12.2 三角形全等的判定解题模型2024-2025学年人教版八年级数学上册

12.2 三角形全等的判定 模型1 证明三角形全等 4 模型2 证明直角三角形全等 7 模型3 全等三角形的判定和性质的综合 11 模型4 倍长中线模型 15 模型5 手拉手模型（旋转型全等） 20 模型6 一线三等角构造全等模型 23 模型归纳 一、判定两个三角形全等的方法：边边边（SSS） 1．基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． 2．这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因． 二、判定两个三角形全等的方法：边角边（SAS） 1．基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”． 2．此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系． 【注意】 （1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等． （2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 三、判定两个三角形全等的方法：角边角（ASA） 1．基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”． 2．用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识． 四、判定两个三角形全等的方法：角角边（AAS） 1．基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． 2．这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等． 五、直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL） 1．基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”． 2．“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 方法归纳 1．“ASA”与“AAS”可相互转化：只要两个三角形的两组角分别相等，则其第三组角也相等，所以两角及一边分别对应相等的两个三角形一定全等． 2．找等角的常用方法证三角形全等时，常见的隐含等角有 （1）公共角； （2）对顶角相等； （3）等角加（或减）等角仍得等角； （4）角平分线得两等角； （5）同角（或等角）的余角或补角相等； （6）平行线得同位角、内错角相等； （7）垂直定义得两角相等； （8）一些自然规律：“太阳光线可以看作是平行线”“光的入射角等于反射角”等也是常见的隐含条件． 3．应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时，两个三角形符号前一定要加上“Rt”．“HL”是判定两个直角三角形全等特有的方法，对于一般三角形不适用． 4．判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 5．注意：不能判断三角形全等的两种情况：AAA和SSA． 模型1 证明三角形全等 典例 （2023秋•合江县校级期末）如图，已知，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，再利用即可证明． 【解答】证明：， ，即， 在和中， ， ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．SSS 当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因． 明确要证明全等的两个三角形，在书写两个三角形全等时，“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致． 2．SAS （1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等． （2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． （3）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系． 3．ASA、AAS （1）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识． （2）两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等． ①不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等． ②有三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 【变式练1】　（2024•前郭县三模）如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：． 【分析】根据得到，然后利用判定定理证明即可． 【解答】证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式练2】　（2024春•西安月考）如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】根据平行线的性质可得，求出，即可利用证明． 【解答】证明：， ， ， ，即， 又， 在和中， ， ． 【变式练3】　（2024•绥江县二模）如图，，，，求证：． 【答案】见解答． 【分析】先证明．然后利用“”证明． 【解答】证明：， ， 即． 在和中， ， ． 模型2 证明直角三角形全等 典例 （2024春•紫金县期末）如图，，是上的一点，且，，求证：． 【答案】答案见解答过程． 【分析】由得，进而可依据“”判定和全等． 【解答】证明：， 和均为直角三角形， ， ， 在和中， ， ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． （1）当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明． （2）在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法． 2．已知两个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别对应直角边和一条斜边分别对应相等，证明两直角三角形全等时，应用的判定定理是“HL”而不是“SSA”． 【变式练1】　（2024春•秦都区校级月考）如图，在与中，于点，于点，，．证明：． 【答案】见解析． 【分析】根据题意利用判定即可得到本题答案． 【解答】证明：，， ， 在和中， ， ． 【变式练2】　（2024春•莲湖区期中）如图，，，于点，于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据等式的性质得出，进而利用证明即可． 【解答】证明：， ， 即， 在与中， ， ． 【变式练3】　（2023秋•定陶区期末）如图，，，点是上一点，于，于，，求证：． 【答案】见解析． 【分析】连接，由直角三角形全等的“ “判定定理证得，根据全等三角形的性质得到，再由直角三角形全等的“ “判定定理即可证得． 【解答】解：连接， ， 在和中， ， ， ， 于，于， ， 在和中， ， ． 模型3 全等三角形的判定和性质的综合 典例 （2024春•青山区校级月考）如图，，，，，，垂足分别是，，求证：． 【答案】证明过程见解答． 【分析】先由，证明，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明，则，即可由证明． 【解答】证明：，， ， 在和中， ， ， ， 于点，于点， ， ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等． 2．一般三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”四种，切记满足“SSA”的两个三角形不一定全等． 