小升初奥数培优：浓度问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

浓度问题 (知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 一、浓度问题的基本概念 1、溶液：溶质和溶剂的混合物。 2、溶质：被溶解的物质，如糖、盐等。 3、溶剂：溶解溶质的物质，如水。 4、浓度：溶质占溶液的百分比，即浓度 = 溶质重量 ÷ 溶液重量 × 100%。 二、浓度问题的基本公式 1、溶液重量公式：溶液重量 = 溶质重量 + 溶剂重量。 2、浓度公式：溶质重量 = 溶液重量 × 浓度 溶液重量 = 溶质重量 ÷ 浓度 浓度 = 溶质重量 ÷ 溶液重量 × 100% 三、浓度问题的解题关键 1、抓住不变量：在解决浓度问题时，关键要抓住一个不变的量作为切入点，根据这个不变量（等量关系）来列方程或者用算术方法解决问题。 2、利用公式进行换算：通过浓度公式，可以将溶质、溶剂和溶液的重量进行相互换算。 四、浓度问题的题型分类及解题方法 1、直接计算浓度： 已知溶质和溶液的重量，直接利用浓度公式计算浓度。 2、溶液稀释或浓缩： 溶液稀释：加入溶剂使溶液浓度降低。 溶液浓缩：蒸发溶剂或加入溶质使溶液浓度升高。 解题方法：根据稀释或浓缩前后溶质重量不变的原则，列方程求解。 3、两种或多种溶液混合： 已知两种或多种不同浓度的溶液，求混合后的浓度。 解题方法：利用浓度公式，分别计算出每种溶液中溶质的重量，再求出混合后溶液中溶质的总重量和溶液的总重量，最后计算混合后的浓度。 4、含水量问题： 已知物体的含水量和总重量，求物体干燥后的重量或含水量变化后的重量。 解题方法：根据含水量和总重量的关系，列方程求解。 五、浓度问题的解题技巧 1、设未知数：对于涉及多个未知数的浓度问题，可以设未知数并建立方程进行求解。 2、利用比例关系：在浓度问题中，经常涉及到比例关系，如溶质与溶液的比例、不同浓度溶液的比例等。可以利用比例关系进行换算和求解。 3、利用十字交叉法：对于两种或多种不同浓度的溶液混合问题，可以利用十字交叉法快速求解混合后的浓度。 【典例1】有A、B、C三种盐水，若A与B的数量之比为2：1，溶合起来浓度是13%；若A与B的数量之比是1：2，溶合起来的浓度是14%；若h的数量之比是1：1：3，浓度就为10.2%；则C的浓度是多少？ 【答案】解：（13%+14%）÷2 =27%÷2 =13.5% （13.5%-10.2%）×2 =3.3%×2 =6.6% 10.2%-6.6%÷3 =10.2%-2.2% =8% 答：C盐水的浓度约为8% 【解析】 根据：“按甲与乙的数量之比为2：1混合”，“按甲与乙的数量之比1：2混合”，“按甲、乙、丙的数量之比1：1：3混合”；从上面的条件中我们发现，只要使前两次操作得到的13%的盐水与14%的盐水重量相等，就可以使13%的盐水与14%的盐水混合，得到浓度为（13%+14%）÷2=13.5%的盐水，这种盐水里的甲和乙的数量比为1：1．现在我们要用这样的盐水与盐水丙按2：3混合，得到浓度为10.2%的盐水，13.5%-10.2%=3.3%，这样2份的13.5%的盐水就多了6.6%，这6.6%正好补全了丙盐水与10.2%的盐水的差距，6.6%÷3≈2.2%，10.2%-2.2%=8%，所以丙盐水的浓度为8。 【典例2】A、B、C三个试管中各盛有20克、30克、40克水。把某种浓度的盐水20克倒入A中，混合后取出20克倒入B中，再混合后又从B中取出20克倒入C中，现在C中的盐水浓度是1%，最早倒入A中的盐水浓度是多少？ 【答案】解：（20+40）×1% =60×1% =0.6（克） 0.6÷20×100%=3% （20+30）×3% =50×0.03 =1.5（克） 1.5÷20×100%=7.5% （20+20）×7.5% =40×0.075 =3（克） 3÷20×100%=15% 答：最早倒入A中的盐水浓度是15%。​​​​​ 【解析】盐水质量×盐水浓度=盐的质量，盐的质量÷盐水的质量×100%=盐水浓度； 通过分析发现A、B、C三个试管中原来是没有盐的，所以，C试管中水的质量+倒入的混合液质量=此时C试管中盐水的质量，（C试管中水的质量+倒入的混合液质量）×此时C试管中盐水的浓度=倒入C试管的盐的质量； 倒入C试管的盐的质量÷倒入的混合液质量×100%=B试管中倒入混合液后的浓度，B试管中水的质量+倒入的混合液质量=此时B试管中盐水的质量，（B试管中水的质量+倒入的混合液质量）×B试管中倒入混合液后的浓度=倒入B试管的盐的质量； 倒入B试管的盐的质量÷倒入的混合液质量×100%=A试管中倒入混合液后的浓度，A试管中水的质量+倒入的混合液质量=此时A试管中盐水的质量，（A试管中水的质量+倒入的混合液质量）×A试管中倒入混合液后的浓度=倒入A试管的盐的质量； 倒入A试管的盐的质量÷倒入A试管的盐水的质量×100%=最早倒入A中的盐水浓度，据此可以解答。 【典例3】有两个杯子，甲盛水，乙盛果汁，甲杯的水是乙杯果汁的2倍。先将甲杯的水倒进乙杯，使乙杯内的液体增加一倍，调匀；再将乙杯的果汁水倒进甲杯，使甲杯内的液体增加一倍，调匀；再将甲杯的果汁水倒进乙杯，使乙杯内的液体增加一倍，调匀；如此倒五次，最后乙杯里果汁占果汁水的几分之几？ 【答案】解：第一次倒：乙杯内有：1水+1果汁，甲杯内有：1水； 第二次倒：乙杯内有：0.5水+0.5果汁，甲杯内有：1.5水+0.5果汁； 第三次倒：乙杯内有：1.25水+0.75果汁，甲杯内有：0.75水+0.25果汁； 第四次倒：乙杯内有：0.625水+0.375果汁，甲杯内有：1.375水+0.625果汁； 第五次倒：乙杯内有：1.3125水+0.6875果汁，甲杯内有：0.6875水+0.3125果汁 第五次倒后：乙杯内有：1.3125水+0.6875果汁，果汁果汁与果汁水比： 0.6875÷（1.3125+0.6875） =0.34375 = 答：最后乙杯里果汁占果汁水的。 【解析】假设原来甲杯子有2份水，已杯子有1份果汁， 第一次倒：乙杯内有：1水+1果汁，甲杯内有：1水； 第二次倒：乙杯内有：0.5水+0.5果汁，甲杯内有：1.5水+0.5果汁； 第三次倒：乙杯内有：1.25水+0.75果汁，甲杯内有：0.75水+0.25果汁； 第四次倒：乙杯内有：0.625水+0.375果汁，甲杯内有：1.375水+0.625果汁； 第五次倒：乙杯内有：1.3125水+0.6875果汁，甲杯内有：0.6875水+0.3125果汁；进而求出用除法求出最后乙杯果汁占果汁水的几分之几。 【典例4】 、 、 三个试管中各盛有 克、 克、 克水．把某种浓度的盐水 克倒入 中，充分混合后从 中取出 克倒入 中，再充分混合后从 中取出 克倒入 中，最后得到的盐水的浓度是 ．问开始倒入试管 中的盐水浓度是百分之几？ 【答案】解：0.5%÷÷÷ =0.5%×2×3×4 =12% 答：一开始倒入A中盐水的浓度是12%。 【解析】 整个过程中盐水浓度在下降．倒入中后，浓度变为原来的 ；倒入中后，浓度变为中的 ；倒入中后，浓度变为中的 。根据分数除法的意义计算原来A中盐水浓度即可。 【典例5】有甲乙丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度是丙的4倍，如果把么溶液倒入甲中，会使甲溶液的浓度比原来下降2.4% ；如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降2.25% ；如果把甲丙两瓶溶液混合，那么混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度。请问甲乙丙三瓶溶液的重量比是多少？它们的浓度分别是多少？ 【答案】解： 设乙溶液的浓度为 ， 甲乙丙三溶液的质量分别为： A， B， C， 则有： 甲的㳖度为 ， 丙的浓度为， 依题有如下关系： 可解出 ； 可解出 ②； 可解出 ③； 将③式代入①式得： 代入②式， 整理得 ， 即乙楁液的浓度为 ， 则甲楁液的浓度为 ， 丙溶液的浓度为 . 将 代入②式， 有： ， 因此， . 答： 甲、乙、丙三瓶溶液的重量比是3： ， 它们的浓度分别是 【解析】分析： 设乙溶液的浓度为 ， 甲乙丙三溶液的质量分别为： A， B， C， 则有： 甲的浓度为 ， 丙的浓度为， 依题意有如下关系： ①； ②； ③然后进行整理各方程，运用代换的方法，解决问题 1．A种酒精中纯酒精的含量为40%，B种酒精中纯酒精的含量为36%，C种酒精中纯酒精的含量为35%，它们混合后得到纯酒精含量为38.5%的酒精11升。其中B种酒精比C种酒精多3升，那么其中A种酒精有多少升？ 2．有A，B两个桶，分别盛着水和某含量的酒精溶液。先把A桶液体倒入B桶，使B桶中的液体翻番；再将B桶液体倒入A桶，使A桶中的液体翻番。此时，A，B两桶的液体体积相等，并且A桶的酒精含量比B桶的酒精含量高20%。问：最后A桶中的酒精含量是多少？ 3．某容器中装有酒精溶液，龙博士让欧欧再倒入浓度为 5% 的酒精溶液 800 克，以配成浓度为 20% 的酒精溶液，但欧欧却错误地倒入 800 克水 . 龙博士发现后说，不要紧，你再倒入第三种酒精溶液400 克，就可以得到浓度为 20% 的酒精溶液了，那么第三种酒精溶液的浓度是多少？ 4．甲种酒含纯酒精40%，乙种酒含纯酒精36%，丙种酒含纯酒精35%。将三种酒混在一起得到含酒精38.5%的酒11千克。已知乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲种酒有多少千克？ 5．有两个同样大小的杯子，甲杯盛满了纯水，乙杯盛着半杯含有10克盐的盐水，先用甲杯里的水倒满乙杯并搅匀，然后再将乙杯里的盐水倒满甲杯并搅匀，上述过程算是进行了一次操作。如果这样连续地进行了五次操作后，那么甲杯里含有多少克盐？(用分数表示) 6．A，B，C三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出 10克倒入C中．现在C中盐水浓度是0.5%．问最早倒入A中的盐水浓度是多少？ 7．设有甲、乙、两三个桶，甲中装有500克水，乙中装有浓度为40%的盐水750克，丙中装有浓度为50%的盐水 500克。首先将甲中水的一半倒入乙，然后将乙中插水的一半倒入丙，再将丙中盐水的一半倒入甲，最后甲桶中盐水的浓度是多少?(如果最后结果有小数，精确到小数点后一位) 8．甲杯中有纯酒精 克，乙杯中有水 克，第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯，使酒精与水混合．第二次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯，这样甲杯中纯酒精含量为 ，乙杯中纯酒精含量为 ．问第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是多少克？ 9．把12千克盐溶解于120千克水中，得到132千克盐水，如果要使盐水含盐8%，要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？ 10．有盐水若干升，加入一定量的水后， 盐水的浓度降到 ； 又加入同样多的水之后， 盐水的浓度又降到 ； 再加入同样多的水，此时盐水的浓度是多少？ 未加入水时盐水的浓度是多少？ 11．有糖水若干升，第一次加入一定量的糖后，糖水浓度升到 ， 又加入同样多的糖后， 糖水浓度升到 ， 第三次再加入同样多的糖， 此时糖水浓度是多少？（精确到 0.01 ） 12．甲种酒含纯酒精 ， 乙种酒含纯酒精 ， 丙种酒含纯酒精 ． 将三种酒混在一起得到酒精浓度为 的混合酒 11 千克． 已知乙种酒比丙种酒多 3 千克，那么甲种酒有多少千克？ 13．从装满200克 80%的盐水中倒出 80克盐水再用清水加满，搅拌后倒出80克盐水，然后再用清水加满。如此反复三次后，杯中的盐水浓度是多少？ 14．甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%，求第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升? 15．已知甲酒精溶液的纯酒精含量为 ， 乙酒精溶液的纯酒精含量为 ， 两种酒精溶液混合后纯酒精的含量为 。如果两种酒精溶液取的数量都比原来多 15 升，混合后纯酒精的含量就为 。那么第一次混合时， 甲酒精溶液取了多少升？ 16．A种酒精中纯酒精的含量为40%，B种酒精中纯酒精的含量为36%，C种酒精中纯酒精的含量为35%，它们混合后得到纯酒精含量为38.5%的酒精11升，其中B种酒精比C种酒精多3升，那么其中A种酒精有多少升? 17．有甲、乙两个装满硫酸的容器，甲容器中装有浓度为16%的硫酸溶液300千克，乙容器中装有浓度为40%的硫酸溶液200千克。问：从甲、乙两个容器各取多少千克硫酸溶液分别放入对方容器中，才能使这两个容器中硫酸溶液的浓度一样？ 18．甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%。如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？ 19．有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为 ，盐浓度为 ，乙溶液中的酒精浓度为 ，盐浓度为 ．现在有甲溶液 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？ 20．甲种酒精浓度为，乙种酒精浓度为，混合后的酒精浓度为，如果每种酒精都比原来多加15升，混合后的浓度便为，那么第一次混合时，取了多少甲种酒精? 21．从装满100克浓度为60%的糖水中，倒出20克糖水，再倒入20克清水；搅拌均匀后再倒出20克糖水，然后再倒入20克清水。反复三次后，杯中糖水的浓度是多少？ 22．瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A，B两种酒精溶液，瓶里的浓度变成了14%。已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是多少? 23．有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为 ，盐浓度为 ，乙溶液中的酒精浓度为 ，盐浓度为 ．现在有甲溶液 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等? 24．甲容器中有浓度为 的盐水 克，乙容器有浓度为 的盐水 克．分别从甲和乙中取出相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中．现在甲、乙容器中盐水浓度相同．问：从甲（乙）容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中？ 25．甲种酒精的酒精含量为72%，乙种酒精的酒精含量为58%，第一次两种酒精各取出一些混合后酒精的含量为62%。第二次如果两种酒精所取的数量都比原来多15升，混合后酒精的含量就为63.25%。求第一次混合时， 甲、乙两种酒精各取了多少升？ 26． 甲容器中有纯酒精 340 克， 乙容器中有水 400 克。