15.1 二次根式 课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册

15.1 二次根式 第十五章 二次根式 知1－讲 感悟新知 知识点 二次根式的定义 1 1. 二次根式的定义 一般地，我们把形如 ( a ≥ 0)的式子叫做二次根式 . 2. 二次根式的特征 (1) 必须含有二次根号“ ”， “ ”的根指数为 2，即 “ ”，我们一般省略根指数 2，写作“”. (2) 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子 . (3) 双重非负性：二次根式 a 表示非负数 a 的算术平方根，因此a ≥ 0， ≥ 0. 知1－讲 知1－讲 特别提醒 二次根式应满足两个条件： (1)含有二次根号“”； (2) 被开方数是正数或 0. 特别地：形如 b (a ≥ 0)的式子也是二次根式，它表示 b 与 的乘积，当b是带分数时，要写成假分数的形式. 3. 注意 二次根式的概念是“形式定义”，即必须含有二次根号“ ”. 如虽然 =2，但 是二次根式， 2 不是二次根式 . 同样地， ， 都是二次根式 . 知1－讲 知1－练 给出下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ . 其中一定是二次根式的是_______ .(填序号) 例1 ①③⑤ 解题秘方：紧扣二次根式定义中的“两个条件”进行识别 . 知1－练 解：①中含有二次根号，且被开方数是正数， 故①是二次根式； ②中“ ”是三次根号，不是二次根号，故②不是二次根式； ③中虽然 =3，但它初始的外在形式符合二次根式的定义，故③是二次根式； ④中虽然含有二次根号，但被开方数 x+y 可能为负数，故④不一定是二次根式； ⑤中含有二次根号，且被开方数 a2+1>0，故⑤是二次根式； ⑥中含有二次根号，但被开方数 － 2a2 － 1<0，故⑥不是二次根式 . 知1－练 1-1. [ 月考·邯郸峰峰矿区 ] 下列各式中不是二次根式的是(     ) A. B. C. D. B 知1－练 1-2. [ 月考·保定 ] 若 为二次根式，则 的值可以是(     ) A． 2 B． － 0.1 C． － 2 D． － 5 A 感悟新知 知2－讲 知识点 二次根式有意义的条件 2 1. 二次根式有意义的条件 被开方数为非负数，反之也成立 . 即 有意义 a ≥ 0 . 知2－讲 2. 求使含有字母的式子有意义的字母的取值范围的方法 (1) 如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数 . (2) 如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不等于 0. 知2－讲 (3) 如果一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等于 0. 知2－讲 巧记口诀 二次根式有意义， 被开方数非负数； 二次根式无意义， 被开方数是负数； 单个二次根式时， 列出不等式求解； 复合形式的式子， 列不等式组求解 . 知2－练 当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) +( x+5) 0； (2) － ； (3) ； (4) . 例2 解题秘方：紧扣“求使含有字母的式子有意义的字母的取值范围的方法”求解 . 知2－练 解：欲使 +( x+5) 0有意义， 则必有∴ x ≤ － 3 且 x ≠ － 5. (1) +( x+5) 0 (2) － 欲使 －有意义，则必有 ∴ 2 ≤ x ≤ 5. 知2－练 解：欲使有意义，则必有，∴ x> － . (3) (4) . 欲使 有意义，则必有∴ x ≥ － 4 且 x ≠ 2 . 知2－练 2-1.如图， 在数轴上所表示的 x 的取值范围中，有意义的二次根式是(     ) A. B. C. D. B 知2－练 2-2. [ 期末·秦皇岛 ] 若实数 x， y 满足 y=+ － 1， 则x － y 的值是(     ) A． 1 B． － 6 C． 4 D． 6 D 感悟新知 知3－讲 知识点 二次根式的性质 3 1. 二次根式的性质 性质 1： ≥ 0( a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根是一个非负数 . 性质 2： ( ) 2=a(a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质 3： =|a|=即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值 . 