【变式练1】　（2023秋•汕尾期末）如图，点、、、在同一直线上，其中，，． 求证：． 【答案】证明见解答． 【分析】由，推导出，而，，即可根据“”证明，得． 【解答】证明：点、、、在同一直线上，， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式练2】　（2023秋•安陆市期末）如图，，于点，于点，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）由可得，利用可证明； （2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论． 【解答】证明：（1）于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）， ， ． 【变式练3】　（2024春•利津县期末）如图，点在线段上，，，，平分． （1）证明：； （2）若，，求的面积． 【分析】（1）根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到的长，，再根据三角形的面积计算公式即可计算出的面积． 【解答】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， 又平分， ，， 垂直平分， ，． ， ， 即的面积是12． 模型4 倍长中线模型 典例 （2023秋•睢阳区期中）如图，已知是中边上的中线，，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，先证，得，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【解答】解：如图，延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ， 即， ， 故选：． 【变式练1】　（2023秋•盖州市期中）在中，，，则边上的中线的取值范围是　　． 【分析】延长至，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【解答】解：延长至，使，连接． 在和中， ， ， ． 在中，， 即， 故． 故答案为：． 【变式练2】　（2023秋•栖霞区校级月考）如图，五边形中，，，，为边的中点，，，则五边形的面积为　　． 【答案】90． 【分析】延长到，使，连接、、，易证，，根据全等三角形的对应边相等，可得是等腰三角形，五边形的面积转化成了三角形的面积，利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：如图，延长到，使，连接、、， 在和中， ， 中， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：90． 【变式练3】　（2022春•游仙区校级期中）如图，在中，，点是边上一动点，交于点，当时，的面积恰好等于的面积，连接，则此时　　． 【答案】． 【分析】延长到点，使，连接，根据垂直定义可得，再根据已知易得，从而在中，利用勾股定理求出，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，，最后在中，利用勾股定理，进行计算即可解答． 【解答】解：延长到点，使，连接， ， ， 的面积恰好等于的面积， ， ， ， ， ，， 在中，， ， 故答案为：． 模型5 手拉手模型（旋转型全等） 典例 （2023秋•巴南区期末）如图，，，添加下面条件不能判断的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用等式的性质可得，然后利用全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【解答】解：， ， ， 、，，， 和不一定全等， 故符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 故选：． 【变式练1】　（2023秋•涪城区期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到△，连接、，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可得，由旋转的性质可得，，，则为等边三角形，易证明△，根据全等三角形的性质得，则，以此即可求解． 【解答】解：在中，，， ， 将绕点顺时针旋转得到△， ，，， 为等边三角形， ， 在和△中， ， △， ， ， ， ． 故选：． 【变式练2】　（2023秋•大兴区期末）如图，，，要使，则需再添加一个条件是 　　（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据等式的性质可得，然后利用证明，即可解答． 【解答】解：需再添加一个条件是， 理由：， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式练3】　（2024春•淅川县期末）如图所示，已知，，，交于点，交于点． （1）试说明：； （2）可以经过某种变换得到，请你描述这个变换； （3）求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）绕点顺时针旋转，可以得到； （3）． 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，根据等角加同角相等即可得到； （2）根据旋转的性质即可求解； （3）由（1）知，由全等三角形的性质可得，根据三角形外角性质可得，代入计算即可求解． 【解答】解：（1）， ， ， ； （2）， 绕点顺时针旋转，可以得到； （3）由（1）知，， ， ， ． 模型6 一线三等角构造全等模型 典例 （2023秋•安康期末）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，、为两个排污口．已知，，，，点、、在同一直线上，米，米，求两个排污口之间的水平距离． 【答案】两个排污口之间的水平距离为500米． 【分析】根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：，，， ， ，，， ，， 在与中， ． ， ，， 又米，米， （米． 答：两个排污口之间的水平距离为500米． 【变式练1】　（2024春•临渭区期末）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求每层楼的高度大约多少米？ 【答案】每层楼的高度大约为3米． 【分析】根据题意可得：，，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得米，最后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 米，米， （米， 在和中， ， ， 米， 每层楼的高度（米， 每层楼的高度大约为3米． 【变式练2】　（2023秋•右玉县期末）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 【分析】（1）①由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案； ②由①得到，，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案． 【解答】（1）①证明：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ； ②证明：由（1）知：， ，， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【变式练3】　（2023秋•湖南期末）在中，，，过点作直线，于点，于点． （1）若在外（如图，求证：； （2）若与线段相交（如图，且，，则　　． 【答案】（1）证明见解析； （2）1.5 【分析】（1）利用互余关系证，再证，得到，，即可得出结论； （2）类似于（1）可证，得，，即可得出结论． 【解答】（1）证明：，， ． ，， ，， ． 在和中， ， ， ，． ， ． （2）解：于，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：1.5． 第2页（共29页） 学科网（北京）股份有限公司 $$