【双基聚焦】2025年黑龙江省普通高中学业水平（合格性）考试数学模拟卷3

2025年黑龙江省高中学业水平合格性考试模拟卷（三） 数学 复数、概率与统计 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位号。 2.本试卷共8页，分为两部分。第一部分选择题24小题，共72分；第二部分非选择题6小题，共30分。满分100分。考试时间60分钟。 3.所有试题答案必须填涂或书写在答题卡上。第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用0.5毫米黑色签字笔作答。 4.考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。（备注：本试卷带有答题卡，供学生选用） 第一部分 选择题（共72分） 一、选择题（本大题共有24个选择题，每小题所列的4个选项中只有一项符合题意。每道小题3分，共计72分） 1.（2024·云南·学业考试）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由复数的几何意义求解． 【详解】复数在复平面内对应的点为，它在第三象限， 故选：C 2.（2023·山西·学业考试）复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设，根据条件找出的关系，然后计算 【详解】设，则， 由，根据复数的模长公式，， 即，. 故选：B 3.．（2024·云南·学业考试）某单位有职工500人，其中女职工300人，男职工200人.现按男女比例，采用分层随机抽样的方法，从该单位职工中抽取25人进行相关调查研究，则应抽取该单位女职工（    ） A．10人 B．12人 C．13人 D．15人 【答案】D 【分析】由分层抽样知识求解． 【详解】由分层抽样知，应抽取该单位女职工人数为：， 故选：D 4.（2022·辽宁·学业考试）“二十四节气”是中国劳动人民智慧的结晶．《中国青年报》联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，其中全部都知道，大部分知道，小部分知道和完全不知道“二十四节气”的受访者分别占12.6%，49.0%，34.6%和3.8%，．下列选项中用来表示上述调查结果的统计图表合适的是（    ）． A．茎叶图 B．扇形图 C．频数分布直方图 D．频率分布直方图 【答案】B 【分析】根据调查结果可得答案. 【详解】根据调查结果是分类比例，选项中只有扇形图适合. 故选：B. 5.（2023·甘肃·学业考试）下图为某地区2010至2022年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图，根据该折线图可知，该地区2010年至2022年（   ） A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额年增长速度相同 C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入差额逐年增大 【答案】D 【分析】根据折线图，观察图象的变化情况，逐项分析即可得出答案. 【详解】由图可以看出前三年财政预算内收入增长趋势不明显，无法确定，故A错误； 图中两曲线间隔越来越大，说明年增长速度不同，差额逐年增大，故B错误，D正确； 又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长量应该小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量，故C错误. 故选：D. 6.（2023·重庆·学业考试）下列说法正确的是（    ） A．调查长江的水质适合用全面调查 B．两个互斥事件一定是对立事件 C．标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度 D．若某种奖券的中奖率为0.1，则抽奖10次必有一次中奖 【答案】C 【分析】根据抽样调查的适用条件、互斥事件的性质、标准差的含义以及概率的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，长江的水质调查最适合使用抽样调查，故A错误； 对于B，互斥事件未必对立，但对立事件一定互斥，故B错误； 对于C，方差和标准差都刻画了一组数据的离散程度或波动幅度，故C正确； 对于D，中奖率是中奖的概率，只是反映了中奖的可能性大小，故抽奖10次未必有一次中奖，故D错误. 故选：C. 7.（2024·新疆·学业考试）一组数据1，2，2，4，5，6的极差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用极差的定义即可得解. 【详解】因为数据1，2，2，4，5，6的最小数为，最大数为， 所以其极差为. 故选：D. 8.（2023·广西·学业考试）某学校高一年级女生定制校服规格的数据如图所示，则这组数据的众数为（    ）    A．55 B．160 C．165 D．170 【答案】C 【分析】根据众数定义判断. 【详解】根据条形图165频数最大，可得众数为165. 故选：C. 9.（2023·广西·学业考试）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别是与．甲、乙两人在罚球线各投球1次，假设两人投球是否命中互不影响，则甲、乙两人投球都命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立事件的乘法公式即可. 【详解】根据独立事件的乘法公式得甲、乙两人投球都命中的概率为. 故选：A. 10.（2023·新疆·学业考试）一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（   ） A．至多有一次中靶 B．至多有两次中靶 C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶 【答案】A 【分析】根据对立事件的定义即可得解. 【详解】由题意，事件“至少有两次中靶”的对立事件为“至多有一次中靶”. 故选：A. 11.（2023·新疆·学业考试）对总数为的一批零件抽取一容量为20的样本，若每个零件被抽取的可能性为20%，则为（    ） A．150 B．120 C．100 D．40 【答案】C 【分析】由题意可得：，求解即可. 【详解】解：由题意可得：，解得. 故选：C. 12.（2023·重庆·学业考试）为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，我市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6（单位：），则该组数据的第80百分位数为（    ） A．36.7 B．36.6 C．36.5 D．36.4 【答案】B 【分析】根据第百分位数的概念和计算方法可得答案. 【详解】将6名同学某日上午的体温记录从小到大排列为： 36.1，36.3， 36.4，36.5，36.6，36.7， 因为，所以该组数据的第80百分位数为36.6. 故选：B. 13.（2024·贵州·学业考试）某校初二年级学生一次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则该图中a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所有小矩形的面积之和为1，列出方程，从而可得出答案. 【详解】解：根据频率分布直方图可得： ， 解得. 故选：D. 14.（2023·辽宁·学业考试）已知，则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】求出的代数形式，进而可得其在复平面对应的点所在位置. 【详解】, ， 在复平面对应的点为在第四象限. 故选：D. 15.（2024·重庆·学业考试）若向量与对应的复数分别是，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意得，，进而求得向量的坐标，最后根据复数的几何意义即可求解. 【详解】依题意得， 所以， 所以 故与向量对应的复数为 故选：B 16.（2024·重庆·学业考试）袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件A表示“3次抽到的球全是红球”，事件B表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则下列结论正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件C互为对立事件 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合互斥事件，对立事件概念以及概率公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况， 所以事件A与事件B不互斥，故A错误； 对于B，事件A与事件C不可能同时发生，是互斥事件，但一次试验中还可能 3次抽到的球全是黄球，所以事件A与事件C不是对立事件，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为事件A与事件C互斥，，所以 ，故D错误. 故选：C. 17.（2023·吉林·学业考试）袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到黄球的概率为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可 【详解】设两次都摸到黄球记为事件A，2个红球记，3个黄球记, 从中不放回地依次随机摸出2个球包含的样本点为 共20种，其中A包括的样本点为，共6种， 故选：C 18.（2023·新疆·学业考试）数字1.2.3中任取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数大于20的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法可得两位数总情况数与两位数大于20的情况数，即可得答案. 【详解】1.2.3组成的两位数有： 共6种情况，其中大于20的有共4种情况， 故相应概率为：. 故选：A 19.（2022·广西·学业考试）某班有55人，要抽出3人，班长给全班同学编号：01，02，03，…，55.用随机数表法确定人选，依次得到4个随机数为03，25，98，47，其中，不能作为编号的随机数是（  ） A．03 B．25 C．98 D．47 【答案】C 【分析】根据随机数表法的知识确定正确选项. 【详解】由于，所以不能作为编号. 故选：C 20.（2023·山西·学业考试）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【答案】B 【分析】根据对立事件得到，根据互斥事件得到，计算得到答案. 【详解】因为事件与事件互为对立，所以， 因为事件与事件互斥，则， 故选：B 21.（2023·辽宁·学业考试）已知数学考试中，李伟成绩高于80分的概率为0.25，不低于60分且不高于80分的概率为0.5，则李伟不低于60分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用互斥事件的加法公式即可； 【详解】解：记事件：李伟成绩高于80分，：李伟成绩不低于60分且不高于80分， 所以，与互斥，且，. 因为“李伟成绩不低于60分”可表示为， 所以，由与互斥可知. 故选：D 22.（2023·甘肃·学业考试）军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩，并给出下列三个结论： 甲 7 12 13 20 22 24 25 26 27 36 乙 9 11 13 14 18 19 20 22 22 23 ①甲的成绩的极差是29；②乙的成绩的中位数是18；③乙的成绩的众数是22． 