3.2.2 奇偶性（教学课件） -2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

人教A版2019高一数学（必修一）第三章 函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点). 2、掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点). 3、会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点). 学习目标 3 前面我们用数学符号语言精确地描述了函数图象在定义域某个区间上的“上升”（“下降”）的性质. 接下来我们一起继续探究函数的其他性质——对称性. 情景导入 4 探究1：在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数f(x)=x2和g(x)=2-|x|的图象，并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=x2 … … 9 4 1 0 1 4 9 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=|x| … … -1 0 1 2 1 0 -1 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 -x x (x.f(x)) (-x,f(-x)) 可以发现，这两个函数的图象都关于y轴对称． 新知探究 思考：类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？ 不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)= x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … g(x)=2-|x| … -1 0 1 2 1 0 -1 … 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等. 对于函数f(x)=x2， 有f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1) …… f(-x)=f(x) 偶函数 一般地，设函数的定义域为D，如果对于，都有且，那么，函数就叫做偶函数。 常见的偶函数有 等等 ∀x∈D，都有-x∈D，且f(－x)=f(x) 图像关于y轴对称 图象特征 符号语言 归纳总结 探究2：在平面直角坐标系中，作出函数f(x)=x和g(x)=的图象，并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。 两个函数图象都关于原点成中心对称图形。 新知探究 思考：你能用符号语言精确地描述“函数图象关于原点对称”这一特征吗？ 不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)= x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … g(x)= … - - -1 1 … 对于函数f(x)=x， 有f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) …… f(-x)=-f(x) 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也互为相反数. 奇函数 一般地，设函数的定义域为D，如果对于，都有且，那么，函数就叫做奇函数。 ∀x∈D，都有-x∈D，且f(－x)=-f(x) 图像关于原点对称 图象特征 符号语言 常见的奇函数有等等 归纳总结 奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，判断函数的奇偶性先明确它的定义域． 课本例题 课本例题 课本例题 探究3：（1）如何判断函数 的奇偶性？ 【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数 的定义域为R，且有 所以此 函数是奇函数. （2）已知函数 图像的一部分，如何画出剩余部分？ (2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数 在 y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的 图像如图所示. 新知探究 一看定义域 二看关系式or图象 不关于原点对称 关于原点对称 非奇非偶函数 f(x)=f(﹣x) 图象关于y轴对称 ﹣f(x)=f(﹣x) 图象关于原点对称 偶函数 奇函数 既奇又偶函数 奇偶性的判断方法 归纳总结 O x y O x y 课本练习 课本练习 课本练习 课本练习 典例剖析 归纳总结 归纳总结 一题多变 归纳总结 归纳总结 判断函数的奇偶性时忽视函数的定义域致错 错因分析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:错解中忽视了对函数定义域的分析,事实上,由于定义域是(-1,1],不关于原点对称,此时再去研究f(-x)与f(x)的关系是多余的,该函数一定是非奇非偶函数. 即函数f(x)的定义域是{x|-1<x≤1}.因为函数的定义域不关于坐标原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数. 防范措施 给定函数的解析式判断其奇偶性时,必须先求出函数的定义域,考查定义域是否关于原点对称,如果关于原点对称,那么再研究f(-x)与f(x)的关系,最后结合奇函数与偶函数的定义得出结论;否则,若定义域不关于原点对称,则该函数就是非奇非偶函数. 易错防范：对函数奇偶性定义实质理解不全面．对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．防范措施是判断奇偶性，首先求定义域，并判断定义域的对称性． 【变式训练】 若函数f(x)是定义在区间(6-m2,-5m)内的奇函数,则实数m的值等于　　　　　.  答案:-6 1．根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性． 习题3.2 故每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，为307050元． 6．一名心率过速患者服用某种药物后心率理科明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高．画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）． 心率关于时间的一个可能的图象如图． 双对勾函数（耐克函数） 10．如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30 m，那么宽x（单位：m）为多少时才能使所建造的每件熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？ 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 既奇又偶函数 奇函数 偶函数 定义 定义域特征 非奇非偶函数 图象特征 函数奇偶性的几个结论: (1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)=0,有时可用这个结论来否定个函数为奇函数 (2)若函数(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)=f(-x) (3) 偶±偶=偶，奇±奇=奇，偶×偶=奇×奇=偶，奇×偶=奇 （1）判断函数奇偶性第一步， 先判断函数定义域是否关于原点对称 （2）注意函数的奇偶性与单调性关系在比较大小中的应用 直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养 课堂小结 基础类型　利用奇偶性求解析式(数学运算) 1．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于(　　) A．x2 B．2x2 C．2x2＋2 D．x2＋1 【解析】选D.因为f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，① 所以f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1. 又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数， 所以f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.② 由①②联立，得f(x)＝x2＋1. 2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x+ eq \f(3,x) -4.求函数f(x)在R上的解析式． 【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0. 设x＜0，则－x＞0， 由x＞0时，f(x)＝x＋ eq \f(3,x) －4可知，f(－x)＝－x－ eq \f(3,x) －4， 又f(x)为奇函数，故f(x)＝－f(－x)＝x＋ eq \f(3,x) ＋4(x<0)， 所以函数f(x)在R上的解析式为f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,x)＋4，x<0,0，x＝0,x＋\f(3,x)－4，x>0)) . 　利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x). 微提醒：定义在R上的奇函数f(x)一定有f(0)＝0. 综合类型　函数奇偶性与单调性的应用(逻辑推理) 【典例】1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1)，则下列各式中一定成立的是(　　) A．f(－1)<f(3) B．f(0)<f(5) C．f(3)>f(2) D．f(2)>f(0) 【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－1)＝f(1). 又f(3)>f(1)，所以f(3)>f(－1). 2．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则下列关系正确的是(　　) A．f(1)＞f(－2)＞f(3) B．f(3)＞f(1)＞f(－2) C．f(1)＞f(3)＞f(－2) D．f(－2)＞f(1)＞f(3) 【解析】选A.根据题意，y＝f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－2)＝f(2)， 又由函数图象可得：f(x)在(0，＋∞)上为减函数，即有f(1)＞f(2)＞f(3)， 则有f(1)＞f(－2)＞f(3). 点拨：根据奇偶性，已知y轴一侧的单调性可得另一侧的单调性． 　奇偶性与单调性的关系 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)利用奇偶性转化到一个单调区间，再利用单调性比较大小． 【典例】(2021·昆明高一检测)已知偶函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x＋1)≤0，则x的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．[1，＋∞) C．[－3，1] D．[－∞，－3]∪[1，＋∞) 【解析】选D.因为偶函数f(x)区间(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0， 所以f(－2)＝f(2)＝0， 则不等式f(x＋1)≤0，等价为f(|x＋1|)≤f(2)， 则|x＋1|≥2，解得x≤－3或x≥1. 1．本例条件不变，试解不等式xf(x)>0. 【解析】当x>0时，f(x)>0， 因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，所以0<x<2； 当x<0时，f(x)<0， 因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0， 所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，f(－2)＝0，所以x<－2. 所以不等式的解集是(-∞，-2)∪(0,2). 2．本例中，将条件变为“奇函数f(x)在区间R上单调递增”，试解不等式 f(2x＋1)＋f(2－x)＜0. 【解析】因为f(x)是R上的奇函数，在R上为增函数， 又f(2x＋1)＋f(2－x)＜0， 所以f(2x＋1)＜f(x－2)， 所以2x＋1＜x－2， 解得x＜－3. 即不等式的解集为(－∞，－3). 利用函数的奇偶性、单调性解不等式 (1)奇函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，利用单调性可直接得到a，b的大小的不等式； (2)偶函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，应考虑 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)) ， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)) 的大小的不等式． 微提醒：解不等式不能忽视定义域，解出的范围要与定义域求交集． 创新探究　探究函数的性质(逻辑推理) 【典例】研究函数y＝x－ eq \f(1,x) 的性质，并作出函数的图象． 【解析】函数的定义域为D＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠0)))) ， 从而可知函数的图象有左右两部分． 设f(x)＝x－ eq \f(1,x) ，则对任意x∈D，都有－x∈D， 而且f(-x)＝－x＋ eq \f(1,x) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x))) ＝－f(x)， 所以函数y＝x－ eq \f(1,x) 是奇函数，函数的两部分图象关于原点对称． ∀x1，x2∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)) ，且x1<x2时， f(x2)－f(x1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x2))) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,x1))) ＝(x2- x1) (x2- x1)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2))) ＝(x2- x1)＋ eq \f(x2－x1,x1x2) ＝(x2－x1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1x2))) ， 因为x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2， 所以x2－x1>0，1＋ eq \f(1,x1x2) >0，所以(x2－x1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1x2))) >0， 所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x2)>f(x1)， 所以函数y＝x－ eq \f(1,x) 在x∈(0,+∞)上是增函数． 列出部分函数值如表所示，描点作图． x eq \f(1,2) 1 2 3 y＝x－ eq \f(1,x) － eq \f(3,2) 0 eq \f(3,2) eq \f(8,3) 再根据函数是奇函数，可得出函数图象如图所示， 　如何探究函数的性质及图象 应探究函数的定义域、奇偶性、单调性．顺序是先求函数的定义域，再判断是否具有奇偶性，如果具有奇偶性，则只探究y轴右侧的函数单调性及图象，y轴左侧的可以根据奇偶性得到． 【典例1】 判断函数f(x)=(1+x)的奇偶性. 错解:∵f(x)=(1+x) =, ∴f(-x)==f(x), ∴f(x)=(1+x)是偶函数. 正解:f(x)=(1+x)有意义时必须满足≥0,解得-1<x≤1, 【典例2】判断函数f(x)＝(1＋x)eq \r(\f(1－x,1＋x))的奇偶性． 错解：因为f(x)＝(1＋x)eq \r(\f(1－x,1＋x))＝eq \r(\f(1－x,1＋x)1＋x2)＝eq \r(1－x2)， 所以f(－x)＝eq \r(1－－x2)＝eq \r(1－x2)＝f(x)． 所以f(x)＝(1＋x)eq \r(\f(1－x,1＋x))是偶函数． 正解：f(x)＝(1＋x)eq \r(\f(1－x,1＋x))有意义时必须满足eq \f(1－x,1＋x)≥0，且1＋x≠0⇒－1＜x≤1，即函数的定义域是{x|－1＜x≤1}．由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数． 解析:依题意有 解得m=-6(m=1舍去). $$