第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器， 使酒精和水混合； 第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器， 这时甲容器中纯酒精含量为 ， 乙容器中纯酒精含量为 20 ，则第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少克？ 27．甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水 60 千克，含糖率为 40%；乙桶有糖水 40 千克，含糖率为 20%。要使两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克？ 28．A，B，C三个试管中分别盛有10克、20克、30克水，把某种浓度的10克盐水倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出10克倒入C中。现在C中盐水浓度是1%，最早倒入A中盐水的浓度是多少? 29．瓶中原有浓度为 20% 的酒精溶液 1000 克，现在先后倒入 A 种酒精溶液 200 克，B 种酒精溶液 400 克，瓶中溶液浓度变成了 15%，已知 A 种酒精溶液浓度是 B 种酒精溶液浓度的 2 倍，那么 B 种酒精溶液的浓度是多少？ 30．瓶子里装有浓度为15%的酒精1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14%。已知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A种酒精的浓度。 1．【答案】解：11×38.5% +3 ×35%=5.285(升)。 14×35.5%=4.97(升)， 5.285-4.97=0.315(升)。 (11 ×38.5% +3 ×35% - 14 ×35.5%)÷[40% - (36%+35%)÷2]=7 (升)。 答：A酒精有7升。 【解析】因为题目中B种酒精比C种酒精多3升，我们立即想到，如果去掉3升B种酒精，那么B种、C种酒精同样多。这时混合溶液中纯酒精的含量为3.155 升。然后用假定法解答，设8升全部为A种酒精，那么纯酒精为3.2升，比实际多3.2-3.155=0.045升纯酒精。这是因为把B、C的混合液含的纯酒精量为35.5%，也当成A种酒精40%了。那么0.045升中含有多少个0.5%，就有多少升B、C混合液。由此便可求解A的含量。 2．【答案】解：设一开始A桶有液体x，B桶中有y。 第一次从A桶倒入B桶后，B桶有2y，A桶剩(x-y)，第二次从B桶倒入A桶。 A桶有2(x-y)，B桶剩3y-x，由2(x-y) =3y-x，得x：y=5：3。 设最开始A桶有纯酒精z，则有水5-2。 由题意 解得z=4， 所以最后A桶中酒精的含量为：=60%。 答： 最后A桶中的酒精含量是 60%。 【解析】 因为最后 A 桶的酒精含量高于 B 桶，所以一开始 A 桶盛的是酒精溶液．设一开始 A 桶中有液体 x ， B 桶中有 y ．第一次从 A 桶倒入 B 桶后， B 桶有2y， A 桶剩（ x 一 y )；第二次从 B 桶倒入 A 桶， A 桶有2( x - y )， B 桶剩（3y- x )．由2( x - y )=3y- x ，得 x ： y =5：3. 再设开始 A 桶中有纯酒精 z ，则有水（5- z )．将酒精稀释由题意知，，解得z，最后 求出A 桶中的酒精含量即可。 3．【答案】解：800×5%=40（克） 400×20%+40=120（克） 120÷400克×100%=30% 答：第三种酒精溶液的浓度是30%。 【解析】根据题目，第一次少倒了800克5%的酒精溶液，即纯酒精40克；为使最终溶液的酒精浓度为20%，第二次需要倒入400克20%的酒精溶液，即纯酒精80克；由于第一次少倒入了40克纯酒精，第二次实际需要补充纯酒精120克；第三次倒入的酒精溶液的总量为400克，因此需要倒入的酒精溶液的浓度为120÷400×100%=30%。 4．【答案】解：设丙种酒有 千克， 则乙种酒有 千克， 甲种酒有 千克。 解得 (千克) 答：甲种酒有7千克。 【解析】设丙种酒有x千克，则乙种酒有(x+3)千克，甲种酒有(1-2x-3)千克，然后根据“甲种纯酒精+乙种纯酒精+丙种纯酒精=混在一起的总纯酒精”列方程解答。 5．【答案】解：第一次甲杯中的盐：10÷2=5（克） 第二次甲杯中的盐： （5÷2+5）÷2+5÷2 =÷2+ =+ =（克） 第三次甲杯中的盐： （÷2+）÷2+÷2 =÷2+ =+ =（克） 第四次甲杯中的盐： （÷2+）÷2+÷2 =÷2+ =+ =（克） 第五次甲杯中的盐： （÷2+）÷2+÷2 =÷2+ =+ =（克） 答：甲杯里含有克盐。 【解析】根据题意可得关系式：第一次操作后甲杯中剩下的盐=乙杯中的盐÷2，也是第一次操作后乙杯中剩下的盐； 第二次甲杯中的盐：第一次操作后甲杯中剩下的盐÷2=倒入乙杯后甲杯中剩下的盐，第一次操作后甲杯中剩下的盐÷2+第一次操作后乙杯中的盐=此时乙杯中的盐，（第一次操作后甲杯中剩下的盐÷2+第一次操作后乙杯中的盐）÷2=倒入甲杯中的盐，也是第二次操作后乙杯中剩下的盐，（第一次操作后甲杯中剩下的盐÷2+第一次操作后乙杯中的盐）÷2+第一次操作后甲杯中剩下的盐÷2=第二次操作后甲杯中剩下的盐； 同理，（前一次操作后甲杯中剩下的盐÷2+前一次操作后乙杯中的盐）÷2+前一次操作后甲杯中剩下的盐÷2=本次操作后甲杯中的盐，据此逐一计算五次即可解答。 6．【答案】解：B中盐水的浓度是： （30+10）×0.5%÷10×100%， =40×0.005÷10×100%， =2%． 现在A中盐水的浓度是： （20+10）×2%÷10×100%， =30×0.002÷10×100%， =6%． 最早倒入A中的盐水浓度为： （10+10）×6%÷10， =20×6%÷10， =12%． 答：最早倒入A中的盐水浓度为12%． 【解析】混合后，三个试管中的盐水分别是20克、30克、40克，又知C管中的浓度为0.5%，可算出C管中的盐是：40×0.5%=0.2（克）．由于原来C管中只有水，说明这0.2克的盐来自从B管中倒入的10克盐水里． B管倒入C管的盐水和留下的盐水浓度是一样的，10克盐水中有0.2克盐，那么原来B管30克盐水就应该含盐：0.2×3=0.6（克）．而且这0.6克盐来自从A管倒入的10克盐水中． A 管倒入B管的盐水和留下的盐水的浓度是一样的，10克盐水中有0.6克盐，说明原A管中20克盐水含盐：0.6×2=1.2（克），而且这1.2克的盐全 部来自某种浓度的盐水．即说明倒入A管中的10克盐水含盐1.2克．所以，某种浓度的盐水的浓度是1.2÷10×100%=12%． 7．【答案】解：750×40%=300（克） 750+500÷2 =750+250 =1000（克） 500+1000÷2 =500+500 =1000（克） 500×50%+300÷2 =250+150 =400（克） 500÷2+1000÷2 =250+500 =750（克） 400÷2=200（克） 200÷750×100%26.7% 答：最后甲桶中盐水的浓度是26.7%。 【解析】根据已知可得：盐水的质量×乙桶的盐水浓度=乙中盐的质量，将甲中水的一半倒入乙，此时乙中的盐水质量=原桶中盐水质量+甲桶中水的质量÷2； 乙中盐的质量为300克，所以讲乙中盐水的一半倒入丙时，丙中的盐水质量=原桶中盐水质量+乙桶中此时的盐水质量÷2，此时，丙中盐的质量=丙中原盐水的质量×盐水浓度+乙中盐的质量÷2； 最后将丙中的盐水的一半倒入甲，甲中总质量=甲原来水的质量÷2+此时丙中盐水的质量÷2，最后甲中盐的质量=此时丙中盐的质量÷2，最后甲桶中盐水的浓度=最后甲中盐的质量÷甲中总质量×100%。据此可以解答。 8．【答案】解：第一次从甲杯倒入乙杯的纯酒精有： （ ） （克）， 则甲杯中剩纯酒精 （克）． 由于第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液的浓度为 ，根据浓度倒三角，倒入的溶液的量与甲杯中剩余溶液的量的比为 ， 所以第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是 克． 【解析】【解答】解：15÷（1-25%）-15=5（克） 12-5=7（克） （100%-50%）：（50%-25%）=2：1 7×2=14（克） 答：第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是14克。 【分析】 第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器中酒精的含量=乙容器中有水的质量÷（1-乙容器中纯酒精的含量）-乙容器中有水的质量，所以甲容器还剩酒精的质量=原来甲容器有酒精的质量-第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器中酒精的含量，倒入的溶液的量与甲杯中剩余溶液的量的比=（100%-第二次将乙容器中的混合液倒入甲容器后的溶液）：（第二次将乙容器中的混合液倒入甲容器后的溶液-一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器中酒精的含量），所以第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液的质量=甲容器还剩酒精的质量×倒入的溶液的量是甲杯中剩余溶液的量的几分之几。 9．【答案】解：12÷132×100%≈9% 9%＞8%，需要加水， 12÷8%﹣132 =150﹣132 =18（千克） 答：需要加水，加水18千克． 【解析】用盐的质量除以盐水的总质量，求出原来的含盐率；然后与8%比较，发现原来的含盐率大于8%，那么就需要加水，再用盐的质量除以后来的含盐率，求出后来盐水的总质量，再减去原来盐水的总质量就是需要加水的质量． 10．【答案】解：浓度为3%，也就是盐3份水97份，共100份，浓度下降为2%，原来3份盐就成了2%， 第二次加水后盐和水总共：3÷2%=150(份) 第二次加水150-100=50(份)，即每次加水50份， 所以，第三次加水后浓度=1.5%， 不加水前的浓度为=6%， 答： 第三次加水后浓度为1.5%，未加水前浓度为6%。 【解析】浓度为3%，-也就是盐3份水97份，共100份，浓度下降为2%，原来3份盐就成了2%，因此可求出加入了多少份水：第二次加水后盐和水总共3÷2%=150(份)，第二次加水150-100=50(份)，即每次加水50份，然后根据浓度公式就可以求出：第三次加水后的浓度和不加水前的浓度据此解答。 11．【答案】解：设糖水浓度为30%时， 糖水总重量为 ， 且每次加入的糖为 ， (30%b+x)÷(b+x)=35% 解得： b=13x， 所以当再次加入同样多的禟时， 糖水的浓度是： (30%b+x+x)÷(b+x+x) =(3.9x+2x)÷(13x+2x) =5.9x÷15x =5.9÷15 =39.33% 答：此时糖水浓度是39.33%。 【解析】可以设第一次加入糖后，糖水浓度为30%时，糖水质量为b，且每次加入的糖的质量为x，先用糖水质量乘浓度求出浓度为30%时糖的质量，根据(原来糖的质量+新加入的糖的质量)÷(原来糖水质量+新加入的糖的质量)=35%，列方程，得到b与x的关系，再根据(第二次糖的质量+新加入的糖的质量)÷(第二次糖水质量+新加入的糖的质量)=第三次的糖水浓度，代入b与x的关系式计算解答。 12．【答案】解：设丙种酒有 x 千克，则乙种酒有（ x +3）千克，甲种酒有（11-2x-3）千克． (11-2x-3)×40%+( x +3)×36%+35%x=11×38.5% (8-2x)×40+( x +3)×36+35x=423.5 320-80x+36x+108+35x=423.5 9x=4.5 x =0.5 11-2×0.5-3=7（千克）； 答：甲种酒有7千克． 【解析】 设丙种酒有 x 千克，则乙种酒有（ x +3)千克，甲种酒有（11-2x-3）千克，然后根据："甲种纯酒精＋乙种纯酒精＋丙种纯酒精＝混在一起的总纯酒精"列方程解答即可． 13．【答案】解：由题意可知原溶质有： (克)， 每次都取出溶液 80 克， 即溶质减少了剩下溶质的 每次减少后溶质为原有的 三次后的溶质有 那么浓度变为 。 答：杯中的盐水浓度是17.28%。 【解析】浓度=溶质÷溶液×100%，先计算出原溶质有多少，根据规律可以发现，每次操作后溶质变为原来的，计算出三次操作后的溶质剩多少，再根据公式求出浓度即可。 14．【答案】解：第一次混合时，甲：乙=(62%-58%)： (72%-62%)=2：5； 第二次混合时，甲：乙=(63.25%-58%)： (72%-63.25%)=3：5； 设第一次混合时，甲取了2x 升，乙取了5x升。即： (2x+15)：(5x＋15)=3：5 解得x=6 甲种酒精取：2×6=12（升）；乙种酒精取：5×6=30（升） 答：甲种酒精取12升，乙种酒精取30升。 【解析】利用十字交叉法，先求出第一次取出的甲、乙酒精的重量比，再求出第二次取出的甲、乙的重量比，然后设第一次混合时，甲取了2x 升，乙取了5x升，根据第二次取出的甲、乙的重量比列出方程，即可解决问题。 15．【答案】解：混合后纯酒精含量为62%，则甲乙种酒精体积比（62-58）：（72-62）=2：5， 设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升， （2x+15）：（5x+15）=3：5， 5（2x+15）=3（5x+15）， 10x+75=15x+45， 10x+75-10x=15x+45-10x， 5x+45=75， 5x+45-45=75-45， 5x=30， 5x÷5=30÷5， x=6， 2×6=12，5×6=30 答：甲种酒精应取12升、乙种酒精取30升。 【解析】混合后纯酒精含量为62%，则甲乙种酒精体积比（62-58）：（72-62）=2：5，混合后纯酒精含量为63.25%，则甲乙种酒精体积比（63.25-58）：（72-63.25）=3：5，原因是每种酒精取的数量比原来都多取15升，设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升，则 （2x+15）：（5x+15）=3：5，解比例求出x的值，进一步得出2x、5x的值。 16．【答案】解：3×（38.5%-36%）÷（40%-38.5%） =3×0.025÷0.015 =0.075÷0.015 =5（升） 11-3-5=3（升） （36%+35%）÷2=35.5% （38.5%-35.5%）：（40%-38.5%） =2：1 3÷（2+1）×2 =3÷3×2 =2（升） 5+2=7（升） 答：A种酒精有7升。 【解析】①由于B种酒精比C种酒精多3升，可把B种酒精取出3升，和A种酒精的部分酒精进行混合，得到浓度是38.5%的酒精，需要A种酒精3×（38.5%-36%）÷（40%-38.5%）=5升；②再把剩下的A种酒精和B、C两种酒精混合，总溶液是11-3-5=3升，其中B、C两种酒精的混合浓度是（36%+35%）÷2=35.5%，A和B、C的质量比是2：1，溶液有3÷（2+1）×2=2升，因此含有A种酒精5+2=7升。 17．【答案】解：两个容器中溶液混合后浓度为：(300×16%+200×40%)÷(300+200)=(48+80)÷500=128÷500=25.6%所以应交换的硫酸溶液浓度的量为：(300×25.6%-300×16%)÷(40%-16%)=(76.8-48)÷0.24=28.8÷0.24=120(千克)答：从甲、乙两个容器各取120千克硫酸溶液分别放入对方容器中，才能使这两个容器中硫酸溶液的浓度一样. 【解析】由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的硫酸溶液的目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同，而且交换前后两容器内容量之和没有改变，根据这个条件我们可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液的量. 18．【答案】解：根据混合后纯酒精含量为62%，确定甲乙酒精的体积比为(62-58)：(72-62)=2：5。 设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升。 (2x+15)：(5x+15)=3：5 x=6。 所以甲种酒精26=12升，乙种酒精56=30升。 答：甲、乙两种酒精各取12升、30升。 【解析】首先，根据混合后纯酒精含量为62%，确定甲乙酒精的体积比。然后，设定未知数，表示第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取的体积。接着，根据新的纯酒精含量建立方程，即(2x+15)：(5x+15)=3：5，然后求解，最后算出答案。 19．【答案】解：假设把水都蒸发掉，则甲溶液盐占盐和酒精的：10%÷（15%+10%）=40%，乙溶液中盐占盐和酒精的：5%÷（45%+5%）=10%； 需要配的溶液盐占盐和酒精的：1÷（1+3）=25%； 则：（0.25-0.1）：（0.4-0.25）=0.15：0.15=1：1， 1千克甲溶液中盐和酒精：1×（15%+10%）=0.25（千克），1千克乙溶液中盐和酒精：1×（5+45%）=0.5（千克）。 答：需要0.5千克乙溶液， 将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍。 【解析】 可以这样来看，将溶液中的水剔出或者说蒸发掉，那么所得到的溶液就是盐溶在酒精中。（事实上这种情况不符合物理规律，但这只是假设）。这样就能分别求出甲、乙溶液中盐占盐和酒精的百分之几。根据配制成溶液中酒精是盐的3倍先计算出配制后盐占盐和酒精的百分之几。分别求出1千克甲、乙溶液中盐和酒精的质量，然后确定需要加入的乙溶液的重量即可。 20．【答案】解：第一次取出的甲、乙酒精的重量比为： （62%-58%）：（72%-62%）=2：5 第二次取出的甲、乙酒精的重量比为： （63.25%-58%）：（72%-63.25%）=3：5 设第一次混合时，甲种酒精应取2x升，乙种酒精应取5x升，则 （2x+15）：（5x+15）=3：5 3（5x+15）-5（2x+15）=0 15x+45-10x-75=0 5x=75-45 5x=30 x=6 2x=2×6=12 答：取了12L甲种酒精。 【解析】先求出第一次取出的甲、乙酒精的重量比，再求出第二次取出的甲乙的重量比，然后设第一次混合时，甲种酒精应取2x升，乙种酒精应取5x升，根据第二次取出的甲乙的重量比列出方程求解，即可解决问题。 21．【答案】解：每次倒出总量的分率： =30.72÷100×100% =30.72% 答：反复三次后，杯中糖水的浓度是30.72%。 【解析】由题意可知，每次倒出总量的 ，那么三次后杯子中的糖的质量为原来糖的质量的(1-)×(1-)×(1-)，据此，先根据糖的质量=糖水质量×浓度，求出原来糖的质量，再用原来糖的质量乘(1-)×(1-)×(1-)即可求出反复三次后的糖的质量，再用此时糖的质量除以糖水的质量即可求出此时的浓度。 22．【答案】解：设B种酒精溶液浓度是x，则A种酒精溶液的浓度是2x。 1000×15% +100×2x+400x=（1000+100+400）×14% 150+200x+400x=1500×14% 150+600x=210 600x=60 x=10% 10%×2=20% 答：A种酒精溶液的浓度是20%。 【解析】设B种酒精溶液浓度是x，则A种酒精溶液的浓度是2x。等量关系：原来溶液中酒精的质量+A溶液中酒精的质量+B中酒精的质量=溶液总重量×14%，根据等量关系列出方程，解方程求出x的值，进而求出A溶液的浓度即可。 23．【答案】解：甲中酒精：1×10%=0.1（千克），盐：1×30%=0.3（千克）； 1千克乙中酒精：1×50%=0.5（千克），盐：1×10%=0.1（千克）； 0.5÷2=0.25（千克），0.1÷2=0.05（千克），0.1+0.25=0.35（千克），0.3+0.05=0.35（千克） 答：需要0.5千克乙溶液， 将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等。 【解析】根据浓度的意义求出甲溶液中酒精和盐分别有多少千克。假设乙溶液也有1千克，然后分别计算出乙溶液中盐和酒精的含量，试算后确定乙溶液的重量即可。 24．【答案】解：互换后盐水的浓度： （400×20%+600×10%）÷（400+600） =140÷1000 =14% 互换的质量： 400×（20%-14%）÷（20%-10%） =400×0.06÷0.1 =240（千克） 答：从两个容器中各取出240千克盐水倒入另一个容器中。 【解析】 由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变，先计算出互换后盐水的浓度，然后求出互换的重量即可。 25．【答案】解：第一次取出的甲、乙酒精的重量比为：（62%-58%）：（72%-62%）=2：5； 第二次取出的甲、乙酒精的重量比为：（63.25%-58%）：（72%-63.25%）=3：5； 设第一次混合时，甲种酒精应取2x升，乙种酒精应取5x升，则 （2x+15）：（5x+15）=3：5 3（5x+15）-5（2x+15）=0 15x+45-10x-75=0 5x=75-45 5x=30 x=6 2x=2×6=12 5x=5×6=30 答：第一次混合时，甲种酒精应取12升、乙种酒精取30升 。 【解析】 先求出第一次取出的甲、乙酒精的重量比，再求出第二次取出的甲乙的重量比，然后设第一次混合时，甲种酒精应取2x升，乙种酒精应取5x升，根据第二次取出的甲乙的重量比，列出方程求解即可。 26．【答案】解：第一次倒后乙容器中酒精与水之比是： 20%：（1-20%）=20％：80％＝1：4， 设从从甲容器向乙容器倒入了a克的酒精，由题意得 a：400=1：4 　 4a＝400 a=100 第二次倒后，甲容器里酒精与水之比是： 70%：（1-70%）=70％：30％＝7：3， 设第二次从乙容器中倒出x克酒精溶液，由题意得 5x＝720 x=144 答：第二次从乙容器里倒入甲容器的混合溶液是144克。 【解析】 第二次从乙容器里倒出一部分给甲容器，并不改变乙容器的酒精浓度，所以乙容器里酒精浓度是第一次甲容器倒入一部分纯酒精而得到的，就可以求出乙容器中酒精与水之比，进而求出从甲容器倒入乙容器的酒精的质量。 第二次倒后甲容器中纯酒精含量70%，甲容器里酒精与水之比是70%：（1-70%）=7：3，设第二次从乙容器中倒出x克酒精溶液，那么甲容器有纯酒精，水是，它们的比就是7：3，从而列出方程，得出结果。 27．【答案】解：（60×40%+40×20%）÷（60+40）×100% =（24+8）÷100×100% =32÷100×100% =32% 设需把两桶的糖水相互交换x千克。 [（60-x）×40%+20%×x]÷60=[（40-x）×20%+40%×x]÷40 [24-20%x]÷60=[8+20%x]÷40 [24-20%x]×40=[8+20%x]×60 960-8x=480+12x 20x=480 x=24 答：需把两桶的糖水相互交换24千克。 【解析】两桶水含糖率相等时的含糖率=（甲桶中糖的质量+乙桶中糖的质量）÷甲、乙两桶中一共有水的质量，接着设需把两桶的糖水相互交换x千克，题中存在的等量关系式是：（甲桶分给乙桶后桶中糖的质量+乙桶分给甲桶的糖的质量）÷甲桶中糖水的质量=（乙桶分给甲桶后桶中糖的质量+甲桶分给乙桶的糖的质量）÷乙桶中糖水的质量，据此代入数值作答即可。 28．【答案】解：C中含盐的克数：（30+10）×1% =0.4（克）， 所以B中10克溶液含盐0.4克，溶液浓度是0.4÷10×100% =4%， B未取出前含盐（20+10）×4% =1.2（克）， 所以A中10克溶液含盐1.2克，溶液浓度是1.2÷10×100% =12%， 则A未取出前含盐（10+10）×12% =2.4（克），所以最早倒入A 中盐水的浓度是2.4÷10×100% =24%。 答：最早倒入A中盐水的浓度是24%。 【解析】采用逆推法，最后试管C中盐水浓度为1%，先计算出混合后试管B中的盐水浓度，然后计算出混合后试管A中的盐水浓度，最后推知最早倒入试管A中的盐水浓度。 29．【答案】解：三种混合后溶液重：1000+200+400=1600(克)， 总含酒精：15%×1600=240(克)， 原来含酒精：20%×1000=200(克)， 4、B两种溶液共含酒精：240-200 =40(克)。 由于A的浓度是B的2倍，那么200克A溶液的酒精含量相当于B溶液酒精的含量：200×2=400(克)； B溶液的浓度是：×100%=5% 答：B种酒精溶液的浓度是5%。 【解析】先求出混合后溶液的质量，根据浓度=x100%，求出混合后酒精的总质量，求出原来酒精的质量，相减即可得出A、B两种溶液共含酒精数，再根据“A种酒精溶液是B种酒精溶液浓度的2倍”我们就可以把这两种溶液看成一种来计算，根据含酒精的量和溶液的总质量就可以求出浓度。 30．【答案】解：设B种酒精 浓度是x ，A种酒精浓度为2x， 整理得150+600x=210 解得x=10% 10%×2=20% 答： A种酒精的浓度为20%。 【解析】学科融合，酒精浓度=原有溶质1000乘15%，A种酒精中溶质100×2x B种酒精中溶质400x，总溶液重量=1000+100+400； 设 B种酒精 浓度是x ，A种酒精浓度为2x，根据列方程求解。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$