13.1 轴对称解题模型2024-2025学年人教版数学八年级上册

13.1 轴对称 模型1 轴对称图形 4 模型2 生活中的轴对称现象 7 模型3 补充轴对称图形、画对称轴 9 模型4 线段垂直平分线的性质 12 模型5 轴对称和轴对称图形的性质 14 模型归纳 一、轴对称图形 1．定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2．判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 二、轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 三、轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量不同 只有一条 有一条或多条 （圆有无数条对称轴） 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称． （3）沿对称轴折叠，两个图形（或图形的两部分）重合． 四、线段垂直平分线的定义及其性质 1．线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2．线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 五、轴对称和轴对称图形的性质 1．两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2．轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3．轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． 4．成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 六、画轴对称图形 轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下： 1．找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点； 2．连接这对对应点； 3．画出对应点所连线段的垂直平分线． 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 方法归纳 1．轴对称与轴对称图形 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． （4）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （5）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． （6）画对称轴的依据：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据． 2．线段的垂直平分线 （1）线段的垂直平分线是直线，而不是射线或线段． （2）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的一条对称轴． （3）利用线段垂直平分线的性质可以证明线段相等．运用此方法可省去证明三角形全等，使得过程更简捷． 3．尺规作图 （1）要保留作图痕迹，并写明结论． （2）在作一条线段的垂直平分线时，若没有特殊说明，则要画成一条直线． （3）尺规作图作线段的垂直平分线，作弧时，半径必须大于线段长度的一半，否则两弧不能相交，且这两条弧的半径必须相等． 模型1 轴对称图形 典例 （2024•邗江区校级三模）下列标识中，哪个航司的标识是轴对称图形？　　 A．（青岛航空） B．（西藏航空） C．（中国国际航空） D．（湖南航空） 【答案】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：，，选项中的图标都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 轴对称图形是一个图形，要区别于两个图形成轴对称的概念． 【变式练1】　（2024春•宁德期末）下列图形中，属于轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项、、的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 【变式练2】　（2024•盘龙区模拟）二十四节气作为中国人特有的时间知识体系，在国际气象界，这一观天察地、认知自然所创造的时间知识体系被誉为“中国的第五大发明”．下列四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、“芒种”、“立秋”，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【解答】解：、、的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项的图形中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 【变式练3】　（2024•旌阳区模拟）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：，，选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 模型2 生活中的轴对称现象 典例 （2024春•济南期末）有一个英语单词，其四个字母都关于直线对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　　． 【答案】书． 【分析】结合题意可知，题中的四个字母均是轴对称图形，所以直线是四个字母的对称轴；将残缺的字母关于直线对称，即可得到完整字母，通过字母组成的单词即可知道所指物品了． 【解答】解：补全字母，如图所示： 故这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 生活中存在轴对称现象，如镜面对称等． 【变式练1】　（2022秋•道里区期末）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”不能关于某条直线成轴对称的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：，，选项中，两个字母“”关于某条直线成轴对称，而选项中，两个字母“”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：． 【变式练2】　（2024•金平区二模）从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是　　 A． B． C． D． 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：由图分析可得题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是． 故选：． 【变式练3】　（2023秋•阳谷县期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 　　． 【答案】． 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【解答】解：，， ， ， ， 故答案为：． 模型3 补充轴对称图形、画对称轴 典例 （2023秋•九台区期末）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． 【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：所补画的图形如下所示： ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 补充轴对称图形，在原图形的某个位置添加一个或几个规则图形，添加后构成一个轴对称图形，需要对各种情况进行判断． 画对称轴时：（1）找出一组对应点并连接；（2）作对应点所连线段的垂直平分线． 【变式练1】　（2021秋•江源区期末）如图，把直角三角形放置在方格纸上，三角形的顶点都在格点上．在方格纸上用三种不同的方法画出与已知三角形成轴对称的三角形．（要求：画出的三角形的顶点都在格点上，不涂黑） 【答案】图见解答． 【分析】直接利用轴对称图形的性质进而得出符合题意的答案即可． 【解答】解：如图1，2，3所示，即为所求；． 【变式练2】　（2024•雁塔区校级开学）把一个大正方形分成9个相同的小方格，给图中的1个白色小方格画上斜线，使画斜线的部分成为一个轴对称图形．请用4种不同的画法表示． 【答案】见解析． 【分析】根据轴对称图形的概念与轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【解答】解：如图： 给图中的一个白色小方格涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，共有4种不同的涂法． 【变式练3】　（2023春•济南期末）如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复． 【答案】见解答． 【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示： 模型4 线段垂直平分线的性质 典例 （2023秋•白云区期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．如果，，那么的周长是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由，，即可求得的周长． 【解答】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长是：． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．线段的垂直平分线必须满足两个条件： （1）过这条线段的中点； （2）垂直于这条线段． 2．线段垂直平分线的性质经常和角平分线的性质结合使用，运用性质可以直接解决证明线段相等和求线段长度的问题．辅助线一般是连接垂直平分线上的点和这条线段的两个端点． 【变式练1】　（2024春•萧县期末）如图，中，的垂直平分线交于点．若，则的周长为　　． 【分析】根据线段垂直平分线性质知，．的周长． 【解答】解：垂直平分， ． 的周长 ． 故答案为：． 【变式练2】　（2023秋•西和县期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长是 　　． 【分析】由线段垂直平分线的性质得出，求得，求出的周长是即可． 【解答】解：是线段的垂直平分线， ， ， ，， 的周长为． 故答案为：16． 【变式练3】　（2023秋•姜堰区月考）如图所示，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，且，求的度数． 【分析】证明（设为，，得到，即可解决问题． 【解答】解：的垂直平分线交于点， ，（设为， ； ，， ，即， ， 即． 模型5 轴对称和轴对称图形的性质 典例 （2024春•周口期末）如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是 　　． 【答案】9． 【分析】根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【解答】解：关于直线对称， 、关于直线对称， 和关于直线对称，，， ， 的面积是：， 图中阴影部分的面积是． 故答案为：9． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．求面积 利用轴对称图形的性质，即在对称轴两侧的对应部分的图形是全等图形，可以将图形移动到对称轴同侧，将分散的图形集中到一起，找到和已知图形面积的关系，从而解决问题． 2．求长度 利用对称轴是对应点连线的垂直平分线这一性质，可以先将已知线段替换，再结合已知条件，求线段长度或某个规则图形的周长． 3．求角度 解决此类题目主要是根据轴对称的性质，即成轴对称的两个图形是全等形，从而得到对应角相等，利用这一性质可以解决求某个角度数的问题． 【变式练1】　（2022秋•柘城县期中）如图与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． （1）求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）3； （2）． 【分析】根据与关于直线对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题 【解答】解：（1）与关于直线对称，，， ， ； （2）与关于直线对称，，， ， ． 【变式练2】　（2024春•西安月考）如图，与关于直线对称，其中，，，． （1）你认为点与点有何关系？连接，则线段与直线有何关系？ （2）求的度数． 【答案】（1）点与点关于直线成轴对称，线段被直线垂直平分； （2）． 【分析】（1）根据成轴对称的性质：对应点连线被对称轴垂直平分，作答即可； （2）根据对应角相等，作答即可． 【解答】解：（1）点与点关于直线成轴对称，线段被直线垂直平分． （2）与关于直线对称， ， ， ， ． 【变式练3】　（2023秋•永昌县校级期中）如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若，，求的度数． 【答案】． 【分析】根据全等三角形的性质及三角形的外角的性质即可求解． 【解答】解：与关于边所在的直线成轴对称， ， ，， ， ， ， ． 第1页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $$