12.1 全等三角形解题模型2024-2025学年人教版八年级数学上册

12.1 全等三角形 模型1 全等形的概念 3 模型2 全等三角形的概念和表示方法 6 模型3 全等三角形的性质及应用 8 模型4 利用全等三角形的性质求线段的长和角度的大小 11 模型5 利用全等三角形的性质证明线段的数量关系 14 模型6 利用全等三角形的性质求面积或周长 17 模型归纳 一、全等形 1．定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2．判定全等形的方法： 同时满足大小、形状完全相同． 平移、翻折、旋转前后的两个图形全等． 3．性质：全等形的形状相同，大小相等． 4．注意： 两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． 二、全等三角形的概念和表示方法 1．全等三角形的概念： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 3．全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 方法归纳 1．两个图形是否全等，只与这两个图形的形状、大小有关，与图形所在的位置无关． 2．两个全等形经过平移、旋转、翻折等变换可以重合，即平移、翻折、旋转等是只改变图形位置，不改变图形形状和大小的变换，称为全等变换． 3．全等形的周长、面积分别相等，但周长、面积相等的图形不一定是全等形． 4．由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等． 对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 模型1 全等形的概念 典例 （2024春•贵州期末）如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形解答． 【解答】解：全等图形形状相同，大小相等， 、两个图形形状不同，故选项不符合题意； 、两个图形形状相同，大小相等，故选项符合题意； 、两个图形形状不同，故选项不符合题意； 、两个图形大小不等，故选项不符合题意． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．形状相同的两个图形不一定是全等形，大小相等的两个图形也不一定是全等形，只有形状和大小都相同的图形才是全等形． 2．方法技巧： （1）判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较． （2）全等形的形状相同，大小相等． 两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 【变式练1】　（2024春•内乡县期末）下列各组图形中，属于全等图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【解答】解：根据全等图形的定义可得是全等图形， 故选：． 【变式练2】　（2024春•长清区期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 【解答】解：、两个图形不能够完全重合，不是全等图形，不符合题意； 、两个图形可以完全重合，是全等图形，符合题意； 、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意． 故选：． 【变式练3】　（2023秋•鹿寨县期末）下列图形中，与已知图形全等的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而判断得出答案． 【解答】解：由已知图形可得：与全等， 故选：． 模型2 全等三角形的概念和表示方法 典例 （2024春•太康县期末）如图，已知，则以下结论中不正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边、对应角分别相等，进而判断即可． 【解答】解：， ，，，则，即， 无法得到， 故选项，，正确，选项不正确，符合题意． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．全等三角形是特殊的全等形，全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样，叠合在一起是否完全重台，与它们的位置没有关系． 2．表示全等三角形时，表示对应顶点的字母必须写在对应位置上． 全等三角形的性质，根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出对应边和对应角是解题关键． 【变式练1】　（2020秋•饶平县校级期末）若与全等，和，和分别是对应点，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】要判断个选项的正误，要从已知开始思考，结合全等三角形的性质与找对应关系的方法对选项逐个验证． 【解答】解：与全等，和，和分别是对应点 ． 、、是正确的，是错误的． 故选：． 【变式练2】　（2023秋•克州期末）已知图中的两个三角形全等，则度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可． 【解答】解：两个三角形全等， ． 故选：． 【变式练3】　（2023秋•沧州期末）如图，点，在的边上，，其中，为对应顶点，，为对应顶点，下列结论不一定成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等判断即可． 【解答】解：， ， ，成立，不符合题意； ， ，成立，不符合题意； ， ，成立，不符合题意； 不一定等于，不成立，符合题意， 故选：． 模型3 全等三角形的性质及应用 典例 （2024春•阎良区期中）如图，若，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据全等三角形的性质得到，再利用三角形外角性质得到，然后根据三角形内角和定理计算的度数． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 数学语言表示：若△ABC≌△A'B'C'， 则AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'； ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． （1）全等三角形性质的应用：可用来证明两条线段相等，两个角相等． （2）平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形，利用全等的性质得到对应边相等、对应角相等解决问题． 【变式练1】　（2023秋•南京期末）如图，如果，那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，，推出，，，即可得出答案． 