湖南省邵东市创新高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

创新高级中学2024年下学期期中考试 高二数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分. 命题人： 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图，已知正方体的棱长为1，（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知在空间直角坐标系中，点，，则点A到BC的中点D的距离为（ ） A. B. C. 7 D. 6 3. 已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知直线的斜率等于，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6. 如图为学生做手工时画的椭圆C1，C2，C3(其中网格由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为e1，e2，e3，则(　　) A．e1＝e2<e3 B．e2＝e3<e1 C．e1＝e2>e3 D．e2＝e3>e1 7. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8.设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A. B． C． D．2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线，，斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线必过定点 B. 方程是直线的一般式方程 C. 直线的斜率为 D. 点到直线的距离为1 11. 已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是(     ) A. 四边形周长的最小值为 B. 的最大值为 C. 若，则三角形的面积为 D. 若，则的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若，则实数______. 13. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________． 14. 直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. (1)已知中心在坐标原点的椭圆过点P和点Q ，求此椭圆的标准方程； （2）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，求椭圆C的标准方程。 16. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面距离。 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值. 19.圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆 (1)求圆C与圆M的根轴l； (2)已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程； (3)给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 创新高级中学2024年下学期期中考试 高二数学试卷参考答案 本试卷共4页，19小题，满分150分. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图，已知正方体的棱长为1，（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 且，， 所以. 故选：. 2. 已知在空间直角坐标系中，点，，则点A到BC的中点D的距离为（ ） A. B. C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中两点的距离公式求解即可. 【详解】由，则BC的中点， 则． 故选：C. 3. 已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立两直线方程分别解得点坐标，再由两点式即可得出直线的方程. 【详解】联立，即； 联立，即； 故直线的方程为，即． 故选：C 4. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 5. 已知直线的斜率等于，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的斜率求出参数，将直线方程写成截距式，再根据面积公式计算可得； 【详解】解：依题意有，所以，于是直线方程为，即，因此直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于. 故选：A 【点睛】本题考查直线的斜率求参数的值，截距式的应用，属于基础题. 6. D 7. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算进行求解. 【详解】由题意 ， 又， . 故选：B 8. 解析　由P在C上，设P(x0，y0)，则＋y＝1，又B(0,1)，所以|PB|2＝x＋(y0－1)2，由＋y＝1，得x＝5－5y，y0∈[－1,1]，代入上式，得|PB|2＝5－5y＋(y0－1)2，化简，得|PB|2＝－42＋，y0∈[－1,1]．因此当且仅当y0＝－时，|PB|取得最大值.故选A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得. 【详解】由图可得，，故A、D正确. 故选：AD. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线必过定点 B. 方程是直线的一般式方程 C. 直线的斜率为 D. 点到直线的距离为1 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，化为点斜式，求出定点坐标；B选项，，当不全为0时，方程是直线的一般式方程；C选项，直线斜率为；D选项，利用点到直线距离公式得到答案. 【详解】A选项，直线，必过定点，A正确； B选项，当不全为0时，方程是直线的一般式方程，B错误； C选项，直线的斜率为，C错误； D选项，点到直线的距离为，D正确. 故选：AD 11. 解： 均与圆相切，，， 则． 对于，四边形周长为， 因为点为轴上一个动点，所以的最小值即为点到轴的距离，则， 所以， 即四边形周长的最小值为，故A正确； 对于，可知，则， 所以，所以， 由可得， 因为，所以，所以， 即，所以，故B错误； 对于，若，则， 由选项AB可得，，， 所以， 所以，故C正确； 对于，设，由可得，点，，，四点都在以为直径的圆上， 则该圆的圆心为，半径为， 所以该圆的方程为， 即，与圆：作差可得直线的方程为， 易得直线过定点； 又因为直线为，易得直线过定点， 因为直线与交于点且，所以， 即点的轨迹为以为直径的圆不包含点， 所以点的轨迹方程为，其中圆心为，半径为， 若，则， 即的最大值为，故D正确．故选ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若，则实数______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用直线相互平行的充要条件即可得出. 【详解】解： 故答案为：3. 13. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题涉及直线的方向向量与平面的法向量的关系.如果直线垂直于平面，那么直线的方向向量与平面的法向量平行.根据向量平行的性质来求解的值. 【详解】因为，所以与平行.对于两个平行向量和， 根据向量平行性质，存在实数，使得. 即.根据向量相等的对应分量相等，可得. 那么，. 将，代入，可得. 故答案为:24. 14. 【答案】 【解析】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）． 由题意知，则， ∴点的轨迹方程为． 又点在椭圆内， ∴， 解得：， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，因为点P和点Q在椭圆上，所以解得m＝1，n＝.所以所求椭圆的标准方程为x2＋＝1 （2）由△AF1B的周长为4，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，解得a＝，则M(－，0)，N(，0)，设点A(x0，y0)，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得·＝－，即y＝－(x－3)．① 又＋＝1，所以y＝b2，② 由①②解得b2＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1 16. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线的距离即可； （2）先求出平面的一个法向量，再根据空间向量求解即可. 【小问1详解】 以为原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 因为， 所以. 所以点到直线的距离为. 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， . 由， 令，则，即. 设点到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. 17. 【解题思路】（1）借助椭圆上的点的坐标，的面积与计算即可得； （2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得. 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为； （2），故可设，，， 联立，消去可得， ，即， ，， 则 ， 则当时，有最大值，且其最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先求底面面积，再结合锥体体积公式即可求解； （2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系,为平面的一个法向量,且,求平面的一个法向量,根据,即可求得答案. 【详解】（1）平面,,，且， 所以四棱锥的体积； （2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系, 如图: 由， 可得:,,,,, 由（1）知平面, 为平面的一个法向量,且； 设为平面的一个法向量, 则,, ,, ,, , 令,则,, , 设平面与平面所成的二面角为, ， 平面与平面所成二面角的余弦值为． 19. 【答案】(1)； (2)； (3)的最小值为，此时. 【详解】（1）由题圆的圆心为，半径为；圆圆心为，半径为， 设点为圆C与圆M的根轴l上的任意一点， 则由题可得，即， 整理得，即圆C与圆M的根轴l为直线. （2）由题意可知且，， 设与相交于点H， 则， 又， 所以，所以取得最小值时即为取得最小值时， 又，所以取得最小值时亦即取得最小值时， 而取得最小值时，且该最小值为圆心C到根轴l的距离为， 此时即， 联立，故此时， 所以此时中点坐标为， 所以以线段为直径的圆的方程为，即， 则是该圆与圆C的公共弦，所以两圆方程相减即为直线的方程为：即. （3）设关于根轴对称的点为， 则，故， 则由三角形两边之和大于第三边可得， 连接，则此时与圆M和根轴l相交的点和使得最小为， 且此时即， 联立，即此时， 所以的最小值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$