14.1 整式的乘法（第2课时）解题模型2024-2025学年人教版数学八年级上册

14.1 整式的乘法 第2课时 模型1 单项式乘单项式 4 模型2 单项式乘多项式 6 模型3 多项式乘多项式 8 模型4 同底数幂的除法 10 模型5 整式的除法 11 模型6 整式的混合运算及化简求值 12 模型归纳 一、整式的乘法 1．单项式与单项式相乘 （1）法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． （3）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． （4）单项式乘单项式的结果仍然是单项式． 2．单项式与多项式相乘 法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）． 3．多项式与多项式相乘 （1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc． 二、整式的除法 1．同底数幂的除法 （1）同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． （3）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． 2．零指数幂的性质 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0． 于是规定：a0=1（a≠0）． 语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于1． 3．单项式除以单项式 （1）单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． （2）单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． （3）该法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式． （4）可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性． 4．多项式除以单项式 多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 方法归纳 1．整式的乘法 （1）单项式与单项式相乘 ①积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． ②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． （2）单项式与多项式相乘 ①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． ②计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． ③对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． （3）多项式与多项式相乘 ①运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． ②多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 2．整式的除法 （1）零指数幂的性质 ①底数a不等于0，若a=0，则零的零次幂没有意义． ②底数a可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等． ③a0=1中，a≠0是极易忽略的问题，也易误认为a0=0． （2）多项式除以单项式 ①多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． ②多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． ③多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 模型1 单项式乘单项式 典例 （2023•柳州二模）计算的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题属于单项式与单项式相乘，把系数和相同字母分别相乘得结果． 【解答】解：原式 ． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用． 2．运用单项式与单项式相乘的乘法法则进行运算时，不能与合并同类项混淆． 3．在计算时，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． 4．对于混合运算，要注意运算顺序，应先算乘方，再算乘法，最后算加减． 【变式练1】　（2024春•开化县期中）计算的结果是 　　． 【答案】． 【分析】根据单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式进行计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【变式练2】　（2023秋•沐川县期末）计算：　　． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【变式练3】　（2024•和平区二模）计算　　． 【分析】根据单项式乘以单项式，即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 模型2 单项式乘多项式 典例 （2024•雁塔区校级模拟）计算的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可． 【解答】解： ． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． 2．单项式与多项式相乘的步骤 （1）利用乘法分配律，将其转化为单项式乘单项式． （2）将单项式与单项式相乘的结果相加． 3．单项式与多项式相乘，多项式中的每一项都包括它前面的符号，积的符号由单项式与多项式共同决定． 4．对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项的必须合并，从而得到最简结果． 【变式练1】　（2022秋•隆昌市校级月考）如果的结果中不含的五次项，那么的值为　　 A．1 B．0 C． D． 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，即可求解． 【解答】解：， 结果中不含的五次项， ， 解得：， 故选：． 【变式练2】　（2023春•甘州区校级期末）计算：　　． 【分析】利用单项式乘多项式的计算方法直接计算出结果即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【变式练3】　（2023秋•宁江区校级期中）计算：． 【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可． 【解答】解： ． 模型3 多项式乘多项式 典例 （2024春•界首市期末）若中不含的一次项，则的值为　　 A．8 B． C．0 D．8 或 【分析】先根据已知式子， 可找出所有含的项，合并系数，令含项的系数等于 0 ，即可求的值 ． 【解答】解： ， 不含的一次项， ， 解得：． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．多项式乘多项式最终是通过转化成单项式乘单项式来计算的． 2．计算时先把一个多项式看成一个整体． 【变式练1】　（2024春•广饶县期末）下列各式中，结果错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】原式各项利用多项式除以多项式法则计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：、原式，正确，不符合题意； 、原式，正确，不符合题意； 、原式，错误，符合题意； 、原式，正确，不符合题意． 故选：． 【变式练2】　（2023秋•扶余市期末）若多项式乘法的结果中不含项，则的值为　　 A．4 B． C．2 D． 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算出结果，根据不含项，即项的系数为0，求出的值即可． 【解答】解： ， 结果中不含项， ， 解得，， 故选：． 【变式练3】　（2023秋•天河区期末）． 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果． 【解答】解：原式． 模型4 同底数幂的除法 典例 （2023秋•永善县期末）已知，，则的值为　　 A． B． C． D．1 【答案】 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则结合幂的乘方运算法则将原式变形得出答案． 【解答】解：，， ． 故选：． 【变式练1】　（2023春•栾城区期中）若，，则等于　　 A． B．6 C．21 D．20 【答案】 【分析】先根据同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆用，把转化为用已知条件表示，然后代入数据计算即可． 【解答】解：，， ． 故选：． 【变式练2】　（2023•天宁区校级模拟）计算：　　． 【答案】． 【分析】首先计算幂的乘方，然后计算同底数幂的除法即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【变式练3】　（2023春•萍乡期末）已知，则　　． 【答案】25． 【分析】利用同底数幂的除法运算法则进行计算，然后代入求值． 【解答】解：原式， ， 原式， 故答案为：25． 模型5 整式的除法 典例 （2023秋•白水县期末）计算的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的法则求解． 【解答】解：原式 ． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 多项式除以单项式，被除式有几项，商也应该有几项，不要漏项． 【变式练1】　（2022秋•泰山区校级期末）若多项式的一个因式是，则另一个因式是　　 A． B． C． D． 【分析】本题要求另一个因式，可用多项式除以因式，根据多项式除单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：， ． 故选：． 【变式练2】　（2023秋•沂水县期末）计算：　　． 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解： ． 故答案为：． 【变式练3】　（2024•市南区校级二模）　　． 【答案】 【分析】根据单项式除单项式的法则计算，系数相除，相同字母相除即可． 【解答】解：， 答案为：． 模型6 整式的混合运算及化简求值 典例 （2023秋•农安县期末）先化简，再求值：，其中． 【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 【解答】解： ， 当时，原式． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 整式的混合运算，要注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 【变式练1】　（2023春•潍坊期中）计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据积的乘方，单项式乘以单项式法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式法则作答． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【变式练2】　（2022秋•葫芦岛期末）计算． （1）． （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式练3】　（2024春•陈仓区期末）计算：． 【答案】． 【分析】先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂的除法与单项式乘单项式，最后合并同类项即可求解． 【解答】解： ． 第1页（共14页） $$