【解答】解：， ，，，； ，，， ，故选项、、正确，选项错误； 故选：． 【变式练2】　（2024春•天水期末）如图，已知，，，，． （1）求角的度数与的长； （2）求证：． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，，即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可． 【解答】解：（1），， ， ，， ，， ， ； （2）证明：， ， ． 【变式练3】　（2024春•海口期末）如图，在中，于点、是上一点，若，，，则的周长为　　 A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【解答】解：， ，， 的周长， ，， 的周长为． 故选：． 模型4 利用全等三角形的性质求线段的长和角度的大小 典例 （2024春•济宁期末）如图，，、、在同一直线上，且，，则长　　 A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】 【分析】根据全等三角形对应边相等得到，，则． 【解答】解：， ，， ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 在应用全等三角形的性质时，要找准对应关系． 寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法： （1）图形特征法： 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角． （2）位置关系法： ①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边． ②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角． （3）字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角． 【变式练1】　（2023秋•通河县期末）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质可求得，由直角三角形的性质可得，进而可求解的度数． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【变式练2】　（2023秋•潮南区期末）如图，点，在上，，和，和是对应边，，交于点，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的性质和外角的性质即可得到结论． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【变式练3】　（2024春•项城市期末）如图，，的周长为30，，，则的长是　　． 【分析】根据全等三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：，， ， 的周长为30， ， ， 故答案为：13． 模型5 利用全等三角形的性质证明线段的数量关系 典例 （2023秋•宿豫区期末）如图，在与△中，点、分别在、上，且△，．求证：． 【答案】见解答． 【分析】先根据全等三角形的性质得到，，然后利用“”可判断△，然后根据全等三角形的性质得到结论． 【解答】证明：△， ，， 在和△中， ， △， ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 利用全等三角形的性质，得到对应边相等；结合图形，将要求证的几条线段尽量转化到一条直线上，从而得证． 【变式练1】　（2024春•长春期末）如图，，点对应点，点对应点，点、、、在一条直线上． （1）求证：； （2）若，，求边的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，等号两边同时减去即可得到； （2）由全等三角形的性质可得，再利用三角形三边关系即可求出边的取值范围． 【解答】（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， 在中，， ， 即． 【变式练2】　（2023秋•丹徒区期末）如图，已知．求证：． 【分析】根据全等三角形的性质和等式的性质解答即可． 【解答】证明：， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ． 【变式练3】　（2022秋•蒙城县期末）如图，已知△，、分别是和△的高，求证：． 【答案】见解析． 【分析】先根据全等三角形的性质得出，，然后利用证明△，最后再根据全等三角形的性质即可得证． 【解答】证明：△， ，， 、分别是和△的高， ， 在和△中 ， △， ． 模型6 利用全等三角形的性质求面积或周长 典例 （2023春•海口期末）如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为　　 A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】 【分析】直接利用全等三角形的性质得出，，，进而得出答案． 【解答】解：， ，，， ，， ， 的周长为：． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 由于两个全等三角形的周长和面积都是相等的，所以利用这一性质可以将所求的某个未知图形的周长或面积通过变换，转化到某个已知图形中去求解． 【变式练1】　（2024春•海口期末）如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为　　 A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】 【分析】直接利用全等三角形的性质得出，，，进而得出答案． 【解答】解：， ，， ， ， ， ， ， ， 的周长为：． 故选：． 【变式练2】　（2024春•苏家屯区校级月考）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 　　． 【答案】51． 【分析】根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：由平移的性质知，，， ， ， ， ， 故答案为：51． 【变式练3】　（2024•凉州区三模）如图，在中，于点，于点，，交于点，，若，，则的面积为 　　． 【答案】12． 【分析】根据全等三角形的性质得出，求出，再根据三角形的面积公式求出面积即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 第20页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $$