4.1 平方根练习题 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

苏科版八年级上 平方根练习题 一、解答题 1．（1）若，求：； （2）已知与互为相反数，k是64的平方根，求的平方根． 2．观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： (1)_______； (2)简便计算：． 3．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； (2)当时， ；当时， ； (3)计算：． 4．若，求的算术平方根． 5．若，正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 6．已知，，满足． (1)求，，的值； (2)分别以，，为边长的三条边能否构成三角形？若能构成三角形，判断出三角形的形状并求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 7．已知：和是的两个不同的平方根 (1)求的值． (2)求的平方根． 8．阅读与思考 下面是某同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 探索141的算术平方根的近似值思考：表示4的算术平方根，其值为2．同样地，表示36的算术平方根，其值为6，则141的算术平方根是多少呢？ 问题解决：141的算术平方根为，可以将其转化为正方形的边长求解． ，． 设，则． ，（依据）， ，即．画出如图1所示的示意图， 可得图中正方形的面积． ，． 当时，可忽略，得，得到， 即． 任务： (1)材料中的依据是______（填“A”或“B”），材料中的解题过程主要体现的思想是______（填“C”或“D”）． A． 不等式的性质1    B． 不等式的性质2 C． 分类讨论思想    D． 数形结合思想 (2)仿照上述方法，在图2中补全探究近似值的相关数据． (3)的近似值为______．（保留一位小数） 9．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数…是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 10．已知一个正数的平方根为和，求这个正数的算术平方根． 11．已知：A，B在数轴上，且满足．点B向右平移个单位得到点C，点C向右平移个单位得到点D，点A，B，C，D对应的数分别为a，b，c，d，． (1) ， ． (2)用含n的代数式表示c和d， ， ． (3)定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．有理数a，b，c，d，四个数的积为负数，点C，D中存在的美好点，求n的值． 12．已知与互为相反数，求的值． 13．在计算中时，小明和小华算出了不同的答案： 小明的做法是∶ 当 时， ； 小华的做法是：当 时，． 你认为谁的答案正确，说说你的理由． 14．若，试求的值． 15．已知，． (1)如果x的算术平方根为3，求a的值． (2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 16．选取三个互不相等的整数，若任意两数的乘积的算术平方根都是正整数，则称这三个数为“和谐数”，其乘积的算术平方根为“和谐根”．例如：4，9，25这三个数．，，，其结果6，10，15都是整数，所以4，9．25这三个数称为“和谐数”，6，10，15称为“和谐根”． (1)取三个负整数，，，请问这三个数是“和谐数”吗？请说明理由； (2)①根据题干中的条件任意写出一组“和谐数”________（要求三个数字都为正整数）； ②请根据做题经验，任意写出一条你新写“和谐数”的心得． 17．已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 18．根据表1和表2中的规律填空： 表1： a 9.20 9.21 9.22 9.23 9.24 84.6400 84.8241 85.0084 85.1929 85.3776 表2： b 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)估计___________；（精确到0.01） (2)估计___________；（精确到0.001） (3)已知：，，则___________，___________； (4)已知：，，则___________． 19．已知一个正数的平方根分别是和，求的值和这个正数． 20．已知x， y为实数， 且 (1)确定 x、y的值； (2)求代数式的值． 21．已知x，y满足，求的平方根． 22．已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 23．已知的平方根为，的算术平方根为6． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 24．阅读下列材料： 已知求a、b的值． 解：，，且， ，， ，， 根据上述材料回答问题： 已知 的三边a、b、c满足，，判断 的形状，并说明理由． 25．观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 参考答案： 1.【答案】（1）14；（2）． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求解，非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0． （1）利用完全平方公式的变形求解即可； （2）由互为相反数的两个数的和等于0可得：，解得；由k是64的方根，得出，再代入m、n、k的值求得的值，求其平方根即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵k是64的平方根， ∴； 当时，，由的平方根为； 当时，，没有平方根； 综合上述可得：的平方根为． 2.【答案】(1)，21 (2) 【分析】本题考查算术平方根，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键． （1）根据代数式所呈现的规律可得答案； （2）将原式化为题目规律中的形式，利用简便方法求出结果即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：，21； （2）解： ． 3.【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查算术平方根： （1）根据题目给出的式子特征按要求填空即可； （2）根据题目给出的式子特征按要求填空即可； （3）分别将算式中的算术平方根去掉，再运用有理数加法结合律计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，； 故答案为：； （2）解：由题意，得：时，，时，； 故答案为：； （3）解： ． 4.【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的定义，根据非负数的和为0求字母的值，算术平方根的定义等知识．先根据完全平方式的定义将原式变形为，进而求出，即可求出的算术平方根为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 5.【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义，还要注意正数的两个平方根之间的关系． 由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求平方根． 【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴，解得， ∴， 由，得， ∴， ∵， ∴的平方根是． 6.【答案】(1)，， (2)能构成三角形，直角三角形，，理由见解析． 【分析】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据非负数的性质得出，，，即可得解； （2）根据勾股定理逆定理判断即可得解． 【详解】（1）解：，且，，， ∴，，， ∴，，； （2）解：能构成三角形．理由如下： ，， 能构成三角形，此三角形是直角三角形，且它的周长． 7.【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解； （2）先求出的值，利用平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 8.【答案】(1)A，D (2)图见解析 (3)15.8 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根的实际应用： （1）根据不等式的性质和数形结合的思想，进行判断即可； （2）类比题干给定的方法，估算出，设，补全图形即可； （3）利用题干中的方法，结合（2）中的图形，进行求解即可． 【详解】（1）材料中的依据是不等式的性质1，解题过程体现了数形结合的思想， 故选A，D； （2）∵， ∴， 设， 补全图形如图： （3）由（2）可知：图中正方形的面积． ， ． 当时，可忽略，得，得到， 即． 9.【答案】(1)三个数是“完美组合数”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了算术平方根，读懂题意，理解“完美组合数”的定义是解题的关键． （1）根据“完美组合数”的定义判断即可； （2）分两种情况讨论：当时；当时；分别计算即可． 【详解】（1）是“完美组合数”，理由如下： ∵，，，10，5，2都是整数， ∴三个数是“完美组合数”． （2）当时，， 解得．不符合定义，舍去． 当时，， 解得． 此时， ，且10，40，20都是整数， ∴，是“完美组合数”，符合题意． 综上，． 10.【答案】4 【分析】此题考查了已知一个正数的平方根求参数，算术平方根的定义，正确掌握一个正数的两个平方根互为相反数得到是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数得到，求解后根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵这个正数的平方根为和， ∴． 解得． ∴这个正数是． ∵， ∴这个正数的算术平方根为4． 11.【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查绝对值和算术平方根的非负性，数轴，一元一次方程的应用． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性求解即可； （2）根据数轴上的点平移的变化规律即可解答； （3）分两种情况讨论：点C是的美好点或点D是的美好点．根据“美好点”的定义列出方程，求解后结合进行取舍，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，； 故答案为：， （2）解：∵点B表示的数是，向右平移个单位得到点C， ∴点C表示的数是，即， ∵点C向右平移个单位得到点D， ∴点D表示的数是，即． 故答案为：， （3）解：若点C是的美好点， 则 解得：， ∴，， ∴，不合题意，舍去； 若点D是的美好点， 则 解得：， ∴，， ∴，符合题意． 综上所述，． 12.【答案】 【分析】本题考查了一个非负数的算术平方根的非负性的性质，本题主要运用了算术平方根、平方、绝对值的非负性，求出a，b，c的值，再带入求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数，， ，， ，，． ． 13.【答案】小华的答案正确，见解析 【分析】根据算术平方根的非负性，即可判断求解， 本题考查了算术平方根的非负性，解题的关键是：熟练掌握算术平方根的非负性． 【详解】解：小华的答案正确． 理由：∵表示的是的负平方根， ∴而小明的答案为，小华的答案为，故小华的答案正确． 14.【答案】． 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可得解，掌握非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴． 15.【答案】(1) (2)这个正数是25 【分析】本题考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义得出，求解即可； （2）根据平方根的定义得出，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， ． （2）解：x，y是同一个正数的两个不同的平方根， ， ， 这个正数是， 这个正数是25． 16.【答案】(1)三个负整数，，，是“和谐数”理由见解析； (2)①（答案不唯一）；②任意两个数的乘积都是完全平方数． 【分析】此题考查了算术平方根、积的算术平方根等知识， （1）根据“和谐数”的定义进行计算验证即可； （2）①根据定义写出一组和谐数即可；②根据经验写出心得即可． 【详解】（1）三个负整数，，，是“和谐数”， 理由如下：∵，，， ∴三个负整数，，，是“和谐数”； （2）①∵，，， ∴正整数这三个数称为“和谐数”； 故答案为： ②根据做题经验，称为和谐数的三个数满足以下条件：任意两个数的乘积都是完全平方数． 17.【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义及求法、算术平方根定义及求法、二元一次方程组的解法等知识，先由题意得到关于的二元一次方程组，解方程组求得，代入代数式求值，最后由平方根求法即可得到答案．熟记平方根定义及求法、算术平方根定义及求法、二元一次方程组的解法等知识是解决问题的关键． 【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，，即，解得， 把代入得：， ∴的平方根是． 18.【答案】(1)9.22 (2)0.922 (3)0.8124；256.9 (4)380000 【分析】本题主要考查算术平方根，根据表格提供的数据以及算术平方根的规律解答是解题的关键． （1）从表1中找出最接近85的数85.0084，从而得出的近似值； （2）根据表2提供的数据得出被开方数的小数点每向左（或右）移动2位，相应的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，据此可得出的近似值； （3）根据（2）的规律可得出和的值； （4）根据表2提供的数据得出算术平方根的小数点每向左（或右）移动1位，相应的被开方数的小数点向左（或右）移动2位，据此可得出的近似值 【详解】（1）解：由表1知：85最接近85.0084， 所以，， 故答案为：9.22； （2）解：由表2知：被开方数的小数点每向左（或右）移动2位，相应的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， 所以，， 故答案为：0.922； （3）解：因为， 所以，； 因为， 所以，； 故答案为：0.8124；256.9； （4）解：由表2知，算术平方根的小数点每向左（或右）移动1位，相应的被开方数的小数点向左（或右）移动2位， 因为，， 所以， 故答案为：380000 19.【答案】，这个正数为． 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的意义得到，求解即可得到答案，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∴这个正数的平方根分别是和， ∴这个正数是9． 20.【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，平方差公式，整式的化简求值．熟练掌握二次根式有意义的条件，平方差公式，整式的化简求值是解题的关键． （1）由，可得，，可求，进而可求y的值； （2）进行乘法，然后进行减法计算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴，； （2）解： ， 将，代入得，原式． 21.【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，平方根等知识．熟练掌握算术平方根的非负性，绝对值的非负性，平方根是解题的关键． 由题意知，，可求，根据的平方根为，代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴的平方根为， ∴的平方根为． 22.【答案】为等腰三角形 【分析】本题考查非负性和三角形的分类，根据非负性求出的值，进而判断出的形状即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 23.【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，平方根、算术平方根的定义求得a、b的值是解答本题的关键． （1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得：， ∵的算术平方根为6， ∴， ∵， ∴． （2）∵，， ∴， 则的平方根为． 24.【答案】是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式，非负性，等腰三角形的判定，解题的关键是综合运用以上知识解决问题；先把原等式整理为，再利用完全平方公式得到，根据题意可求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定，即可判断三角形的形状． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 25.【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， ∴由可知， 故答案为：0.245； ②∵，， ∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到， ∴由上述表格可知被开方数小数点需要向右移动6个单位得到， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$