则三个结论中，正确结论个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据图表求出极差，中位数，众数即可. 【详解】由图表可知甲的成绩的极差是，故①正确； 乙的成绩按从小到大的顺序为， 所以乙的成绩的中位数是，众数是，故②错误，③正确. 所以正确的个数为2个. 故选：B. 23.（2023·河北·学业考试）甲、乙两名篮球运动员在相同站位点各进行6组篮球投篮练习，每组投篮10次，每投进篮筐一次记1分，否则记0分，他们每组投篮的得分如下： 甲  7  8  9  5  4  9 乙  7  8  7  8  7  7 则下列说法正确的是（    ） A．甲比乙的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定 B．甲比乙的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定 C．乙比甲的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定 D．乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定 【答案】D 【分析】分别计算出甲乙两人的平均数和方差，比较大小，可得答案. 【详解】由题意可得甲乙两人的平均数分别为：， 甲乙两人的方差分别为：， ， 故，， 由此可知乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定， 故选：D 24.（2024·湖南·学业考试）抛掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（    ） A．投掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5 C．投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5 【答案】D 【分析】列出试验的所有基本事件，求得事件包含的基本事件数，利用古典概率公式求解即可排除A，对于B,C,D项，只需理解试验中事件发生的频率值是试验值，而事件发生的概率值是稳定值，概率是频率的趋近值，即可一一判断. 【详解】对于A，投掷2次硬币，试验结果有“两个正面朝上，一个正面且一个反面朝上，一个反面且一个正面朝上和两个反面朝上，”四种情况， 故事件“一个正面，一个反面”发生的概率为0.5，故A错误； 对于B，每次抛掷硬币，事件A发生的概率都是0.5，故事件A发生的次数可以是中的任何一个，故B错误； 对于C，投掷硬币20次，事件A发生的概率都是0.5，而事件A发生的频率根据试验结果得到，只能说趋近于0.5，故C错误； 对于D，投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近于事件A发生的概率0.5，故D正确. 故选：D. 第二部分 非选择题（共28分） 二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分） 25.（2023·广西·学业考试）设复数，（i是虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】根据复数的加法运算求解. 【详解】. 故答案为：. 26.（2023·云南·学业考试）从某校随机抽取100名学生进行参加社区服务的次数调查，发现他们的次数都在10~30次之间，进行适当的分组后，绘制如图所示的频率分布直方图，则直方图中a的值为 . 【答案】/ 【分析】根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，列式计算作答. 【详解】由频率分布直方图知，，解得， 所以直方图中a的值为. 故答案为： 27.（2023·山西·学业考试）数据7.0，8.2，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是 ． 【答案】8.4 【分析】利用第p百分位数的定义求解. 【详解】解：因为， 所以第30百分位数是8.4， 故答案为：8.4 28.（2023·辽宁·学业考试）某学校共有教职员工800人，其中不超过45岁的有x人，超过45岁的有320人.为了调查他们的健康状况，用分层抽样的方法从全体教职员工中抽取一个容量为50的样本，应抽取超过45岁的教职员工20人，抽取的不超过45岁的救职员工y人，则 人. 【答案】 【分析】直接根据条件列方程求解. 【详解】根据条件学校共有教职员工800人，抽取一个容量为50的样本， ，解得， . 故答案为：. 三、解答题：（本题2小题，共16分） 29.（2024·云南·学业考试）甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲､乙两人都命中； (2)甲､乙两人至少有一人命中. 【答案】(1)0.56 (2)0.94 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式进行求解； （2）先求出甲､乙两人均未命中的概率，从而利用对立事件求概率公式得到答案. 【详解】（1）甲､乙两人都命中的概率为； （2）甲､乙两人均未命中的概率为， 故甲､乙两人至少有一人命中的概率为. 30.（2023·辽宁·学业考试）为了调查学生在一学期内参加物理实验的情况，从某校随机抽取100名学生，经统计得到他们参加物理实验的次数均在区间内，其数据分组依次为：，，，，.若. (1)求这100名学生中，物理实验次数在内的人数； (2)估计该校学生在一学期内参加物理实验的次数在15次到20次之间的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据频率计算人数即可； （2）根据频率的和为1列方程求出即可. 【详解】（1）这100名学生中，物理实验次数在内的人数为； （2）由图可得，得， 将频率直接当概率， 所以估计该校学生在一学期内参加物理实验的次数在15次到20次之间的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$