：． 【变式练2】　（2022秋•新化县校级期中）把，通分，则　　，　　． 【分析】把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 【解答】解：，． 故答案为：，． 【变式练3】　（2023春•洪泽区校级期中）通分： （1）与； （2）与． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）先确定分式的最简公分母，再通分即可； （2）先确定分式的最简公分母，再通分即可． 【解答】解：（1）与的最简公分母是， ，； （2）与的最简公分母是， ，． 模型7 分式的化简求值 典例 （2024春•金华期末）已知，求分式的值． 【答案】． 【分析】由已知得到，再将原分式化简为，然后代入求值即可． 【解答】解：， ， ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．分式约分后求值 在求一个分式的值时，不能盲目代入，若分子、分母有公因式，可以先约分，将其化成最简分式，然后代入题中所给字母的值，这样就降低了计算难度． 2．整体代入法求分式的值 整体代入思想一般应用在分式的化简求值中，先将分式的分子或分母进行因式分解，得出和已知相同的部分，然后进行整体代入，最后求出分式的值． 【变式练1】　（2024•平谷区二模）已知，求代数式的值． 【答案】． 【分析】由可得，再运用分式的运算法则化简得到，做好将整体代入即可解答． 【解答】解：， ， ． 【变式练2】　（2024•北京）已知，求代数式的值． 【答案】3． 【分析】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可． 【解答】解：， ， ． 【变式练3】　（2024•东城区一模）已知，求代数式的值． 【答案】． 【分析】根据，得，化简约分即可求出答案． 【解答】解：， ， ， 当时， 原式． 第20页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $$