分层作业(17)均值不等式及其应用(二)-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册分层作业（人教B版）

000□00] 1□1口1□1口1■ 分层作业（十七） 学 22222 题卡信 年级： 33333 均值不等式及其应用（二） 4☐4口4□4□4 班级 5 5□5口5☑55☑ (满分：90分) 66666■ 姓名： 7刀7□7□7□7 8☐8□8□8☐8 9☐9□99☐9 ·基础对点练· 6.(6分)（多选）已知正数x,y满足x十y=2,则 下列选项正确的是 () 1.5分)若x>0,y>0,且x十y=号，则y的最 [A上十二的最小值是4 大值为 ( ) [A23 [B] [B]2√3 十1一y的最小值是-1 3 [c]x2十y2的最小值是2 tog 1 136 []x(y+1)的最大值是 2.(5分)已知x>0,则x十2的最小值为( [A]2 [B]2 [c]22[D]4 7.(6分)设>0，则y=830是的最大值是 华有 () 3.(5分)当x>0时，y= [A]3 [B]-3√2 [A]最小值1 [B]最大值1 [D]-1 [c]最小值2 [D]最大值2 [c]3-2√3 4.(5分)某人要用铁丝做一个形状为直角三角形且 8.(5分)已知x> 2 2,则函数y=x一1+2x一3的 面积为1m的铁框架（铁丝的粗细忽略不计），在 下面四种长度的铁丝中，最合理（够用，又浪费最 最小值为 少)的是 [A]4.6m [B]4.8m 96分)函数y=2x+x<1)的最大值为 [c]5m [o]5.2m 5.(6分)（多选）已知某出租车司机为升级服务水 10.(5分)如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它 平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市 的印刷面积为72dm(图中阴影部分)，上下空白 场分析得出每辆车的营运总利润y(单位：万 元)与运营年数x的关系为y=-x2+12x-25, 各宽2dm,左右空白各宽1dm,则四周空白部分 则下列判断正确的是 面积的最小值是 dm2 [A]车辆运营年数越多，利润越高 2 dm [B]车辆在第6年时，总利润最高 [c]车辆在前5年的平均利润最高 [D]车辆每年都能盈利 2 dm 39 ·能力提升练· 19876543210+0.5 15.(12分)某公司为了竞标配套某活动的相关代 11.(5分)若关于x的不等式ax2-(a2+6a+9)x 言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商 十a十1<0的解集是{xm<x<n,则m+元 11 品原来每件售价为25元，年销售量为8万件. 的最小值为 () (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将 [A]8 [B]6 [c]4 [D]2 相应减少2000件，要使销售的总收入不低于 12.(5分)已知x,y为正实数，且x+2y=xy,则 原收入，该商品每件定价最多为多少元？ x十2y的最小值是 () (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量， [A]2 [B]4 [c]8 [D]16 公司决定立即对该商品进行全面技术革新和 13.(5分)（创新拔高题）若两个正实数x,y满足 营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投 号=1，且不等式x+字8m有解则 人日(x:-60)万元作为技政费用，投入(50+ 实数m的取值范围是 ( 日x)万元作为宜传费用，试间：当该商品改苹 [A]{m|-1<m<4} 后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能 [B]{mm<0或m>3} 使改革后的销售收入不低于原收入与总投入 [c]{m|-4<m<1} 之和？并求出此时商品的每件定价. [D]{mm<-1或m>4} 19876543210+0.5 14.(11分)已知正实数a,b满足，4十，1 a+6 b+1 1,求a+2b+1的最小值. 40 ■ ■ ■5.A[因为a>0,所以m=a+≥2√a·=2,当且仅当 a a 11D[对于Ax=号时y=-2,故选项A错送， a=即a=1时，等号成立， 对B=币+行2， 金千2， 因为-11，所以n-1-1+(1+)”= 当且仅当√十I= 1 ，即x=0时等号成立，故选项B x+1 1,当且仅当1一x=1十x,即x=0时，等号成立.所以m>n.故 正确； 选A.] 6.②[④中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x=,即 对于C,y=+3+1≥2 x √x2+3 +3. 1 √x2+3 2=1时x+上≥2等号成立，因为>1，所以z十>2回 =2,由于√x+3= 1 时，x2十3=1，x2=-2无解， √x2+3 中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件.] 