15.1 二次根式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

15.1 二次根式 数学（冀教版） 八年级 上册 第十五章 二次根式 学习目标 1.认识二次根式的定义并会判断？ 2.知道二次根式有意义的条件？ 3.探索二次根式的基本性质？ 4.会应用二次根式的性质进行计算？ 　 温故知新 正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根，用 表示. 1.什么是一个数的平方根？如何表示？ 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫作a的平方根，用 表示. 3.平方根的性质是什么? 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 讲授新课 知识点一 二次根式的定义 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： （1）面积为 3 的正方形的边长为_______，面积为 S 的正方形的边长为_______． （2）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m． 讲授新课 （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h＝5t2．如果用含有 h 的 式子表示 t ，那么 t 为_______． 你发现这些结果有哪些共同特征？ 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： 讲授新课 ， ， ， ；它们表示一些正数的算术平方根． 我们知道，一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0． 上面问题中，得到的结果分别是： . 讲授新课 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等； 2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”． 讲授新课 典例精析 【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 讲授新课 知识点二 二次根式有意义的条件 当x取何值时，下列根式有意义？ 二次根式有意义的条件 被开方数大于或等于0，即a≥0. 解：(1)由x2≥0，得x≥； (2)由-2x+1≥0，得x≤ . 讲授新课 解：由x2≥0，得x是任意实数， ∴当x为任意实数时， 都有意义. 思考：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 由x3≥0，得x≥0， ∴当x≥0 时， 有意义. 讲授新课 典例精析 【例2】当a取何值时，下列根式有意义？ (2)由12a＞0，得a＜ . 若有分母，则还需保证分母不为0. 二次根式有意义的条件 解：(1)由a≥0，且 a1≠0，得a≥0，且 a≠1； 讲授新课 练一练 1、当x是什么实数时，下列各式有意义？ 分析：(1)由34x≥0，得x≤ (2)由x+4≥0，且 x2≠0，得x≥4，且 x≠2； (3)由x2≥0，得x=0； 讲授新课 知识点三 二次根式的双重非负性 问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0. 问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 讲授新课 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 讲授新课 典例精析 【例3】若 ，求a-b+c的值. 解：因为 由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. 【点睛】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 讲授新课 练一练 1.已知|3x - y - 1|和 互为相反数，求 x + 4y 的平方根． 解：由题意得 3x - y - 1 = 0 2x + y - 4 = 0． 解得 x = 1，y = 2． ∴ x + 4y = 1 + 2×4 = 9. ∴ x + 4y 的平方根为 ±3. 讲授新课 2、已知 y= , 求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 讲授新课 知识点四 二次根式的性质 正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为 ， 又∵面积为a， 即 . 活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？ 这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？ 讲授新课 活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？ ... 算术平方根 平方运算 0 2 4 ... a(a≥0) 02 = 0 ... 观察两者有什么关系？ 22 = 4 讲授新课 4 2 0 根据活动2 直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由： 是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于2的非负数.因此 . 同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即得上面的等式. 讲授新课 的性质： 一般地， ＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件. 讲授新课 ... 平方运算 算术平方根 2 0.1 0 ... a(a≥0) 2 ... 观察两者有什么关系？ 填一填： ＝a (a≥0). 讲授新课 ... 平方运算 算术平方根 -2 -0.1 ... 2 ... 观察两者有什么关系？ a(a＜0) 思考：当a＜0时， = ？ -a 讲授新课 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. a (a≥0) -a (a＜0) 的性质： 讲授新课 议一议： 如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方,后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 意义 表示一个非负数a的 算术平方根的平方 表示一个实数a的 平方的算术平方根 讲授新课 典例精析 【例4】计算： 解： 讲授新课 练一练 1、化简： 讲授新课 解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a. 2、实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简: a b 当堂检测 3.若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是___________. 1.下列各式： . 一定是二次根式的有 ( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B 2.若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______； x≥1 x≥0 且 x≠2 当堂检测 4. 化简： （1） ＝ ; （2） ＝ ; （3） ; （4） . （5） ; （6） . 3 7 4 81 -1 0 1 2 a 5. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是_____. 1 8 当堂检测 6.已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且a，b 满足 ，求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴ a = 3. ∴ b = 4. 当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10； 当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11． 当堂检测 7.计算与化简: (-2)2; (2); (3)(x>0); (4)(x≥3); (5)()2+ 解:(1)原式=(-2)2×()2=4×5=20； (2)原式= (3)原式==2x； (4)原式==x-3； (5)原式=11+13=24. 当堂检测 8.若，化简：. 解：∵， ∴，，， ． 当堂检测 9.已知a、b满足求ab的值. 解：∵， ∴ ∴ ∴当时， 则 解得：， ∵， ∴或 解得：或   ∴或 当时，则无解，舍去， 综上：或 课堂小结 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式. 二次根式 ①被开方数大于或等于0，即a≥0； ②若有分母，则还需保证分母不为0. 定义 条件 双重非负性 二次根式 课堂小结 二次根式 性质1 性质2 二次根式 谢 谢~ $$