二次根式具有双重非负性 . 知3－讲 应用提醒 1. 正用公式：若a≥ 0，则( )2=a，如： ( )2=5， ( )2=m2+1. 2.逆用公式：若 a ≥ 0，则 a =( )2，如： 2= ()2， =()2. 注意：无论是正用，还是逆用，都要注意前提： a ≥ 0. 知3－讲 2. 与( ) 2( a ≥ 0) 的异同点 表达式 ( ) 2 不同点 取值范围 a 为全体实数 a ≥ 0 运算顺序 先平方后开方 先开方后平方 运算结果 =|a|= ( ) 2=a(a ≥ 0) 相同点 与( ) 2均为非负数，当 a ≥ 0 时， = ( ) 2 知3－讲 ( ) 2(a ≥ 0) 的运算结果是 a， 的运算结果与a 的取值有关，可简记为“平方在外面，直接去根号；平方在里面，得到绝对值，分类来讨论” . 知3－练 (1)若 y= + +2，则 x y= ________. (2) [ 中考·泰州] 实数 a， b 满足+4a2+4ab+b2=0，则 ba的值为( ) A. 2 B. C. －2 D. － 例3 9 B 知3－练 解题秘方：紧扣二次根式的双重非负性：“a ≥ 0， ≥ 0” 进行解答 . 解：由二次根式中被开方数的非负性，得∴ x=3. ∵ y= + +2， ∴ y=2 . ∴ x y=3 2=9. 当互为相反数的两个数同时 作为二次根式的被开方数时， 这两个被开方数都为0. 知3－练 解：将等式整理，得 +( 2a+b) 2= 0. 由二次根式的非负性及平方的非负性，得 ∴a= － 1，b=2 . ∴ b a=2 -1= . 几个非负数的和等于0，那么 每个非负数都等于 0. 知3－练 3-1.已知 a+b+c=0， 且 b= + +3，则 c= _______. －5 知3－练 3-2. [ 期末·唐山 ] 已知三角形的一边长为5，另两边长 a， b 足 +|b － 4|=0，则这个三角形的周长为___________ . 12 知3－练 [母题 教材 P91 练习 ]计算： (1)() 2；(2) ；(3) ； (4)(－ 2 ) 2；(5) . 例4 解题秘方：紧扣“二次根式的性质的两公式”进行计算 . (1)() 2； (2) ； (3) 知3－练 解：() 2 =. = ｜ 6 ｜ =6. = = ｜ 10 1 ｜ = 10 1 = . 知3－练 解：(－ 2 ) 2 = (－ 2) 2×( ) 2=8. (4)(－ 2 ) 2 (5) = ｜ 3.14 － π｜ =π － 3.14. 积的乘方等于各因式乘方的积 . 知3－练 4-1. [ 期末·沧州] 下列值最小的是(     ) A. B.2 -1 C.(－ 2) 0 D.( ) 2 B 知3－练 4-2. [ 期 末·衡水] 若= － a － 1， 则a 的值可以是(     ) A.4 B.2 C.0 D. － 2 D 知3－练 在实数范围内分解因式： (1) x2 － 5； (2) x4 － 4x2+4. 例5 解题秘方：逆用( ) 2=a(a ≥ 0)分解因式 . 逆用此公式时，必须先确定该数 为非负数，故一般只对数进行变形，对字母必须谨慎 . 知3－练 解： x2 － 5= x2 － ( ) 2 =(x+ )( x － ) . (1) x2 － 5 (2) x4 － 4x2+4. x4 － 4x2+4 =( x2 － 2) 2=［ x2 － ( ) 2］ 2= ［( x+ )( x － )］ 2=(x + ) 2( x － ) 2. 知3－练 5-1.在实数范围内分解因式： (1) x4－9； (2) x3－2x； (3) 4x4－4x2+1. 感悟新知 知4－讲 知识点 积的算术平方根的性质 4 1. 积的算术平方根的性质 积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即 = · ( a ≥ 0， b ≥ 0) . 知4－讲 2. 性质的应用 (1) 积的算术平方根的性质对两个以上因数(式)的积的算术平方根同样适用； (2) 运用此公式化简二次根式时，关键是将被开方数分解因数(或因式)，把形如 (a ≥ 0)的式子化为 a.     提示： 注意被开方数(式)一定是乘积的形式，不要出现 “ = + ”这样的错误 . 知4－讲 特别提醒 公式中的 a， b 既可以是一个数，也可以是一个式子，但必须都为非负数，若不是非负数，应将其化成非负数再运用公式化简. 知4－练 [母题 教材 P93 例 2 ]化简： (1) ； (2) ； (3) ( y ≥ 0)； (4) . 例6 解题秘方：紧扣“积的算术平方根的性质”进行化简 . (1) (2) 知4－练 解： = = = × =7 . = = = × =12× 5=60. 提醒： ≠ + . 知4－练 解： = = 0.7x 2y 3 ； (3) ( y ≥ 0) (4) . = = =7. 知4－练 6-1.化简： (1) ； (2) ； 知4－练 (3) ； (4) . 感悟新知 知5－讲 知识点 商的算术平方根的性质 5 1. 商的算术平方根的性质 商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即 = (或 = ÷ )( a ≥ 0，b>0) . 知5－讲 2. 注意 (1) 在 = 中， a 必须是非负数， b 必须是正数才成立，如果 a， b 都是负数，虽然 有意义，但是 在实数范围内无意义 . 若 b= 0，则 无意义 . (2)如果被开方数是带分数，应先化成假分数 . 知5－讲 特别提醒 利用商的算术平方根的性质可以把被开方数中含有分母的二次根式化成被开方数不含分母的二次根式. 知5－练 [母题 教材 P94 练习 T2] 将下列各式化简： (1) ； (2) ； (3). 例7 解题秘方：紧扣“商的算术平方根的性质”进行化简 . 知5－练 解： = (1) (2) (3) . = = = = a·=2 a . 知5－练 方法点拨：利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法： 若被开方数的分母是一个完全平方数(式)，则可以直接利用商的算术平方根的性质，先将分子、分母分别开平方，然后求商. 若被开方数的分母不是完全平方数(式)，可根据分式的基本性质，先将被开方数的分子、分母同时乘一个不等于0的数(式)，使分母变成一个完全平方数(式)，然后利用商的算术平方根的性质进行化简 . 知5－练 7-1.化简： (1) =_______ ； (2) =_______. 知5－练 7-2. [ 期末·石家庄裕华区] 比较大小： ________. ＞ 感悟新知 知6－讲 知识点 最简二次根式 6 1. 定义 一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 . 知4－讲 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数(式)进行开方 = =2 ，= =xy2 化去根号里的分母 若被开方数中含有带分数，则应先将带分数化成假分数 = == 若被开方数中含有小数，则应先将小数化成分数 === 被开方数是多项式的要先进行因式分解 = = =( x2+y2) 知6－讲 特别提醒 判断一个二次根式是不是最简二次根式，要紧扣两个条件： (1)被开方数中不 含分母； (2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因数 (式)的指数都是1. 注意：分母中含有二次根式的式子不是最简二次根式. 知6－练 [母题 教材 P94 练习 T1 ] 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由 . (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) . 例8 分母不在根号内. 的被开方数是平方 和的形式，不是平方数 . 知6－练 解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断 . 解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母； (3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)； (4)不是最简二次根式，因为被开方数中含有开得尽方的因数； (2)(5)是最简二次根式 . 知6－练 8-1. [ 期末·承德 ] 已知 是 最 简 二 次根式，请写出一个满足条 件 的 m 的整数值：________. 5 (答案不唯一)　 知6－练 8-2. [ 期末·秦皇岛] 已知最简二次根式 a-b 与 的被开方数的差为 2，则 a+b=______． 8 二次根式 二次 根式 a ≥ 0 定义 性质 = · ( a ≥ 0， b ≥ 0) = ( a ≥ 0，b>0) 最简二次根式 课堂小结 解：原式＝(x2＋3)(x2－3)＝(x2＋3)(x＋)(x－)．　 原式＝x(x2－2)＝x(x＋)(x－)． 原式＝(2x2－1)2 ＝[(x)2－12]2 ＝[(x＋1)(x－1)]2 ＝(x＋1)2(x－1)2. 解：＝＝×＝10. ＝＝ ＝××＝28. 解： ＝ ＝××··· ＝10a2b2c2 ； ＝＝＝＝5. $$