所以等号不成立，故选项C错误； 7.证明：因为a,b,c∈R,且a>0,b>0,c>0,a十b十c=1, 所以1+1+1=a+b+c+a+6+c+2+b+c 对于Dy=x十，千2=x+2+ 4 x+2-2≥ a c =3+++8+后+2+2 2c+2·千2-2=2，声当+9=3 t十2，即x=0 时等号成立，故选项D正确.故选BD.] =3+(台+8)+（后+）+（后+） 12C[国为a≥06≥0，且a+6=2,所以ab≤（生）°-1， ≥8++后+后日 而4=(a十b)2=a2+b2十2ab≤2(a2十b2), =3+2+2+2 所以a2+b2≥2.] =9. 13.解：用两种方法求出第三年的产量分别为A(1十a)(1十b), 当且仅当a=b=c时，等号成立.又a,b,c互不相等， A(1+x)2, 所以++>. 则有(1十x)2=(1十a)(1十b). 所以1+x=0+a1+D≤1+a+1+b=1+a+b 8.证明：因为a>0,b>0,c>0, 2 21 abc? 所以+g≥2=2 所以<士的，当显仅雪=6时，等号减主 fa bc=2a + 所以长中 14.证明：因为a,b,c∈(0，+c∞)，a十b+c=1, +≥ lacb2 =2b, 所以1=(a+b十c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. a 因为2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+c2=2(a2+ 当且仅当a=b=c时，上式等号均成立. b2+c2). 又a,b,c不全相等， 所以a2+b2+c2+2(a2+b2+c2)≥1， 所以c++b>a十b+c. a b c 即a2+6+e2>了，当且仅当a=6=c=}时，等号成立. 9D[若a<0,则a十2≥4不成立，放A错误 分层作业（十七） 若a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错误； 若a=4,b=16,则Va6<a十6， 2 故C错误； 答案速对 由均值不等式可知D项正确.] 0c[国为a0≤()<告6abe。 1 23 45 6 711 1213 D C B C BC CD 所以x2+y2-xy=1可变形为(x十y)2-1=3xy≤ 3(),解得-2x十3≤2， 8.2 9.2-2√210.56 当且仅当x=y=一1时，x十y=-2, 当且仅当x=y=1时，x十y=2,所以A错误，B正确； 试题精析 由2+y-y-1可度形务+y-1-w<,解 1 1,D[因为x>0,y>0,且x+y=3, 得x2+y2≤2，当且仅当x=y=士1时取等号，所以C 正确； 所以≤（告）=6含且仅当x=y=后时取等号， 由x2+y2-xy=1可变形为x2+y2=xy+1≥2xy,所以 xy≤1，所以D错误.] 所以y的最大值为36] 156 2.C[因为x>0,则x+2≥22·三=2， x 7.C[因为x>0,所以y=3-(3x+）≤3-2,3x·正 2 当且仅当x= ,即x=√2时取等号， 3-25,当且仅当3x-,且x>0,即-时，学号 所以工十2的最小值为22.] 成立.] 2 3.B[因为x>0,所以y=2红=2 下、 2 1 =1, 8[>号得>0，则画数y=-1十223 x2+1 2x· x -3+1 1 3 3 +2=2+2 风当x=1,即x=1时，等号成立，即) 2x,有最大 x一2 x2 值1.故选B.] Γ2 4.C[设直角三角形的框架的两条直角边为xm,ym(x>0, 3 y>0),则xy=2, 2 3, x一2即x2 此时直角三角形框架的周长C=x十y十√x2十y≥2√y 当且仅当 时，等号成立，此时函数 3 十√2xy=2√2十2，当且仅当x=y=√2时，等号成立. x72 所以C≥2+2√2≈4.828(m). 故用5m的铁丝最合适.] 取得最小值号] 5.BC[由题意，y=-x2+12x-25的图象是开口向下的抛物 9.2-2V2[因为x<1,所以x-1<0,1-x>0,所以y=2x 线，故A错误；函数图象的对称轴为直线x=6,故B正确； t12型-(e+空）+12≤-2厉+12-2多 -2x-++2=-[21-0+]+2≤ x 且仅当x=5时，等号成立，故C正确； 221-0百+2=2-8原，当县仪每=1-竖时 当x=1时，y=-14,故D错误.故选BC.] 取等号.] 6.CD[A项因为正数xy满足x十y=2,即乙十=1， 10.56[设阴影部分的竖向边长为xdm,则横向边长为 2 所以+（+》-+++1+ 2dm,四周空白部分的面积是ydm, 2 由题意，得y=(红+)(+2)-2 当且仅当法-云，即x=y=1时等号成立，放选项A不 =8+2(e+)≥8+2x22 =56, x 正确。 当且仅当工=144，即工=12时，等号成立.故四周空白部分 x B项因为x十y=2,所以y=2-x,且0<x<2, 面积的最小值是56dm2.] 所以1 yh-2-)=+-2=+a+D 1 11.A[根据题意可得m和n是方程ax2一(a2+6a十9)x+a 1 +1=0的两根且a>0, -322√z+ix+1)-3=-1, 即m+n=a+6a+9 mn=+1 a 当且仅当1 a 十1=x十1时取等号，此时x=0或x=一2，不满 所以 +1_m+n_a2+6a+9 足题意， m+元=mn a+1 故取不到最小值一1，故B选项不正确 =a+1)2+4(a+1)+4 a+1 C项x+y=+y-2w≥z+0-2(生)°= (x+y=2, +a++4≥2/a+1D· =(a+1)+4 a+1+4=8, 2 当且仅当a十1= 4 当且仅当x=y=1时等号成立，故选项C正确. 十中a1时，年号成立.故日十是的 D项因为x+y=2,所以x+(y+1)=3,则x(y+1)≤ 最小值为8.] 12.C[因为x十2y=,所以+2=1.而工y为正实数， 当且仅当红=y十1，甲红=号y=宁时等号浅立，故选项D 所以x+-+2(2+）-4+号+警≥4+2-8 正确.门 当且仅当x=4,y=2时取等号，故x十2y的最小值为8.] 571■ 1.D[因为正实数x,y满足是+兰-1，所以x十兰 由选项A的图象知，存在一个x的取值，有两个y值与之对 y 应，所以不能表示y是x的函数. 4红.义=4，当 (经+)(+)=2+誓+≥2+2停·法 故选A.] 2.D[函数的定义域和值域也可以是有限集，A错误；对于定 且仅当x=2,y=8时，x十取得最小值4. 义域中的每一个数x,在值域中都有唯一的数y和它对应，反 之则不然，故B错误，D正确，C显然错误.] 由x十￥<m2-3m有解，可得m2-3m>4,解得m>4或 3.B[对于A,当x=一2时，y=一2任N,故选项A不满足题意； m<-1.故选D.] 对于B,集合M中的每个值，按y=|x|,在集合N中都有唯 一值与之对应，故选项B满足题意； 14解：国为。千6十6十-1，且a6为正庆数， 对于C,集合N中没有元素与集合M中的0对应，故选项C 所以a+6+6+1=a+b+6+1(26+6) 1 不满足题意； 对于D,当x=士2时，y=4任N,故选项D不满足题意. =4+a+ +46+2+1 故选B.] b+1 a+b 4.B[对于A,y=(W()2的定义域为[0，十∞)，y=x的定义 /a+b4(b+1) ≥5+2√6+·a+b =9, 域为R,定义域不同，故两函数不是同一个函数，故选项A 当且仅当a十b=46+1) 错误； 6+1=a十6，即a=4,6=2时，等号成立. 对于B,u=0=U,定义战为R,故与y=x定义域和对应 所以a十2b+1的最小值为9. 关系均相同，故选项B正确； 15解：（1)设每件定价为：元，像题意得(8一25×0.2)： 对于C,y=√x=|x|,与y=x的对应关系不同，故两函数 不是同一个函数，故选项C错误； ≥25×8， 整理得t2一65t+1000≤0，解得25≤t≤40. 对于D,m=的定义接为（一0,0）U(0,十∞)，故与y=x n 所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最 的定义域不同，故两函数不是同一个函数，故选项D错误」 多为40元. 故选B.] (2)依题意知，当x>25时， 5.C[由x十1>0，得x>-1. 不等式ax≥25X8+50+1 6（x2-600)有解， 所以函数的定义域为(-1，十o∞).故选C.] 6.C[由图象可得g(1)=3,由表格中的数据可得f(g(1))= 等价于当x>25时，a≥150 1 、1x十有解由于15士 f(3)=1.故选C.] 7.A[f(a)-f(-a)=3a2-1-3(-a)2+1=0.] 1 /1501 6x22√元 Gx1。,当耳汉当心百·即x—3O对， 1-x≥0， 8.(-o∞，0)U(0,1][由 等号成立，所以a≥10.2 1-√1-x≠0， 所以当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才 解得x≤1且x≠0， 可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此 用区间表示为（一∞，0）U(0,1].] 时该商品的每件定价为30元 9[-28)u(停 [要使函数有意义，需满足 分层作业（十八） x≥-2， x+2≥0， 答案速对 62r0,z≤3：所以-2r<3,且x≠号 6-2x≠1， 1234 5671213 CC A AC B 即画数的定义城为[-2，)U(号]门 8.(--,0Uo,19.[-2,号)u(23 10.解：（1)要使函数有意义，必须满足 3x-120,即 1-2x≥0， 14.-(a≠0，且a≠1)15.12 x≥ 3 所以写<≤号，即画数的定义越为[行，] 1 a 试题精析 x≤2’ |x+3≠0， (2)要使函数有意义，必须满足 1.A[由函数的定义知，每一个x的取值，有且仅有一个y值 Ux|-x>0, 与之对应， 由选项B,C和D的图象可知，每一个x的取值，有且仅有一 中 解得×3， x<0. 个y值与之对应，所以选项B,C和D不符合题意； 所以函数的定义域为（一∞，一3）U(一3,0). 158